Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Заметим, что н здесь суммирование ведется только ооямеющнися данным. Из (813) слелует, что велнчвна р,!' являчсн функцией только одного параметра, а иыенио комплексногскозффппиента отражения й,, поскольку ошибки поедскззания,~ач1»вая с порядка Р— 1, известны. Прв- рзнниван комплексную производную от ррг' нулю дп«(зр) дрм [яр) д РЕШаЯ ПОЛУЧЕННОЕ УРанисипс ОтиОСИтЕЛЬНО йр, ПОЛУЧасн СЛЕ- д!ющее выражение для оценки по методу наименьших квадратощ ь -2 Х р — 1"1'р- 1 — И (ррг 1 )( ' ~ (Рр»!и П =р ° ~ Згз опенка коэффнпиента отражения представляет собой гар.
эюнпческое среднее коэффициентов частной корреляции ошибок предсказшрия вперед и назад Нетрудно показать, что ее мод!ль не превышает единицы, а зго гарантирует полученяе устойчввого фильтра, виеюшега толька полюсы. Еще одно рекурсивное ураавенве, которое упрощает вычислеипе знаменателя в варан«енин для оценка (8 !4), было проанализировано Андерсеном [4] Записывая знаменатель (депеш!па1ог.
ОЕБ) оценки (814) в аиде ОЕМ = Е' ((ег,[п](.г-)р» [л —.1](), (815) получаем далее оен =П вЂ” )йр, Е)оек,— (г„,[Р]( — ( р,[А](5 (885) Локазащльство этого соотношения предлагается читателю в качестве самостоятельного упражнения (см. рэнд, «Задачи») В прпложении 8 Б приведена написанная на Фортране машинная программа алгорвть.а Берга, в которой в методических целях указаны номера используемых уравневий.
Анализ вычислительной слоркност»1 этого алгоритма (с учетом только членов второго порядка) показынает, что его реализация требует ны. полнения ЗЧР— р' комплексных сложений к умножений, а также Р действительных делений Кроме того, он требует памяти для хранении ЗЧ-ьр комплексных чисел 1 врмонвческий метод дает нескотько смещенные оценки частоты синусоид, что будет проиллюстрировано в разя. 8.6. Длн умен~шениа это~о смещения было предложено несколько модификаций этого четода.
Их основное атли же от исходного алто. Рнтиа — взвешивание срелнего квадрата ошибки предсказа ~ни рм=-,~~ —, ~ ю,.]; °, )[] 1, 2а2 что прнвомт к следующей опенке коэффицнеята отражения; — 2 Х, - р,!э! Г,(ч(,' 1 — 11 р,,' 1(( .,!«!!' — ', (,(а — г)() ~де ш,. [л определяет весовую функпню, Нетрудно видеть, что пока ю(л) О, модуль оценки (й„](!. В алгоритме Берга ис.
пользуетсярааномерная весовая функция ю, †,(л] = 1(М Результаты моделроваиня, выполнеаного Суиглероч (46, 47), показали, что чачотное смещение уменьшается прн использования окна Хэммнга — спадающей к краям весовой функции. Кавех и Липперт(24) показали, что с помапгью специального квадра. тнчного ока также можно уменьшать смещение оцен«и частоты син)соилы в ~резедах большей ~асти частотно~о диапазона. Хелмс н 1(ниас (16! предложнли адаптивную «данным весозчю функцию вла ш„,[л]= ~ (л[й]!' для р)2, а-„- которзя «навтеризует общую энергию данных в ошибках ли. нейного прдсказання вперед и назад е ,(л) в е" ,(и — 1), со.
ответствую!их нремснноыу нндшгсу л. 8,4.3. Рекуривнае оценива е по методу ганси ань ого правдоподоб«» Этот элгорт ч разработан Кеем (27) н берет свое название от прнаципа ценнааиия по ыетоду мзкснмасшного правдоподобия (МП), ьотоый исполшуется в нем для получения оценки коэф. фициентов траженяя и обновления порядка авторегрессионных коэффициеков, получаемых с помощью рекурсивного алгоритма Левинспа Вывод этого алгоритма требует достато~но много места п ирыени, поэтому здесь даетсв лишь его краткое описание С подрбаостямн его вывода для сл)чвя действительных .таиных чпттель ыажет азпакомвться в упомянутой выше работе Кея [27],обобпзенпе же на случай комплексных даинык оока еще не пол юно. Есин п.чтность эероятностн гауссовского авторегрессиовного процессапарядка р с н)левым средним значением максимизпруется огосительно коэффициента отражения й, а дисперсии возбуждаюсего шума р, в предположении, что авторегрессиои.
ные коэффпнситы порядка р — 1 уже вычислены, то оценки !г, н р„, козероге чаксимнзирукрт эгу плотность вероятности для шз заданной последовательности днных л[О], л[!],, г[йг — 1] получаюгсв как решеная кубпчесгзго уравнения й[ "(л'р)(6,]уй) (!.'- б, 7)й [(л- Ибрр]=О зля которого определяет я его дествительпы корегь на интернате [ — 1, 1]. мэксимизирующийплотность вероятности, н ли. аейнык уранненнй бр — — б, 2ай -~-Орй', р .— — бр!Л' Действительные коэффициенты при 6, определяются с номощью стедуюших ьвадратичных форм; руа гле а=- (1 а„,[1], а,,(р — 1])г — вектор звторегрессвонных ко.
зффицисатов, ! — (РХР! чаг(зпца тражепвя,б„— (р+1)Х(р — 1)- матрица с элемеатамн р-:- 5 !и )]= 4 к[л — 1]х[л — (], определенными при 0<6 )<р. !осле вычислеаия опенки й, с помощью рекурсии Левинсона 6.2) определяются авторегрессиоваые коэффициенты порадею ! по зивченипм этих коэффициентов порядка р — 1 Для инициалнации рекурснвногп элгорвтма МП-оценнврния попользуется паяльное условне 6„= ~ [л].
Машиинав программа реалнзацм этого алгоритма приводится в кинге Кея [28]. 8.2. Оцнннваиие лиманного предсмзанмя по методу наименьших квадратов Налагая на АР-коэффициенты ораиичеиие, с тем побы онп удовлетворяли рекурсивному сотношению Левинсона (82), Бергу удалось асушестэгпь оптишзацню по методу наименьших ьагдратов елинственного аврамеэа — коэффициента отражения. Друпой подход состоит в манишзации в методе наименьших Гюю В г «г [1] х! [р-~ 1] хИ ер' [р -1- 1] ег [М вЂ” р] 1 а1 [1] (8 20) х[М вЂ” р] х[рф 1] е,' [М] х [М] х [М вЂ” р] (а,' [р]) х'[л]= — ~] лг[й]х[л — й], э-~ (8.18) (8.21) в[1] ... 0 б х[р] ...
х [!] й квадратов одновременно по всем коэффициентаьг гшейного предсказания, что позволяет полностью устранить огрничеиве, излагаемое рекурсией Левинсона Такой подход будет несколь- но улучшат~ характеристики спектральной оаеаки, чтогоказано ниже в равд. 8.6. Будут рассмотрены два типа алгоритма спектрального оценнэания по методу наименьших квадратоэ(МНК).
К первому относятся алгоритмы, в которых нспользуьтся раздельные оценки козффицнентов линейно~о предсказаны вперел и назад, ко второму — алгоритмы, в которых испольэется некоторая их комбинация. 85.1. Алгоритмы с раздельным линейным предсиазвимм вперед и назад Предположим, что для оцениеаивя Ар.параметров првдьа р используется Аьточечная последовательность данных х[1],. ..., л[М]. Оценка линейного предсказания алсрсд х[л для от- с ета х[л] будет ичсгь обычную форму где пьг[й] — коэффицаенты линейного предсказания внреп по. рядка р.
Предсказание «вперед понимается здесь в таьсиысле, что результат предсказания для текущего отсчета данн~э пред. ставляет собой взвегпенную сумму из р предшествуюшц отсчетов. Ошибка линейного предсназавия вперед определятся вы- ражением ег[л]=х[п] — хг[л]=-х[л] д,аг[й]х[п — -й].
(8.!9) По своей форме это выражение идентично рекурсии, которая описывает авторегресснонный процесс р-го порядка, п с теч лишь отличием, по «Г,[п] не является теперь вазбущаюшим белым шумовыч процессоы, таь аак в случае коаечио после. довзтельности дзаных ошибка линейного предскаэааияне обязательно будет белым шумом. Поэтому, для того побг можно было воспользоваться авторегрессионной чоделью, чг будем чолпгагы что ошибка предсказана» является отбетенщьз нроцессом, чга позволит приравнять авторегрессиоиные па аметры н коэффициенты линейного прелсказашгя. Ошибку лииейнога предсказания вперед можно опрделнть л диапазоне временных нндексвв от я= 1 да л=- уз-р, еон пред- положить, что давные до первого и после последнего отсчетов равны нулю (т.
е. х[л]=О прн л<1 и п>М). МЧ-р членов ошиб. ки линейного предсказания вперед, определяемых вырзжением (8.19), можно записать, используя матрично-векторное обозначение. в следующем виде: тег[Мфр]г г 0 .. х[М] где хг — прямоугольная теплицева (м+р)х (рч-1).матраца данных. В верхнем правам и пни«нем левою углах этой матрицы тоят нули, что с очевидностью говорит о неявно подразумевае. мой обработке посзедовательаости данных с помощью окна.
Матрицу давних можно разбить ва три компоненты ГДЕ НвжНЯЯ тРЕУГОтЬиаа РХ (РЧ-1)-Матунка Ьг, ПРЯМОУГОЛЬиаа (М вЂ” р) Х (рэ-1)-матрица Т, и верхняя треугольная рХ (р' 1)- матрица О, ооре.геляются выражениями тзз то7 [х[р.г 1] ., х[1] записать в следующем виде: (8 24) х[У вЂ” р] х[у 1.1) (8 22) х[М] х [М вЂ” р]т р]=Х( [[]) (8 23) чяпионныт произведений (8.20) О х[дг], к[У вЂ” Рщ)] О г ш 0 О, х[5'] Модуль среднего квадрата ошибки линейного предсказания вперед, который необходимо минимизировать, — это просто Поделив р,г нв М получим выборочную дисперсию Диацвзов суммирования для ррг в (8.23) наиеренно не определен, поскольку его выбор зависит от конкретного прниенення Мы рассмат.
рим трн случая спектрального оценивавяя Выбирая полный диапазон суммирования от е„г[1] до ер[Л'бр], получаем так на. зываемый вэаеигенньи1 случай, поскольку он включав~ пред- и постобработку данных с помощью окна (т. е, прправниваиия отсутствующих значений данных к нулю).
Выбирая диапазон суммирования от е,г[1] до е,'[Л), получаем предэавешсяныл случай, поз кольку нрн зто» напишется, что зна ~ения лаиныь, предшествгющце отсчету х(1) равны н)лю. Диапазон стммироваши от е,г[р-(-1) до е„з[Л') соответствует неизвещенному случаю, по. скольку используются только ямеюшиеся отсчеты данных. Вавегненный случай получил название взтокорреляяионяого метода линейного предсказания. Случай отсутствия взвешивания пазы. вается коворлалиокя ыг методом линейного предсназания.
Оба этнх названая впервые начзлц употребляться в работах по обработке речевык сигналов (сы Маккол [34]) и не удовлетворяют стандартным статистическим опрелелеиияи этих териинав (ьо. вариация — юо корреляция с устраненным средин г заа ~енггеэг). РассмОтрни сначала оценку линейного предсказания по методу наименьших квадратов, основанную на минимизации р,г с потгощью автоларреляционнозо (взвешенного) метода Соотношение гежду ошвбкзми линейного предсказания вперед и козффнпиеитамп линейного прелсьззання можно в крат~ ой форме где (ЛУ Ьр).элементный вектор ошибки е/ н р-элементный вектор коэффициентов линейного предсказзнвя а„г определяются выраженяяьш г Х,— (Л' р)Х (р-1-1)-ыатрнца данных, определенная в (8.20). Уравнение (824) имеет ту же форму, что и уравнение (3.62), поэтому нармальнме уравнение, минимиаирующнс средний квадрат ошибки рг д, [ег [и]('=(е,')" ег (8.26) порядка р, будут в соотвегстввн с (3.67) иметь следующий вид; ургЛ (8.27) 1!роизве.шипе Х,"Х, формирует квадратную эрчищву (р+1) Х (р-Ь1)-матрицу й,, имеющую форму [О, О] гг[0, й ХЯХ (8.28) г„[р, 0] ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
