Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Так называемый метод Ила — Уолкеро оцениаавня Лр.параиегров по послело те. но ть оценок авгокорреляцион ной функции изложен в равд. 8 8. Два метода оцевиввння АР- параметров по последовательности оценок коэффициентов отражения, вкльочая популярный ащоригль Берга, описаны в равд. 8.4. Одну нз важных категорий ььетодав оцениззния АР-параыетров составляют методы, основанные на линейно» предсказании по критерию наименьших квадратов Методы этой категории, которые обсуждаются в равд 85, в дальнейшем различаются по типу используемой оценки линейною предсказания К одному классу этих методов относятся те из ннк, в которых произвопится Розаельнол минимиаацив квалратвчных ошибок линейного прелскалания вперед и назад (или прямого и обратного предсказания) К этому классу относятся оатакорргляцооииый и ковириоцмоиньш методы.
Второй класс составляют методы, в ио. торыт осуществляется совльесюшя минимизация ьвадратьшнык ошибок прямщо и обратно.о линейного предсказания. К этому «лысу отиостся одифь цироааииый колариацьоииый метал. В остальных разделах данной главм рассмотрены методы, используемые для выбора порядка Лр.модели, н некоторые модификации, необходимые для управления шучом наблюдения прв.
измерении данных. ш тра. Р. (Л= !. ! ~ (з)хр( — !З )зт) (8.1! т.2. Кратная сводка результатов Бдя того гтобы получать авторегрессионаь:е оценки СПМ непасредственяо по некшорому блоку отсчетов данных, в зту главу зкдючеиы машинные программы, поторые позводяют читателю заботать с одним из четырех возможных алгоритмов. На рис 81 трнведенв краткая запись этапов, необходимых дая авторегресгионнаго оцениванвя СПМ, и соответствви с которой можно аы)рать одну из четырех подпрограмы оценявзния АР-параметроа Метод Юза — Уолкера (равд. 8 3) в случае коротких запасец таиных дает АР-спентры с наихудшим разрешением по сравне тию с тремя остальными методами Метод Берга (|юдразд.84 2) г коварнацианный мего.г (падразд.
852) дают спектральные зценки со сравнимыми характеристиками. Модифицировзнвый говариацианный метод (подраад 8 5 2) обеспечивает наилучшие зезтзьтаты при иванчин в данных синусовдальных компонент. зв Юза --Уозкра н Берга непосредственно : АР-параметрова]п]. Ковариашюнный и мои ковариационный методы факти ~ески дзют ;аеитов линейною редсказзння, которые затем качестве оценок:Р-параметров, дая чего эти орираваиваются дим ь коэффициентам дннейноа вперед: а(п]=аг]г], зибо к величинам, «олгп.»,.снныы коэффициент ч .шнсйного предсказания .= (от(п]) . Пасде опредленвя (тем иди иным меток Ар.параметров вычсзяется авторегресснонная .я оценка, которая иахаится с помощью выражения грсии зозбузчающего шума, юторую такдним нз чеырех методов, указанных на ° ке указаныназвания подпрограмм и но, горых призе сны их распечатки.
Заметим, ,Генных, в качетве входного параиетрз доэя порядок АР-юдеза. От выбора порядка висит компромисс южду рззрешением н днспер- Щ сцектрадьной ацнки, и обусловленный им ,щен эффекту при именении окна в классическик гцеиках Дия опредаения наиболее подходящего лели приходится иаытывать много моделей раз- Ю .ьов.
н эта процедур сходна с процедурой эакры~я окна, применяемой в кхассиеских методах спектрадьноагениванггя Именно поэтому оа будет также называтьсв иск гч, ндв «закрьпиев», пмядьа модели. В р эд 8.7 писаны методы автоматического ыбора порядка, поторые можно ввести в машинную программушобого из представленных в этой гдаве азгоритмов и тем саьзэт устранить необходимость авода параметра, харзктеризующго порядок АР-модедн.
Пркзеры четырех ааторегресспнных оценон СПМ дая сзучая 54-точечной тест.посзсдоватсдности, приведенной в приложении П, помещенном и канис киши показаны на рис 8 2 Лзя всех методов использовался АР-поцесс 15-га порядка. Лав излюстрации компромисса между азрешевием в степенью гладкости оценки, который обеспечяввт выбор порядка иодеан, ва врезке рисунка, саответствующег кавариациониому методу. показана спектральная оценка, наученная с помощью АР-про. цесса 8-го порндка. Истинный спктр, соответствующий этим спектраиьным опенкам, показан и рис.
1 8 В прилозкениях к 262 и ° В ы -м Š— 2 05 -04 -03 Ог 02 О 0,4 0,2 О.З 04 0,5 в -44 57 — 1366 .ю Ог — 04 — ОЗ Ог — 02 О 3 02 ОЗ 54 05 л 05 — 4 ОЗ 02 -О 0 04 02 ЯЗ О 05 05 О, -ОЗ вЂ” 02 04 0 04 02 ОЗ 04 05 Р» 62 Чг. иг ОО Ощ и лг 4262свООгл, О .ЗУ" Я 64 Оз . вариашмви а мг ол, г — игт ф м О, ОО» а шщг аш я л этой главе приведены распечатка значений Ар.коэффициентов для каждого метода, которые читатель может испольэовать для проверки правияьности реализации машинных программ на сваей ЭВМ.
Отметньг, что оценки иа рис. 82 абтадают острьчи спектральными ливиями Вля того гтобы убедиться в правильности отсчетов функпии СПМ при использование подпрограмьзы ЛКМАР5Р, т. е. в том, что ие пропущено ни одного острою пн. З.а, достаточно просуммироват~ знгченвя СПЛУ по всем частотам. Эта сумма должна быть рвваои полной мопгиостн анали.Знруемого процесса, а следовательво, должна бмть близкой к величине автокорреявциоииога члена с нулевым корреляционным сдвигам, который также характеризует мощность этого процесса Есля эти значения заметно различаются, то ддя отысьания одного или нескольких пропущенных пиков необходнчо павьюпть частоту отсчетов, т. е иными словами, увеличить значение входного пврзчетра У в подпрограмме ЛКМАРВВ.
В.З. Метод оцвнивания корреляционной фуницим Наиболее очевидный подход к ЛР-оцениванию СПМ состоит в решенца уравнений Юла — Уолкера, в которые вместо значеввй неизвестной автокарреляцпонной функпии подставляются их опенка Таьзя процедура оценнвания СПМ будет иваываться а ггорит Оом !Ола — Уо.гкгро. Следует заметать, что при испол ° зоэанви несмещенных звтокоррелз2~244онных оценок авто«орреляционная ыатрица мохгет оказаться неположительна-онределен.
аой, а это означает, что ЛР-фильтр будет неустойчивым При использовании спешенных автокорреляционных оценок зта матрица всегда будет положительна.полуопределеиной, что гарантирует устойчивость АР.фильтра. В слу ые дливвых записей данных ыетад Юла — Уолкера может давать вполне приемлемые спектральные оценки, однако в случае коротг,нх записей данных получаеыые с его помощью спектральные оценки имеют более низкое разреЗнеиие по сравнению с сценками. палу4аемычн дру.
гимн ааторегрессианными четозвмн, о чем свидетельствует рис. 8.2. В приложении 8 А приведена программа УПЕЕВ'АСЕЕВ, предназншеиигя для машинной рег.п~544гиг4 ыето гз Юла — Уолкера. 8.4.Методы оцеиивания ноэф4рициеитов отршквния Рекурсивное решение уравнений Юла — уолкера методом Левинсона связывает АР-параметры порядка р с параметрамн поряпка р — 1 выр» кеннсм о~!п1=-0„,~01 сйУЗЕ,~Р— цй (8.2) 3 9 (8.4) (8.9) 8.4.1. Гео етрическнл~ оритм ег [л] = х [л] -1- ~Д а„[т] х [л — т] 18 5) Ррг [и — — егр, [л] -1.
йрер, [л — 1], :[ ='Е,[ -!]'Л Х,[], (8.7) где л яз.еняется от 1до р — 1, а коэффициент отрзжемя йр ои- ределяетя по нзвестым значения 1 .зтокарреляцноиюй функ- ции. соаветсхвугащнл корреляпиона., ~ сдвигам от О,з р — 1 й,=. [р] = — -'- (8 З) Ренурснное уравненн для дисперсии возбуждающее белого шума датся вырамеыем р, = р,, (1 — ! й р !'), где р,=г.(О] Из всн величин. которые присутствую в выражениях 82) — (84), олька коэффшгневт отражения ~епосредгтвенно авнснт от аионорреляцпоииой функции. д эп означает, что она нз працеур получения ДР-оценка СП)4 гтом случае, когл имеется нсюторый блок отсчетов данных,макет быть основанзпа оценввами коэффнннента отражения поэтим отсчетам н каждоы шзе рекурсви Левинсона.
Эта иделрезлазована в пел метохаз.В одной из ннх попользуется геметрическое сренее квадратчных ошибок лннейиога прехказання вперед иназад, во авром — их арифметическое средне, а третий оспаан на прнблжении метадон максилзз.гьаого правдаподобня. Ошибк- тинейного прдсаазання вперед и назад опрцеляются соотвстсчснно следузщими вырви синяки: зр [л] = к [г — р] -1- Л, ар' [т] х [л -1 т — р]. (8 8) Подстав,яя в (85) и(8.6) значение лр[л], оиределяе.ае выра- жсннеы 82). получат рекурсивные соотношения которые втывают спайки предсказания порндка р ошибками лредкзззния пордиа р — 1, В гл 7 было показав, что козффншщт отрагкени й, можно рассматривать как ызффициент часяои л прелями лгежду ашвбкамн линейноголредска- ...ная вперед и иазая и что он обладает следуюгцим свойством' Л (! (,(Р))*)м'5 [! р-,! — 3)Р) ч Это выражение определяет геометрическое» среднее'> между частной корреляцией ошибки предсказания вперед ру(е',-~[л]з'р- [л — 1])УЛ(]ага-,[л])') и частной корреляиией ошабьп предсказания назад Е(е',,[л]е'р [л — 1])УВ'[(е',м[л— — 1](з).
Подставляя в (88) оценки взаимной корреляции в ав. тоьарреляции ошибок предсказания вперед и назад — е' [н]еэ' [л — 1] ! я — ! егр, [л] (Л =р+~ и 1 У )Р,,[л 1]Г, =р г получаем следующее приближенное выражение для коэффициента огра кения: Заметим, что в ланном случае не имеет значения, какие огшвки корреляцгщ-- смещенные или несчещенные — били использованы, так как масштабирующий множитель сократился. При выводе выражения (8.10) предпоггагзггогь, что имеется Л отсчетов х[1), ..., х[Л] и ошибки яре шказавня ерг[гг] и еЛ[л] формы.
руются то.тько в диапазоне индер,соя от л=р -Л 1 да л=М. ио. скольку вспользуются только инеюшнеся отсчеты данных. Нетйудно показать, Рто модУль оценки коэффициента отРажениЯ Лр не нревмшает сюзанны, а зто гарантирует получение устойчивого др.фильтра (т. е фильтра, полюсы которого лежат внутри еда. пичной окружности в з п тоскости) Геометрический алгорвтм, такам обрщом, использует алгоритм Левансава, в котором внесто обычного коэффициента отраженна, вычисл]яемаго но известной автокорреляционной функции, используется его оценка й,. базовый алгоритм Левинсона част а» л щ штат н о у,ь, у,тз)77, знала.лз), 3 7' 261 дополняется прн этом рекурсивными уравнеииямв !л7), определяющими ошибки прдсказания, вычисления по которым начинаются с рекурсни иуевого порядка р[и] =е) [л] =я[я], (8.11) гле 1щл(Ч.
В качеств начального значения дисперсии ошиб«и линейного предсказа~ин используется оценка ,.—.. — ' »' (х[о] )Е (8!2) .«оторва характеризует кощнасть, садержшпуюся в Ч отсчетах чанных. В гл 15 привцится многоканальная версия геометрического алгоритма, а сответствчющая ей машинная программа томешена в приюженщ 15 А Дая случая одного напала (параиетр МОМСНЗ=() эт; программа будетдаватьрешения,иленгпчные получаемыи с оиошыо описанного здесь геометричекого алгоритма. 8.4.2 Гармо ячеек и апори м (Берга) Одни ич сзмых первыхп наиболее известных алгоритмов автарегрессионного спектрыьного опенивання был предложен Бср.ом [9] и впоследствинподробно исследовался Андерсеном [3], Датта [13], Хайкином Кеслерои [15] н Ульрихом и др.
[53[. Зтат алгоритм получит название зл~орвтма чаьсимэльвой ли»ронин, однако его слдовала бы рассматривать кэк одно из независимых и самос»отельных направлений, обусловленных принципам макснмальнй энтропии Берга[!9]. Алгоритм Берга нднтичен геоыетричсскому алгоритму и отличается от него лншщем, что а нем гснользуется другой тнп оценки ьозффвцнентл пражения, а именно оценка, определяе. мая па методу иаименшнл квадратов. Прн кзжзоч значении порядка р в нем минвжзнруется арифметическое среднее мощности ошибок линейнаа предскааания вперел и назад (выборочная лисперсвя вшиби предсказания) л р»1' — ~ Ч (е„'[л))* — ,У (г", [п]['1, (8 13) =р-! где полагается, что оозбки предсказания определяютсн реиурсивными выражениями (8.7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
