Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Тогда р-й сегчент бтдет потаять нз отсчетов х'г [л] = х [РБ ц- л], где ОжггыБ — 1, а напстрчнмй индекс (р) обоаначает номер сегмента. По каждому сементу ОаржР— ! независимо вычксляется выборочный спеки в диапазоне — 1(йуы[щ1727 -! РД(!)=--)7[7'Цх хом[щ]ехр( — [2п[тТ)~, (535) =е для чего может быть кспльзован ащоритм БПФ на неяоторой се~ке час~от. Затем иа кждой частоте, представляющей интере!.
Р отдельных немо!хфнцпрованных периодограмм усреднюатся, с теь! чтобы поучить усредненную пернодограчыу Бартлетта Р ([) э-! Р П»- 1 ~ РмП) э=е (5 36) Смешение среднего значния этой периадограмцы определяет. ся выражением г [Р„ ([)) = ' ~". б' [Р[э) (!)) = б' [Р„, ())). (5.3П =э Таннм обращм, смещени оценки Рэ([) обусловлено вазлействием окна, которое смешат н выборочный спектр перяолограм.
мы каждого отдельного егме!жа Если периодограммы Р сегментов статистически незвпсичы (что приближенно выполняет н в там случае. нагла начения автокарреляцип г„ [т] малы прн щ>Б), то Р ([) мосно рассматривать ! ак выборочное среднее знзчение некоторй совоиупнасти из Р незаеисимыт наблюдений выборочногаспектра Р„.([). »(спользуя выражение для обобщенной дисперсм, ввелевное в равд. 5.8, можно показать, что величина лнцерсни усредненной вериодограммы 13 †!Збв !эл ляз Бартлетта обратно пропорцланальпа числу используемых сегментов, т, е. маг(0тг([)) са '"р (5 38) Следовательно, прнблпженно можно считать, чта )стайчнвасть этой спектральной оценка ул>чшается как велачнна, обрптнзя числу сегментов Р.
Уменьшение дасперснн с увезнчеппем Р будет меньше в точ случае, когда пернадограммы сегментов окааываются статнстаческн завнскмыма Что же «асрется разре. шенпя, то ано в результате разбкеняя послеловаге.тьностп данных на сегменты по О отсчетов в кзждам, где Р<Х, б>де-,, сстегтвенно, уменьшаться, поскольку. результлруюшее зффек-явное спектральное окно в этом случае амеет более широкий главный лепесток.
Прн фнксарованкам значевнн Х= РО соблюдается обычное компроыпссное соотношение между высо»ям спектральным разрешеннем (прк мэксамально возмог »ом. значешш О) к мпнампзьной дисперсией оценки (прн ллакснмально возможном значсннн Р). 5.7.3. Перкодограм в Уэпча Уэлч модпфпцвровзт основе)ю схему метода сегментнроллзлл~ я и усреднения Бартлетта за счет прнмснення окна даннык ь:кпользования перекриваюшнкся сегментов Перед аычнсленкем пернодаграммы каждого сегмснтз этот сегмент обрат»акмэ»ется с помощью окна данных. Цель прпмененпя окна — тз счет незначктельного ухудшения разрешенкя ослабпть рффе гы яз-за боковых лепестков ц уменьшать смещение оценлти Псль перекрытня сегментов — увеличить часло усредняемых сегментов прп запанной длине запнсн ранних н тем самы»~ уменью»ть днспергню оценки СПМ. )Ь основе БПФ Уэлч разработал также эффективную вычнслнгельную процедуру для реазкзацнн своега метода усреднення перводограмм взвешенных и аерекрывающятся се ментов данных, н именна зто сделало метод Уэлча самылл популярным пернолограммним методам спектрального аценнвання в наши днн Если запись комплексных данных аз х[0],..., к[У вЂ ] отсчетов разбита на РсегмептовпоОотсчетоввкаждо лсосдвнгомЯ отсчетов между соседккмк сегментамн (к ФР), та мвкснмаль.
ное число сегментов Р будет определяться целой частью чпсла (,у — О))5 ф 1. Взветпенный р-й сегмент будет состоять нз МР'[л]=ю[л]х[л — ', р5] (5 39) атоме~аз, ОылыΠ— 1, а номер сегмента р лежнт в интервале Ожрмр — 1. Выборочный спектр взвешенного р-го сегмента в диапазоне чстот — 172ты):П2Т определяется пыраженнем РДО=ООТХЯ(Б[Х" ())] =Рот)Х'"0)) (540) где и-л Х~РФ(7)=-Т Ххлж[п]ехр( — )2п(пТ) (54!) — днскретнсвременнае преобразованне Р-го сегмента, а о-л О=Т Х и'[л] (5.42) —.л — энергия декретно-временного ояна. Срелнее значенне пернодаграмм взвшснных сегментов дает оценку пернодограммы Уэ.лвр Я РыЦ) ' р л РИ(()' (5.43) р-л ** Множнтаь О в (5.40) устраняет эффект влпяння энергнн окн на смоленке в оценке СПМ Рр()).
Можно показать (см. нк»е разд. Задачи»), что среднее значенне пер~юдаграммы Уэ» а лложн запасать и следуюшем виде: б(Р (1)= —, У 4)(РП(7))=-Р„()).))У()))УР, 024М р=л где о-л (5 45) УР())=.Т д' ю[л]елр( — (2. )лт) =л — плккрет|ловременнбе преобразованке Фурье окна данных, а Р ()) — ятквная СПМ Обратное дискретно-временное преобр. лованвеФурье велнчнны (544) дает ожнлаемое значевкс зффсктавной автанорреляцнонной паследавательностн перподогр, чы Уэлч б' (г „[ш] ) = г„[ш] .4 [лл]тР, (5.46) глс а4[ю =к [а~] ° ш*[ — ш]=Т ~ го[я , 'гл]ю[рл] (5.47) -а — аатакоррпяцяанаая паслевоаагельность окна дшшых. Заме.
тлллк то Р= [0], поэтому 9[л]го[0] — это, по сутн дела, кой!в' 196 реляционное окно с еднничныч значением ири нулевом времнном сдвиге. Полная мощность в исходной последовательночн отсчетов данных определяется членам аатокорреляцпоннай оследоватеаьности. сошветствующим пулевому еременнозу сдвигу; поскольку д (г„~ [О]) = г„„ [О] 4 [0]/(/ г„„[0], (5:8) это означает, что г„в[0] — несмещенная оценка мощности. Уэлч, в частности, предложил использовать окно Хавва и 50з/з-иое перекрытие сегментов, которое обеспечпвзло ачкс эффекюгвиые реализзшш его метода на основе алгоритма Б1Ф при вычислении оценки (5.43) нэ некоторой сетке частот.
(Оо. ме того, при 50тз.нем перекрытии сегментов все данные испаь. зуются дважды, за исклю гением (З/2 отсчетов на каждом коце исходной Я-точечной последовательности данных, а зто вырвнпвает обработку большинства ото~стон данник, поскольк) те отсчеты, которые имели малые веса на одном сегменте, научают большие веса на следующеи сегменте. Анализ поведеня дисперсии периодограммы Уэлча лля гауссовских проиесов, проведенный с помощью выражений, которые приводятся в ое. д)тащем разделе, показал, что мивимальная дисперсия для зкна Ханна постигается при Обуз-ном перекрытии, прв этом зе. личина дисперсии увеличиваетсв приблизительно на 8,1, ри в использовании 50а/з-ного перекрытия сегментов. Так же ка и дисперсия периодограммы Бартдетта, дисперсия периодогрм.
мы Уэлча примерно обратяо пропорцнональна числу сегменпв, т е. тат [ри(д) со "*р г' 01 (519) в предположении независимоств сегментов (хотя перекрике сегментов приводит, ковечно, к некоторой их взавмозависиюстн). Благодаря перекрытию по заданной записи данных мозно сформировать большее число сегмевтов, чем в методе Бартлтта, а шо уменьшает величину дисперсии периолограммы Уыча по сравнению с дисперсией периодограммы Бартлетта. В отличае от корреляционного окна, используемого в пррелограммном методе, достоинства окон данных, пспользуегых прп спектралыгам оценивании, эпизодически становились прдметом оживленных дискуссий в литературе.
Было показно, что главная цель применения окан данных — уменьшение ~ффектов смешения из-за боковых лепестков в спектрах с биь. шим динамическим диапазоном амплитул сигналов Примры таких спектров, ьоторые послужили весомым аргументоь в пользу обработки даннмх окном, приводятся в работах Тглп- !97 где о-1 Х" (/)=7' д, х'г'[и]ехр( — 12п/пТ), з о Рг'(/) =- Т ю' рг'[и]ехр( — /2п/лТ) =з (5.52) лисьретно.иременнйе преобразования Фурье, а 0 аналогично величине, опредеденной в (5.42). Усреднение пс периоло- сана [19] в Ван Схоневелда н Фрейлпяга [20].
Значние абрз. ботки данных окном с целью управления уровнем бковых лепестков уменьшается в сну гас уплащения формы синтра (т. е. ври уменьшении даапазона амйлнтул составляющих:непалов). В ряде опубликованных псслелований утверждаетгя что применение окон данных лишь придаст одним отсчетаг ббльшую значимость перед другимп отсчетами, з также ухудшет разрешение (уширяет гл зный .гепесток ч,стотного окна) без како. го-либо ломпенснрующего уменьшения дисперсии. Зя утверж. денпя, несомненно, верны в отношении выборочнащ спентра, палтчаемого сразу по всей погледовательносгн отсеков сигнзла с относительно плоской спектральной характерисикой. Однако по отношению к перпадаграмме Узлча онн не зерны, поскольку перекрытие сегментов как раз и ~юпольается лля выравивваиия обработки (т.
е. выравнивания знач насти отсчетов) данных, а увеличензе числа сегментов — длт уменьшения дисперсии опенки СП52 Не верны онн н в зтношенни спектров сигналов с большим разчичием амплитуд оставляю. щих В случае ьочплексвых данных метод пернодогра~мы Узлча можво реализовать с помопшю программы РЕК1(ПОПО(М, грпзеденной в вриложеиии 5 В.
Программа для дейсвительных данных имеется л ~шь в упоминавшейся выше кннгегПрограчхы лля цифровой обработки сигналов» [4] (програзма 2.1). Процедура Узлча для оценивания взаимной спктральгюй плотности во многом аналогична процедуре оценки автоспектральной плотности. В этом случае У-точечные послдовательности л[и] и у[п] сначала сегментнруются н взвшиваются, в результате чего яолучаются последовательности х'г' [и] = ю [и] х [и -1- рб], у'г' [и] = ю [и] у [и -1- рб], (5.50) ГдЕ ОжяжП вЂ” 1, ОцраР— 1, ПО КОтОрЫМ ЗатЕМ ВЗЧИСЛястея выборочный вааимный гпектр э/(/) ООТ Х (П [1 (/П* (5.51) 1ВВ раммам всех сегментов дает окончательню оценку периода раммы Р„,(()=- — ', 'у ~„"„(!).
(5.53) э-з В случае гауссовских пронессов характервтикн среднего знагення н дисперсии этой взаимной спектрньнайоценкнвомна'ом сходны с характеристиками аналогичны величии дла автогпектральной оценки Программа РЕК!О(ОСКЛМ, праведен. сая в прнложенни 5 В, позволяет вычнсляь оценки взаимной спектральной плотности в случае комплекснах даннык. С.В. Комбнннроввнныв аарнодагрвммно.норрвлогрвммные оцвннн "лемы, объсднняющве особенноств периодграммного н корревограммного методов оценнвання СПМ, като предлагаются в энтературе с целью уннфнцнровать класснескне методы оцечнваняя СПМ; (см., например, рабаты [1520]). Одно нз нанзолее проработанных таких обобщений быо прелложено Нат~еллам и Картером [14] н включает как четные случаи все методы, который были опнсаны выше в рзд.
5.5 н 5.7. Нх збобщенне привела к созданию метода, пособного заменнш чопулярный пернодограммный метод Уэлч, т. к. он обладает сравнимыми статнстнческнмн характернсвкамв, а требует вдвое меньшкх вычвслнтельных затрат. Комбннврованный пернодогрзммно-коррлаграммный метод .астонт на четырех этзпав. На первом с юмощью уравнениа (5.39), (5.49) в (5.43) вычисляется обычая пернодограмма Уэлча Р ([), при этом допускается пранзвльный выбор вели.
чины перекрыюся 5 сегментов н окна даннсх ю[а]. На втором этапе вычисляется обратное ДВПФ для РК() с целью получо. сня симметричной оценки автаьорреляцннг. э[т] для 2Ож! гременнмк сдвигов. Лвтокорречяцнонная оенка г „э[т] охватывает значення (т[ О вследствие ваздаствня автакоррелягионной функции окна Ф[т] =ы[я] *а(п] чта проиллюстрировано рнс. 5 9, а н 5 9, б для случая прям)гольного окна. На ~регьем этапе эга оценка обрабатывается помощью действа. гельнога снмметрнчного корреляцноннаго кна ы[ш] нечетной планы 2!.+ ! н получается взвешенная автокорреляцнангшя «ценза г„„с[гл[ - а[аз]г„ э[т]. Ширина эжа «орреляционвого ° киа выбирается меньше ширины автокоррляцнонной функцнн Ф[т] окна данных (Е( Р). На четвертом этапе вычнсляется дВПФ для г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
