Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 36
Текст из файла (страница 36)
]ехр (1)и(цТ) Ь [) Рис а.!. Мед и грсмгвиа с ряда, кюогм алеют радионаз чк «е чщ фтикдив — фюгр азг Регрессии — иы щщ редвепг (АРСС) р д (р, Ч); и — ЛЕС-ирсичсс с щгмс Е. дечид, — ф» щр сдш щ ргдаею (сс) о дч г; г — а орегрессч «й (лр) фкг р рад«г дели, а параметры Ь(й) — ее часть, саответчвуюшую скользящему среднему Спектральную плотность мшности для АРСС- модели получаем, подставляя в (6.7) - — ехй)2и(Т) и масштабвруя интервалом отсчетов Т [см. выражени ((АЗ)], что дает где полииамы А(1) и В()) определяются вьзажевиями А (/) = ! -1- 2, о [А] ехр ( — (2и)й'), В(() =1.1- ~ Ь[й]ехр ( — 12и)й), л=! а векторы комплексных синусоид ег()) и е,() н векторы пзра.
меров а и Ь имеют следующий вид: ! 1 и[г]] 1] Ь[! Спектральная плотность мощности АРСС-прцесса вычисляется в даааазоне частот — 1127 г)ж1)2Т. В литературе часто используется обазначние ЛРСС (р, о), что удобна для краткого обозиачеаня ЛРССгодели с параыет. рама авторегрессии лорлдко р н параметрми скользящего срелнего порядки о. Заметилг, что задание А'-параметров, СС. параметров и дисперсии белого шума р полостью характеризуют спектральную платность лющнаств АР С-процесса х[и]. Любой аддитваныи шум наблюдения, присуттвуюшнй в после.
довательности измеряемых данных, должен юдалнроваться как шуи источника, огличлаго от источника аозфжбиюжгго шума, явлаюшегася составной частыа АРСС-модел (см, рис. 6.1,6). Эффекты, об!с.ювдеииые ш)чоч наблюдени, абсулсдаются в гл. 6. ш 0 ы --ы 'О 20 о -2О я-о х -20 ! -зо В -2О -о 2 ОА О.а С(г) 14 Е, сИг ' (6.15 (6.16 (6.14) (6 17 О 0 О, О 2 О 3 0 ' о,б 0 0 2 б О 2 О 3 О 4 0 О О О О.О 0.2 О б Р с.
Е.2. Таз опне пара и р «О оло. О спектра. а — АР[4).спектр; г— СС(4)-спок р, о — АРСС(4,4)-опек р. Еслн все АР-параметры положить, за исключением а[О) 1, равнычи нулю, тотогда г [и] = 4,' Ь [(г] и [и — «] .1. п [л] (6.!1) будет строга СС-процессом порядка г, нли просто СС(4)-процессом. Полагая з уразненан (6.8) р=-б, получаем спектрэчьную плотность мощности СС-процесса Рос(!)=ТР (В(!)('=Тр е,"(!)ЬЬпе (!), (612) Функцновальная схемз СС-моделн показана на ряс. 6.(,в Если все СС.параметры положить, за исключением Ь[О]=-1, равнымн нулю, то г[п] — ~, 'а[«]к [и — А] — , 'п [и] (6.13) О=т будет строго АР-процессом порядка р, нлн просто АР(р).процессом. Полагая в уравнении (6.8) д=б, получаем спектральную плотность мощности АР-процесса: тр„ тр (А (В(*,лб)взл, В) ' Функциональная схема АР-моделн показана на рнс, 6.1,г Прн заданных значениях параметров н дисперсии белого шума р спектральные плотности мощности АРССь ССп н АР.процессов можно вычислить с помощью полпрограммы АКМАРЕП, приведенной в орнлаженнн О.А.
Па рис. 6.2 показаны спектры типичных АРССч СС- н АР- процессов. Отнеттом острые пакн, характерные для АР.спект- ров, н глубоье провалы, хораьтерпы для СС-спектров АРСС. спектр, показнвый на рнс 62,з, педставляет собой резуль тат обьелвнемя АР- н СС.спектров ооьаэанных на рнс. 62„ п 6.2.6. АРС4-гпехтр пряголен для годелнровавня как остры. покое, так п лубоквх провалов.
С псколько иной трактовко спсктральныххарактерпсшок этпх зараметрнческнк наделы можно познзотмиться в статье Гутоски и др. [2] п книге Кы [8]. 6.4. Спотнпшеня между парамнтрвмо Дрэ СС. и ДРК.ыодппед Если задана 1Рэ СС- и АРСС.модел с конечным числом паР' метров, то еегожно выразить через!не другие ыодсли. АРСС н СС.працесст можно запасать с пооощью одной АР-моделп . общем случае бесконечного горядка Этот фохт очень зажег так как пазваяет выбнрать любую оз трех моделей и все ж получать прнылемую аппраксимапно при достаточно большоо о.орядке атой моделн.
Возможны опрделенные атгорнтмнчет 2гое выгоды, сли пончеющямся даным сначала оценить п раметры капа-лаба одноп моделн, затем по ннм вычнслнт значення парыетрав какой-лабо дргой моделя.Многозффек тинных алгорпмов опеннванпя нармегров разработано, в сш стностн, для 2Р.ыаделн. Как булет шпазагго в гл 10, опенпвз нне параметра АР-модели бальшог порядка часто исопльзу ется в качеств первого этаоэ алгортма оценнвавкя парапет ров СС- и АР)С-моделей.
Пусть — о алином заменателя АР( О)-мделн. Параметрьо с[« АР( )-модсл, которая эквпвалентн АРСС (р, 4)-моделя, пс лучаюгся из оотношсния В(2) 1 Сцо' илп формировннем обратного г-пребразовапия от С(г)В(г) = Л(гц Отсюл получаем 1, я=-б, — ~,' Ь[«]с[а — «]-1-2[п], 1 =лКД, с[л] = [ — ~ Ь[«]с[» — «], и)! 22З ° 2 , -о -10 а з -ю 2-0 0,0 О.О 0.1 0,2 ОЗ 0,4 Оэ ! с)р+ Ц с [Л + 2) (6 18) с[Рис)) а[п] =с[о]-1- Х Ь[Ь]с[п — Ь], 0-1 (6.19) Сг) — — 1.1 ~ с[Ь)г 1=1 р .
з игр 1)Б)— (6.21) : начзльными уславия1и с[ — 1) =... с[ — д) —.-О. И наоборот, юли задааы парачетр1 АР( )-модели, которая, как известно, лквивзлеитна АРСС(р,у)-модели, то значения СС параметров зажно восстановить, рюая уравнение с[а] с[ — !) ... 0[О Блг!)] (Ь[!]) с[А+ !] 1[р] ... с[р — д ' 2] Ь[2] с[р-1-9 — !] с[р-Š— 2] ... с[р] ] ~[8[4)] пноснтелыю параметра Ь[Ь) и используя при этом саотнашелие (617) при р-~-!м2мр+4. Матрица пзраметров с(л) в гравненнз (6.18) являчс» теплвцевой, поэтому для его решетка можно нспользаваь подпрограмму ТОЕРЕ!72. ппмешен)ую в приложении Ь.ППосле определения СС-параметров зиа. ления Ар.параметров .РСС-модели можно восстановить с по. зашью свертки де 1мнмр.
Алгоритм1 быстрой свертки основаны на исполь1ованип БПФ. Отиепп также, что уравнение (6.!9) выводится лз уравнении (6.17) Замеп1м, что в урвненияз (6.18) и (6.19) используются алька авторегрессноные параметры с[1),...,с[раб) ЛР(лю). задели. Если параметр с[Ь) прн Ь)р44 полагаются равнызи нулю, то реэ)лыирюшая усеченная АР(р-1-е)-модель макет Оипроасинирозогьгольао ту АРСС (р, Б)-модель, из мотоюй она пол)чена. Окаеппраксичнр) ет эту АРСС-модель в том :мысле, что полинам, братный полииому АРСС.модели, О(г)= кг) .= В( ) =1+ ),И[А]г " (6.29) 1 полинаи усеченной А'-модели -10 -00~ О ОЛ 02 ОЗ ОЛ ОБ ОО ОЛ 02 ОЗ 01 с Р . Бэ кмсчзие Ап-,Орекса юч О Арса- 2 а Π— Арсс(4,41- 1 е р, б — Ом\ р АР(за) 000 ю'" — «Р Ар)10 Оаарааш 110» Г" -ю .-ю и 9 Б -Зо Б -20 -ю [-3 11 Ь 0~ ою(11118 -50 О.О 0.1 02 О,З 0,4 ОЛ О.О 0,1 0.2 0,3 0,4 0.0 О.О ОЛ 0.2 О.З ОЛ 0,0 б Р с.
04. )Ш ии СС. рю«зюю а. АРСС. Льп Π— АРСГГА41. пек р, б — спектр СС(2Я. з р « » юм. — Ое. р СС(аа)-азарезс ачзи. согласованны, т. е. 8[Ь] =с[А], только дли )мймрч.р. Эта аппроксимация рационзльноа Функции аолиномов конечного порядка палиномоч более высокого порядьз представляет собой известную задач> аппрокснмалшн паде [4, 6)".
этз процедура будет использована в гл. 1О лли вывода аппроксимаций АРСС- моделей иа основе АР-молелен высокого порядка. Типичные АР-авпроксимации высокого порядка для АРСС.надели низкого порядка показаны на рис. 6.3. Аналогичным образам пусть теперь Р (г) = 1-1- Х б [Ь) г ' (6 22) 1=1 — полинам числителя СС( )-модели. ПараметрыЬ[Ь] этой модели, которая эквивалентна АРСС (р,ч)-модели,можно определить, записывая уравнение В (О (6.23) илн формированием абра~на~о з преобразования от >(з)А(з) .= В(х). Отсюла получаем 1, л=О; 1 1 — ~ а[Ь]д[л — Ь]+Ь[л], 1<лЯ; д[л]= ( — Х [Ь]д['-Ь]. л > ч. з=г (Б.24) Здесь также можно зависать уравнения, зналогичые уравне- ниям (6.18) н (619); см.
Равд, гЗздачнц ТипичныеСС-аппрок- спчации для АРФ-надели показаны на рис. 6.4. Ь.у. Соотношение Авч СС. н ДРСС.паРвмвтРов с автокоррелнцнонной последовательностью = — х, а[Ь]д(х[я — Ь]х*[л — гп])4-х, Ь[2]д(и[а —:]х'[и — т]) э=1 э=э (6.25) г**[т] — Х [Ь] .
[т — Ь]ф Х Ь[Ь] [т-Ь]. (6.26) Взаимную корреляцию г„[1) между вкодом и выхдом можно записать через параметры Ь[Ь], вхоляшие в выратение (66), используя для этой цели уравнение (6.2), что дает гт [1] = 4) (и [и .(- 1] х' [л]) = =б) ]и [л у- 1] (и'[а] т- Х Ь'[Ь]и'[а — Ь]~ з=~ =г,„[г]+ х Ь [й] г,[1 4-2]. (6.27) Этот раздел посвяшен определению параметров млели в точ случае, когда известна автакорреляционная последоательность. Если обе части уравнения (6.1) помножить пах"[и-т) попре. делить математическое ожидание, то получим а (х[я].т'[л — ууг]) = 22а Поскольку налагается, что и[Ь] — белый шум, то (о, г>0; г„„[1] = р.„, г' = 0; о„й' [ — г], г < О. Отсюда получаем окончательное выражение, свяаываюгцее параметры АРСС-модели и автокорреляпионную последовательяость процесса х[Ь]; г,'„[ — т], т <0; — ~, «[Ь]г,„[гл — Ь].1 р„у, Ь[Ь]Ь'[Ь вЂ” т], 0<т<91 г,„[т] — -- ь=1 з= ** [ (б 28) ( - — 2„' а [Ь] г,„[т — Ь], ну ) ч, з=! (6.29) где напомним читателю, что Ь[0] =-1 по определению [сч.
уравнение (6 2)]. Авторсгрессиоиные параметры АРГС-модели н автокоррсляцнонная госледоватедьногть связаны системой линейных уравнений. Выражение (6.29) ыожпо, например, заннсать для р значений индекса временного сдвига Чц.! <т<Ч р н загсы прелставнть в матричной форме (г.. [ч] г.. [ч — 1] " г., [ч — р -. 1]) ( и [1] ) г„„[Ч - 1] * , [Ч] . , „„[Ч - р 211 а '[2] *' [г.,[Ч-Р— 1] «.[Чц р — 2] г..[Ч] ( а[ ]) (г„[а-'-1] * г,„[Ч -~- 2) ( г..[Ч ч- р]) Таким образом, если задзна автокорреляционная последовзельность для ч — р+1<т<чфр, то АР-параметры можно найти отдельно от СС.™зраметров как решение системы линейных уравнений (6.30).
Уравнения (6.30) называю~си нормагшными сравнениями Юла — Уолкера для ДРСС-лроцсссаг иногда их также называют модифицированными уравнениями Илов Уолкера, Автокорреляпнонная матрица в системе (Б.ЗО) явля. ется теплицевой, поэтому для решение этой системы чуожно >5 — 1ЗЬЗ приыеннть полпрагрзниу ТОГРГ1ТХ, помещенную в приложении 3Г.
Количества треб)нных для решения вычислительных опергшпй проноршгонально нелишне рд Сжлует .шмеюьмь, что значении СС-параметров ЛРСС.надели не ивляютсэ, ь сожалению, решением систечы линейных )рзвнеиий СС.параметры вхолят в выражение (629) в визе свер~ок с коэффициентами импульсной характеристики )з[й], э зто приводит к нелинейной свкзи с ав~окарреляционной послеловательностью. Полагая н (6.29) п=б, получаем уравнение, свкзынающее авгоьоррелншюнную последовательность с параметрамн ввторегрессионной модели; — д, 'а [й] г„[т — й], ш > О; [гп] т~ (6 3 ].
г п[й]г„,[ й)-';р., =О: г,',[ †], т < О. Это выражение моткна записать для р-1 значений индексе временнбго сдвига Оышыр и затем представить в матричной форме (с*[О] ' [ 1] . г [ Р] [1 ] Р] „ [1] г„„ [О] ... г„ [ — р 1- 1] « [1] Π— (6.32) [.„. [Р] .„„ [р — 1] ... г, [О] ] [и [р] ] [ О ] Таким образом, если задана автакоррелкцпопнаи последователыижть лли Окш р, то ЛР-параметры можно найти в резулшате рсюенви уравнений (632), которые называются моркплзкзтн урпвнекплми Юла — Уолкерз длл АР-процесса.
Лвтокаррелкцпокнаи мзтршта в (Б 3") явлиетси и теплвпевоп, н зрмитовой, поскольку г:*[ — й] = г„"[й]. Поэтому для получение решении р, и[1]... о[р] при ззданнойЛКПсбывгыр мозкно попользовать подпрограмму ЕЕУг))(ЗОВ. помещенную в праложенгн 3.6. Количество требуемых длн этого вычислительнык операций пропорционально величине рц Используя аатокоррелишитиную последовательность, соответствующую уравнениям (631), получаем следующее выражение для СПМ авторегрессианного прецесса: р (1) ТЗ = Т 2 г „[й] ехр ( — г2и)ЬТ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
