Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(4 51) г=! Если к независимому белому шумовому процессу ю[л], имеющему лнсперсню р„, добавлвются комплексные синусоиды, имеющие случайные фазы. то стммарный процесс у[л].—.х[п]-1- щт[л] будет иметь аитокаррезяцнанную последовательность следующего вида: г„[т] =- г „[т] -1- г„„[ и] = = 2,' А]ехрМ2 (лгпТ»р.б[т]. Автакарреляционную матрицу (4 47) для случайного процесса, состоящего из комплексных синусоид н аддитивнога белого шу. ма, можно с помощью выражения (4.52) ззписать в следующей сжатой форме: !зз где ! — единнчаая (М 11)Х (Мд-1)матрица н 1 елр (12пД7) еэ (),) ехрЦ2 Дмт)1 — вектор комплексных синусоид с частотой )ь 4.4. Зргоднчностщ от ереднн» па ансамблю и средним по времене До свх пор ыы в данной главе при определенны такнл харакгернствк случайных процессов, как среднее значенне, корреляпня, коварнаиня м спектральная плотность мощности, пользоззлясь только стагнстнческнм усреднением по ансамблю.
Однако на практике обычно не удае~ся получить ансамбль реализаций требуемого процесса, по которому можно было бы вычнслнть эти статистнческне характернстнкв Желательно оцеинвзть все этн статнствческне свойства по одяол выборочной реалпзацян х(г), заменяяусреднение по ансамблюусреднсннемпоеренеки. Свойства, требуемое для выполнения ганой замены. называется эягаанчкастью".
Говорят, что случайный праце с эргодн ~ен, если с вероятностью, равной еднннце. все его статнстнческве хзрактернстнкн можно предскззать но одной реализация нз ансамбля процесса с помощью усреднения по нремен»; ннымн словами, средние эначеная по времени почтя всех возможных реалнзаций процесса с вероятностью единица сходятся к одной н той же постоянной велнчннс (срелнену значению по ансамблю). Заметим, что блаюдаря свойству зргодичностн значительна упрощается математнческай анализ с.гучайных процессов. Концепцня зргодн снасти требует прннятна допущенвя о там, что данные стацнонарны вплоть до момента четвертого поряд. ка. Для тога чтобы процесс был стационарным, ега статистнческне характернстнкн не должны зависеть от выбраняой начальной точки отсчета времени.
Интуитивно эта вполне понятно н приелглемо, поскольку усредненная ао времени величина не зависят от времени, а поэтому не лрнголна для аппроксимации какого-.тиба статистически нестацконарнога параметра, значение которого зависит от времени. Следовательно, еслн наблюдать отдельную реализацию процесса х[п] в моменты времени Относнгельн зз олачааста (см., наззз «Р, !щ ! 4 щ( Прн д ль лт и т. л, та в среднем его наб.:юдаемое значение лолжно быть ранным х. В предельном слу гас нзблюдення во зсе моменты ереыенн ьгажна ожидать, что среднее значение будет разно 1нп —,,У, х[л]=8[х[п))=к. (4.54) Можно показать, что этот предел, есза он существует, сходится к нстннному среднему значению тогда н только тогда, когда дисперсия среднего по времени значения (4.54), описываемая вырадмннем †) с [лг] = О, (4.55) стргмнтсп к нулю, здесь с, [т] — истинное значенне «оеарнацнн па ансамблю случайнога пронесла х[я].
В этом случае говорят, что процесс х[н] эргоднчек е среднем. Лналаги иым образом можно показать, что. наблюдая значение пронзведенпя атсчетан процесса х[п] в два момента времени, разделенные временнйм сдвигом и, скажем х[л,д-т]х[л,), х(пз.уж)х[лз) н т д., можно ожнлать, что среднее значение будет равна м „Ян-1-1 (щг — „' э х[я-.лг]х'[я]=о (х[гг-г ггг]х*[«])=г„„[ю]. (4.55) Можно показать, чта этот предел дейстентельно схопнтся к истинному среднему эначенню тогда и только тогда, когда лнсперсня этого среднего по времени значения стремится к нулю, т е.
когда йю — „~ ~1 — яы 4,) со [ю] —.-О, (4.57) тле с„[т] — истинное значение ковариацин по ансамблю авто. норреляиноннога случайного процесса х [л) =х[л-1-т]х [л], т. е. автокарреляцнонного произведения проиесса х)л).Заметнч, что са[ю] включает в себя статнстнческне моменты четвертого порялка процесса х[л]. Если указанное условне выполняется, та говорят, что процесс л[д] — алгокоррелякноггяо эргодлчея. Если стационарный проиесс х[л] является гауссовским про- Гю ь « 1вт и с нулевым средним значением, то нетрудно показать, к[п] обладает свойствамн эргодичвости в среднем н автоь,рреляционнай эргодвчности (см.
Папулис [6]). Нескольио труднее вывестн условие эргодичности дли негауссовскмх процессов, поэтому ограничимся адесь лишь замечанием а там, что почти все наблюдаемые на практике стационарные пронес. сы являются также и зргапическими процессами. В связи с згим мы будем долге полагать, чта ес«п измеряемаш процесс стационар«и, то усредиеиие ло ансамблю при определглии его среднего эиачсяил и азтокарреляции можно заменишь усредиеииг,н ла времени.
Допущение об эрголичности позволяет не толька ввести через усреднение на времени определения для среднего значе. ния и автокорреляции, но позволяет также дать подобное апре. леление и для спектральной плотности мощности (СПМ): 1 М 1*1 Р„„(!)= Ош д ((хм 1), Т ) х[л]ехр( — (2и(лТ)! ~. (4.58) Эта зквнвалеш ная форма СПМ паяучается посредствои статистического угреднеиия модуля ДВПФ взвешенной совокупности данных, поделенного ва длину записи данных, для случая, когда число отсчетов данных увеличивается до бескоаечности. Статистическое усреднение необходимо здесь потому, чта ДВПФ само является случайной величиной. изменяющейся для каждой используемой реализации х[п].
Для того чтобы показать, что соотношение (4 58) зквиватеитно теореме Винера — Хин«низ, представим квадрат модуля ДВПФ в виде проиэведення двух рядов н изменим порядок операпий суммирования н определения математичесиого ожидания, по дает М М Р,(!)=„! ° д~ —,', ), ) .[]:[„], --м =-м хехр( — !2зъ)(т — л] Т)~ = Т тмфг 2 ~. г..[ш — п]ехр(.-!2п([пг — п]Т), м =-м --м * (4.59) Используя известное выражение м м зм 2; г„„[ы — и] = 2' (2М -(-1 — [ы() г„„[ы], (4 БО) соотношение (4.59) можно свеств к следующему.
(251 Ф1 — ( ы () г„„[ы] ехр ( — !2тдтТ)= . лг р„,(!)= 11пз Т зм, гм йш Т )' ! — — '"', ]! „[гп]елр( — (2и)глТ)= =.Т 2' г„,[ы]ехр( — !2 (ыТ!. (4 61) Заметки, чта на последнем этапе вывода выражения (461) использовалось допущеияе а том, что автоьорреляционнзя последовательность «затухает», так что Х ( «..[ю]<-, (4.62) поскольку в праюьвном случае ДВПФ автокорреляциоиной послезонательностн не будет с ростам длины записи лавных стремиться к истинной СПМ, т. е. усредненной по ансамблю, даже несмотря на эргодичвость самой автокорреляционной последовательности.
Так, например, это условие нарушается длп случайных процессов с ненулевым средним значением н для процессов с сенусоидальными компонентами, хотя использование импульсных функций позволяет исправить положение и в этих случаях. Таким образом, прн выполнении условия (4 62) два выражения (4.33) я (4 58) для СПМ будут эквивалентныьги Взаимосвязь этих двух определений СПМ наглядно показана рис 4 1 с помощью треугольной диаграммы.
Метод определения СПМ иа основе автокарреляционного подхода называется косвенным, так как случайный процесс х[п] непосредственно не используется для оценивания СПМ. Метод определения СПМ по формуле (4.58) называется лрч.чььм, так как процесс х[л] непогредственно используется для расчета СПМ. Если в выражении (4.58) не учитывать операцию математиьеского ожидания, то получим оценку СПМ Р,,(!) 1!ш Т д х[л]ехр( — (2п(лТ)~1, (4.63) м „.„(хм.(- 11 т [ которая называется выбора«иым спектрам. Это — та же первоначальная пгриодагро.има Шустера, которая была описана в гл 1.
В приложении 4 А показано, что выборочный спектр не является состоятельной оценкой истинной СПМ И хотя срелнее значение выборочного спектра в прелезе стремвтся к истинной СПМ, дисперси» при этом не стремится к пулю н по своей вели- с ,! ).З[.!., )щ).1~ ~х ! 1э1-2 )т~ и, 1 м 3 м зч„! 1 Щз ) и Ркс.
4.1. Эазя еагяые ээр д р А т и щ исиальзсза допущен а зргааач о к чине будет фактически сравнима со средним значением вибо. рочвого спентра Первые яальзователи периодограммы пренебрегала операцией вычисления математического ожидания и в резулыате получалн нереальные спектральные оценки, а ведь еще сам Шустер (см. гл. 1) предупреждал о необходимости выполнения некоторого рода усреднения, или сглаживания, при пользовании перкодограммай. Именно яо этой причине пернодограммный метод постепенно вышел из употребления и вновь стал применяться на практике только где-то в начале 1950-х гг., когда появилнсь достаточно хорошо статистически обоснованные методы сглаживания 4.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
