Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 30
Текст из файла (страница 30)
э постоянстэа уровня СПМ в прелелах игшервала (ячейки) разре. шеиюг Поскольку для гауссоэскик процессов статистические моменты четэертого порнлка можно записать в вилс сумм про. изэеленнй моментов второго порядка (т. е. дггспершй), то анализ дисперсии оценок СПЫ значительно упрошается, как показано в нриложенин 4 А. Несмотря на то что вывод неравенства (5 7) основан на допущении а га)ссоэости наблюдаемого про.
месса, оно может на пра «гаке л)жит вполне приемлемой ап. проксимацией и для негауссонскнх процессов Поэтому его можно использовать в качестве средства выявления процедур спектрального ацеинэвиия, которые позволяют получать апенин с хорошей статистической устойчивостью Разумеется, прн этом г аз 1Ез могут потребоваться предварительные испытания подобной процедуры, с тем чтобы ее можно было «настроить» на нанлучшне характеристики оценок, получ«емых по конкретным заданным данным.
Как отмечалн Влэкман и Тьюяи ([2], с. 21), 3Мы в основном должны полагаться на наблюдаемые от ис. пытання к испытанию нзменекня как на вадежный критерий потеря устойчивости наших спектральных опенокм !.$. Оценмввмне ввтпкоррепяцмм н взвммной норрепяцнм Автокорреляционная последовательность г„[ш] эргоднческого пропесса была окределена выражением (4.58) как прелел сред.
«его по времеви На практике эта последовательность, как правило, нс кзэестг~а и поэтому должна оцениваться по имеюдезся конечной записп данных. Если нмсетгв АГ отсчетоп лан«ых х[л], п=-О, ..., Ж вЂ” 1, та получаем слелующее очевнлное вытаженке для днскретно-временнбй оценка автакорреляцнк: л- -1 г„„[ш] =„, ' „. У х[п-)-пг]х [л]Т=. »=а л — -~ — х [и -';- лг] х' [и]. (5.9) Зта оценка следует пз выражсния (4.56) после замены (2М-1-!) га (М вЂ” т) н изменения пределов суммирования в соатветствки кчеющимнся даиаымн Выражение (5.9) пркмеикмо только ~ра положительных значеннкх индекса временного сдвига !ышыЛ' — 1 (этн сдвкги равны гпТ секундам) Автокорреляцнкгные оценка прн временных сдвигах, ббльшкх (Аà — 1)Т, невозгожны нз-зэ конечноста *апп и имеющахся данных Прн атрнательных значениях нндекса норрсаядвонного «денга †(И— — 1)мшмО выражение для этой оценки лолжно быть модифн.
!нропако следующим образом: ,т-г г„„[п]= . а х[л-1-ш]х'[и]= и-! — х'[п.)-)т(]х[п] (5 10) -з 1етрудно показать, что оценка автокорреляпви (5.10) является пораженно-симьзетрпчной, поскольку удовлетворяет условию ,„[т) = ггщ [ — ш], т. е. обладает тем же свойством, ~о~орое рксуще и известной автокорреляционной последовательности. 1рн вычисленпи оценки г„[ш] следуе~ использовать только положнтельые индексы, поскольм требуегые значения прн от.
рнцательны индексах получаюто но своству сопряженной сямметрнк.Ганям образом, 2М вЂ !звтокорйляцнонных сдвигов могут быть ценепы яо И отсчетаздапных. Днскрет!ап последовательнось г, [т) формирует песце. щепные оцпки погавкай автокоррляцня 8 (г„„[л]) = — ~ б (хй4-т]х'ч]) —..г„[ю], (5 11) =з Как показми Дженкинс и Ватт [8], занснмость дисперсии этой оценккавтокорреляцин от чела отсчеав даквык в случае гауссовсьихпроцессов дается слдующимпряближенным вы. раженкем: чаг (г„, [гл])гю —,,), (г'„,[й] . г„„[й )-г] г„„[й — т]) (5 12) Здесь полаается, что Аг»т, т.. индекс временного сдвига много ясные числа отсчетов дзных. Отмшм, что с увеличением задека временнбго сдвига ~наченне эгай дисперсии возрастает.
Покальку прн больших ременньг сдвшат усреднение возможно лшь по небольшому пслу ответов данных, то с увеличеняе. значенпя андекса ерменного сдвига т статпстнчесьая неоределенность ацепкв автокорйляцнн возрастает. Прндеелн.нак И значенае даспрсии спемктся к нулю, так что г,[ш] является статнстнчеси состоятльной оценкой дискретно-премнной автокорреляцисгной зопсдовательностк Агштернтввная оценка автакрреляцвг имеет следующий вкд.
г„„[м]= ( —,э х[п — 'ш]к'[гг], Ошшщм —,; (5.13) — х" [п-(-(ю)]а[о], — (Аà — 1) м<О. Эта оценкаотлнчается от оценкиг[ш] тшьло нормнруюп!нм множатедек г е (5.14) Прн конечюм Д) оценка (5.13) вляетс» с«еи!елкой, посгюльку г(г..[ш])=Т) )„"(]г. М], (5.!5) ~симптотически несмещенной оцентреугольиое окно относительно ляцни при нулевом сленге. Дис..
зуюшнм приближенным выоаже- и пс, инеи. чж(,[ ])= М.)"! чщ(.„[ ]) гм — (г*„, [Д] г„„[й-1-т] г„, [Д--ж]). (5 16) 1 Прп фиксированном значении времеинбга сдвига значение этой дисперсии стремится к нулю, когда число отсчетов возрастает. Для типнчнык прпложений средний квадрат ошибки (сумма дисперсии и квадрата смещения) будет, как правило, больше для оценки г [т], чем для оценки 7,[щ], особенно в тех случаях, когда максимальное значение временибго индекса будет грнближаться к числу отсчетов данных Несмещенные сценки автокорреляцни могут также давать ацеикн автокорретяции, которые ае являются в действительности аегокорреляционными последовательностями Рзссмотрии, например, последовательность данных .г[1) = 1, х[2] = 1.! и «[3] = 1. Для трех значений сдвига получаем следующие значения оценки автокорреляпни.
г* [0].=1,07; г„[1) =1,1 и г [2) =!. Заметим, 'гто г„[0] < <г„[1], что противоречит первому иа свойств в (4.30) Следовательно, несмещеинье оценки автокорреляцпи могут приводить к автокорреляционным матрицам (когорые будут рассматриваться в гл. 6), не явлиюшимся положительно-пал>определенными, а это означает, что соответствующее матричнав уравнение не имеет решения. В то же время автакорреляционные матрицы, сформированные из смещенных оценок автакорреляцни, всегда бузщ положительна-полуопределеиныын матрицами. Именно по этой причине предпочтение часто отдзется смещенной оценке автокорреляцни.
При пулевом временном сдвиге обе опенки аатаиорреляции имеют сдинзковые значенни: г„„[0] = г„[0] = —,З (х [и])ц (5!7) =э Зта величина характеризует полную мощность измеряемого сигнала. Следовательно, обе эти оценки сохраняют мощность измеряемого сигнала. К 1З7 Суммирование, предусматриваемое в выражениях (5.9) и 5.13), нежно записать каи линейную свертку Ь- -1 к [ил.ю] х* [и] =.
к [я] я. к* [ — л]. (5 18) .=о (ледовятельна, для вычисления оценок дискретной эвтокорре. янин ь1ожно примени~ь эффективные в вычислительном отнозении процедуры, в которых операции свертки выоолннются помощью алгоритмов БПФ; более полрабную информацию об том см в книгах Отнеса и Энохсона [16], Рэйдера [18], Рачшера и Голда [17] (гл О) и Оппенгейма и Шафера [15]. Аналогачныч образом можно определить оценку взаимной орреляции.
Предположим, например, что имеются две послеовательностн измеренных данных х[п] н у[л], где временнбй идекс измсаяется от л=-0 до п4 0 — 1 Тогда смешеацая сцена взаичаой 1орреляцви будет определяться следующич вырагеииеы: ты[гп] = ( э! ' ...:, * ' — к[ли-т]у*[я], 0<ю.-0-.11 (5.19) — х[л]у*[пф]т(], — (Лг — 1)<я<0. =з 1 выражении длн несмещенной оценки взаимной корреляции место 1(Л' будет стоять 17(йг — )щ)) В отлачие от оценки авокорреляцип значения оценки взаимаой корреляции должны еперь вычисляться и прн отршга1ельных значенняк временнбго идскса ю, поскольку гДг[т)~гю'[ — щ]. Мажиа также покаать, что смешение и дисперсия смещенных оценок взаимной орреляции ведут себя идентично смещению и дисперсии смеНенных оценок явтокорреляцин В прилогкенни 5 А приведена написанная нз Фортране полрограл1ма СОййВЕАТ!О)3 предназначенная для вычисления цепок автокорреляции и взаимной корреляции Зта мащиннзя граграммь поза лает вычи.лять как несмещенные, так н сме.
ценные оценки. .б. Корреиограммный метод оценки СВМ ) гл. 4 было показано, что спектральная плотность мощности СПМ) прелставляет сооай дискретно-временнбе преобразова. 1ие Фурье автакорреляционной последовательности Р,. (1) =-7 Х г„, [пг] ехр ( — 12и)глу). (5.20) Аоррелозрамлгэыг) метод оценкванвя СПМ вЂ” это просто подста.
нонка в аыраткенэе (6.20) конечной ооследовзтельносжг зяаченнй оценьн звтокорреляцнн (коррелогром.иы) вместо бесконечной последовательности нензвестных истнннык значенвй авто. корреляции. Например, подстановка значенвй несмещенной оценки автокорреляцнн г, [ш], которые вычислялнсь прн индексах временного сдвига с макснмальнымн значеннямн дает одну из возможнык оценок СПМ Р„„(])=Т д, г,„[ю]ехр( — (2п)тТ), (5.21) определенную для — !)ОТОЙ(м!(2Т, Максимальный индекс временнбго сдвига Д кэк правило, многа меньше чнс.ча отсчетов данных У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
