Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 39
Текст из файла (страница 39)
циеигы линейнага паедсказания, получаем~а с помощью алго- она, будет иметь карня, расположенные внутри , уга; см. Маркел и Грей [14]. Следовательно, это давать минимально-фазовый фильтр зинейнога прелгка|.|, ошибки. Доназательства этого свойства приводится в це- лом ряле работ; см., например, Кей [8], Паьула к Кей [17], Ланг и Макклеллан [10], Берг [2], Типичная схема даказатель. ства строится на использовании того факта, что величину дис- персии р' можно уменьшить посредствоч зеркального переноса корней, лежащих вне едпничнога круга, внутрь этого круга. Минимальна-фазовое свойства гарантирует, что реп|ение урав- нения Юла — Уолкера будет лапать устойчпвый авторегрессп- оивый филыр ПЛ (а), а ато означае~, чта рекурсивное уравне- ние (031) для АКП булет давать конечные зиа генка автоьор- реляцни.
не превасхоляшие по своей величине значения г„[О], как того требует допущение о стациаиарностн процесса. Если процесс х[л] действительно является АР(р)-ароцессом то решение нз основе линейного предсказания порядка ш=р с помощью алгоритма.Левинсона дает и [й]=а|, 1 й р, р =р',, где а„[й) — АР.параметры, а р» — дисперсия возбуждающего белого шума Величина агой дисперсии будет постоянна, сслц порялак линекнога препс|ызания равен или превыи|ает пра. внзьный порпдок, поэтому а'.,[т] =-О при т>р Таким образом, алгоритм Левинсона ыажно нсполыовать для генерации фильтров линейно|о предсказания ап|нбии последовательно возрастаю|цего порядка до тех пор, пока лисясрсня не дос|игнег неьотарпй постоянной величины, т.
е. перестанет пзменитьсв. Эта» факт может быть использован как своего рада ныли| а ар правильнага, нли наиболее нравлаполобного, порядка используемой авторегрессноиной модели. В следующем подразделе будет показана, что [а (т]|ш!. А это означает, что дисперсия ошибки предсназания р|, опрелеляечая уравненвем (7.!8), лолжнз быть монотонно убывающен функцией. дастигаю|цей минин) ма при т=р, если вссзеп)- смый процесс является АР(р).процессом Это — еше олно полезное свойства, которое также может быть использовано для выбора порядка модели, этот вопрос обсуждаешься в гл.
8 7.3.3. Коэффициенты о ражеиия Каэффинде|мы линейного прелсказания л||[!],,а„'[р] часто называют коэффициентами огражалпл, что обусловлено вх интерпретацией ка| физических шраметров акустической трубы, используемой в надели речи [П, 13!, нли слоистмх моделей З4 В Земли, испальзуемык три обработке сейсмических ленных [!9]. Для того чтобы отличать именно эти коэффициенты лв. псйваго предсказания ог остальных коэффициентов, ддя пх обо|печения используется специальный символ й,.
†-а' (т), 1ы шт .р. В статистической литерзтуре отрицательный коэффппп. сит отражения — й называется |асгиым коэффициента»| кораеляцпи [1], поскольку он характеризует нормированное зааче. ппе корреляции между х[п] и к[и †] за вычетом той доли, «оррелацни, которая вызвана влиянием к[а †], ,х[и — та 1]. Коэффициенты отражения можно танже рассматрива~ь как взятый со знакам минус нормированный коэффициент корреляции между ошибками линейного предсказания вперед н назад с един»|чнйм временным сленгом Это выражение можно получить, исподьзуя определения (7.2), (7.4) в (79), по лает Л (е| , [и] г," .,[и†1]) = =й' [(х[л]+ д, а|,[й]х|п-- й])(х*[л — т]-1- -| + д, а~В, [й] х' [л — |л — ' й] .
=г„„[ш] 1- д,' а', [й] г (т — й]= А,. (7ДЗ) а также учи~ывая, чта на основании свойства стацпонарности н эрмитова теплицева свойства автакорредяциопвой матрицы р|, — — и',, = й' Е е| —, [л] )') = =. Л () г»,, [л] !') = б () а»ы [л — 1])'). (7 24) Палставляя (7.23) и (724) в вырви|ение, определя|ошее «озффициент отражения, получаем откуп~ прикатим к выражению (722) Пспозыуя (722) не левым н достаточным апачи» граничение ыадуля й . единицей является неабхоусзовесм того, чтобы аегокорреляш|анвая матрица была пало,интельно-палуопредедевяои. |а-|вы 74в йш В'г *-' езн зе зааэ у х е ег.
(7.'6) 17.27) ге Если в опрелелении (7.2) г (7.9) для прямой н обратной ошибок линеиного предсказана ввести а г[й) (или а '[Д). †. а г"[й]), задзваемое рекурс вимм уравнением (7.17), зо нетрудно показать (см. Равд «Ззгачн ), что е[„[л]=е',[з-1 'й,„е«,[л--1], е' [л] = г;", [л-1] 1 ййе„, [л] начальными условиями х[г]=е,г[л]=еР[я] Саагггошения (7.261 и (727) дают еше цну возможную интернретацию фильтра линейного предсказана ошибки как решетч,мой труктуры, изображенной на рис. 72. Параметрами на каждой сту.
аеяи этого решетчатого фильта являются коэффициенты отражения. Заметим, что в структре решетчатого фильтра одновре. менио распространяются ошнбн линейного предсказания вперед и назад К преимушествам ршетчатога фильтра перед трансверсзльными фильтрами (т. е фильтрамн, реализуеммчн на линият задержки с отводами), например таким, кан показан на рис 7 1, следует отнести нх мньшуга чувствительность н шуму округления и к флюнтуацизм (случайным возмущениям) зна. чений коэффннвентов [4] Регетчатый фялшр является также .ортогааализиругошим фильтры, поскольку ошибки предсказа.
ния назад на выходе кажлои го ступени взаг«но ортоганальиы 312[ (см. Равд, «Задачи» ). 7.3Д. Об эквивалентные нрвдсэеленияк .авгорегресс«сынык процессов АР(р).процесс имеет три эквналеитных представления: в виде бесконечно протяженной аэгоорреланггонвай носчедовательво. сти, в виде конечной пас,тедвательностн авгарегрессионных юараметров и в виде конечнайпоследавательности коэффицнен- н Р татра экеи аа г а Р Р го гззнеыз тоа отрэкеия; см. диаграмму на рис 73 Хотя АКП лчн АР(ррнрнесса бесконечна, полная АКП однозначна определяется к печной автокарреляцианной последовательностью г„[О],, г„[р) Остальную часть АКП чожио получить с помошью ркурсивного соотношения (6.341 Алгоритм Левннсонз.
описаний в падраах 732, позволяет определить и АР-ааране~ры, пкоэффициенты отражения па заданной АКП,саотнетст вуюшен ременнйм сдвигам от О до р Используя только уравнение (717) с начальным условиен л,[1)=й. можно получить простое Ркурсивное соотношение, которое будет давать АР-параметрытля всек порядков от ш- 1 до ш †. р всего лишь на ос. нове заднной последовательности каэффштиеитов отражение от й, до р, и в резулыате позволяет сформировать однозначное саответсэие между коэффициентами отражения и авгорегрессиоиньгм~ параметрами. Можно также обраткть направление рекурсийалгоритма 7)евггнсонгг я получить рекурсии убывэюшего поряда от ш к ш — 1.
что позволит вычислять автокорре.шционвуюноследовательность при временных сдвигах ог л ло О„ иснользу либо набор АР-параметров (р„н«[Ц... а„[р1), либо набор иозффицвентов отражения («**[О], йг, ..., 2,) (см. разд. «Здаш») Возможно также однозначное представление ноэффицентоа отражения герез АР-параметры Лля пго чтобы отображения, указанные на рис.
7.3, были возможнгми, необходимо, чтобм выполнялись слелуюшие трм эквивалетных условия: ° г *О, *О] , г**[р] является положительно-определенной носледоательностью, ° А(.) =1 гз =1+2'* га, [й] а-" является минимально-фазовым полиномш; ° р 10 и [й [<! прн 1(т(р. Ячб !Э ~К г(р)-р(-Гзл(ЛТЗ ' =- Т д, г, [й] елр ( — (2я)ЛТ).
(7 31) „, 1п Рлмз (() дЛ (7 28) (7.32) 2.4. Свойства спектральной ппотнастн мощности лвторегрессмоннага процесса 7 43. Интерпретац я метода внснмальном знтропн В литературе оценку спектральной плотности мощности авторегрессканного процесса часто называю~ спектральным анализом на основе метода максимальной зшролии (ММЭ) Этот полхол был введен Бергом [2] Если конечная автолоррезяционт! ная последовательность г,[0],..., г„„[Р] полагается нзясгтнай, та моткет быть по т,шлен вопрос о том, как следует олрс.!елять оставшиеся неи нзестиые члены этой последовательности г..[Р Э 1], г„ [Р -2], ....
для тога чтобы полная автокорреляцианная последователыгость обязательно была бы полажнтельнополуопределенной Сугиествует бесконечное чвсло вазчожных экстраполяиий, которые будут дават~ автокорреляпнонную последовательность, отвечзюш)чо этому требованию. Бс; показал, что эту экстраполяцию следует выполнять такпы обр]лмл чтобы максимнзнрав ть энтропию временного ряда, харалтсрнзтемого этой экстраполированной АКП. Получземый ври этом временной ряд будет наиболее случайнылг (в энтрапнйнолг смысле) из .всех рядов, которым соответствует заданная ЛКП с временными сдвигамв от 0 до р Спектральная оценка.
получаеизя па этой экстраполированной ЛКП, булет в этом случае оценкой для процесса с максимальной энтропией". В рззд 4 5 было. в частноств, показано, что ддя гауссочслого случакнаго процесса удельная энтропия пропариианадьнз величине где Рммэ ()) — СПМ этога проиесса. Значение Р огэ([) определяется посредством максимизаини величины (728) при налаженю|х ограничениях, что ана удовлетворяет соотношению Винера — Хкнчина для РЧ-1 известных значений авто«орреляпив ,т „, г Рлгчэ (() ехр ((2л]лТ) д! =- г„„[л], (7 29) где 0(л р Это решензе, которое наладится с пол~ошам че .
° ,,тэ мю, доз!чк мэ яз а ашнорнза ф рмзю ໠— Лр , р д тода множителей Лагранжа гм. например, [5]), имеет ~ од Рм эП) (730) 1,'"-- ! 0 ~ г(е). э( — а улг! где р„, а,[1],, а, [Р] опрепляются нз решения уравнений Юла — Уолкера. Таким обраом, авторегрессванная СПМ и СПМ, получаечая метазоч мксичальной энтропии, идентичны в случае гауссовского случайаго пропесса и известной автоьорреляинонна последоззте. ности с раввоотстоящимн аначе- янямп Одпало аепраннаьно говорить, что уравнение (7.30) я ляется основой спеьтральнао анализа по методу максималь.
най энтропии в тех случанл, огда исслелуеиый процесс не является гауссовским нли капа вначення параметров оцениваются не по известной ЛКП, а ю отсчетам данных Метод макси. мальной энтропии применим 1 в случае неэкввдистантной автокорреляцноннай последоватльноств Однако авторегресснонная ГПзй н СПМ, получаемаялгс~одалг манснмальной згюропнн, не будут ндс|пнгны Другие а~терпретапии метаха максвмальной энтропии ыожво вайтн в рбатах [б,!6, 2!]. 7Д.2. Основа д я высокого раяешення В гл 6 было по«азана [выршевня (614) и (633)], что аотарегрессионная СПМ имеет эвивалеатные представления (см. также [3]) Если аадана автоьаррелгнгнон ая послелователыгость для вре меннйх сдвигов ат 0 яо р, то из уравнений Юла — Уолкера можно определить дкспсрсвюбелого шума р и авторегрессн.
аниме аарзметры а[1], ал], а зшем испольэовать уравне. нне (731) зля вы пгсзенин Л) СПЫ Можно така.е прицепить эк' грана.ггнаю г„[л] = — а [й] г„[л — й] / ! при л)Р, которая следует из Равнения (634), для расширения аатакорреявционной последоательностгг, чта позволит далее лах, Р— максимальное вначенпе иннекса временного сленга лля автокорреляцноиной последоаагс.!ьностн, а ьйй — оыюшение сигнал)шум Лля отдельной синусоиды, выра кевяое не в денибелал, а в а!шейных елин!шах 7.4.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
