Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Понятие энтравми Понятие меры информации было введена в статистику Клодом Шевнаном. Так, например, некоторое событие, которое имеет М возможных исходов х, с вероятностью р[х)], характеризующей вероятность появлевия )-го исхода, содержит в себе информацию, величина которой определнется выражением 7 [х,] !п (1)р [х,]) —.- — !и р [х,]. (4.64 Ожидаемое, нлн среднее. значение этой информации равно энтропия, которая определяется слелуюп!и» выражением м м Н [х] = Х р [х)] ! [х,] = — Х р [х,] !ой р [х)]. (4.65 Энтропия представляет собой некоторую меру «неопределенности». связанную с появлением некоторого события. Чеч выше энтропия, тем больше неопределенность появления данного со- б я Энтропия лискретноа события будет максимальна в ытн , каг а случае равномерного распрцеления, т е в том случае, А все исчады равновероятны Аналогично получаем, чэ ненрерывнзя случайная величина с непрерывной функцней пптвостн вероятности р(х) будет ит)еть энтропию Н (х) = — р (х) !п р (х) дх.
(4 66) с ростом размерности М использовать удельную зелвчина кшарой может рачодиться матрицы й„ . В зтам едуче можно знтрояию Н Л=- И)п йрюу и (4.68) Можно показать (Смайл идр. [8]), чта удельная энтропия гауссовского процесса с ну.евь)м средним и шириной паласы )астат 8=1(27 определящс) выражением п [Р„„(П] д(. (4 69) Л= 2 (п(2В)- 49. [ 1 Этот результат будет нсползоваться Аеиии метода манснмальнойэнтропии.
нами в гт 7 пРн обсУж Литература (ПБЛ! Р П.Д.Р щ» Апа)71!5щпап Ура Ргс !ЕЕЕ, а!.52, 1-2З-1545, Пме) Ь г !94 (Име т я ру«й парез д Бяю ид- Р Д. Р. Фгрщ и з з т ар» х прок ТИИЭР, 197, . Ц ю 12 с 15 — 55.1 Р1 П гд М Л. Ржгадзса с 1 Цаадсщ Рш е Ма щ Пап Р ЬЬЩ)ак Сащэапт,юаз (З! Мсм 4 О М, М и. О.
С. 594)гы АпМУ.л ° д Цз,тээ)юМю Нс)дсп. Эзу. )ис. 5 Г ь °, 195 (Йяеег ру хиа 9 з . Лют зг Г., дз Л. Оюктрал а аиали ю р юия — М. М р, 1971, з 1: 1972. эюп, 2) (41 Лаях М. М д 59 с)м)Е)!пыз Р «Ьсз-Нап, 1., Е Кюваод Еппз, и д, 1997. (5) м * л л. л., мш т. з"..!ад 1юп!а Адарн е лгг уз д ь ют!47 д 5 пз, !а ., Иег Уогк. 19ж В лискретном случае энтрамя Н[х] — строго неотрицательная ф нкция, однако в непрерынам случае она может принимать и отрицательные значения. Пдставляя в (4.66) гауссовскую платность вероятности (4 46, получаем энтропию лля гауссовского процесса с нулевым оедним (см Смайл и др [ ]') [8! Н=-, Ь[де19„„] (4 67) 160 !61 (б) Расы! А.
шапа! Ап !Уют Мсога -НО О сх С р 7, Н н Уож, 1277 (7! РЫ ! А РшваЫЫУ, Ц даю сапам, д жосааа Расею т, 2пд .д. а!об ап-нж вооа Омар 7. Ню тога,'!Вйа (б) З 'асу О. Л., Сг Ш О Х, С брасп т 7.' Л» !7. т о! ! едм.ндю Ф. Ою!Оз ц 1 !юп, метод сошра!аОстгрьгн ь л л1д с! 1, ед», 1З,РР Ю1-4ЗО,Ас дею1 Раз,1т.,ме У а,!272 Звдачн 1. пт ть .
( )=А тппм7-1-а! — анг аиды 3 па аесс и ыга емрш (4.бб), а Реле.а р не» тю антек Рре анею а аа а ьном луча 3 Пгс 41) а(Π— дваста тгл е пропеты доказать, Р.,(*! 4 Лла л р а рыа т са ы, . ан ык х 2, показа ь то сп кт- тыш,е ( !' (() !' = ( Х (П (' ) и Ц) (д Рш П) = Ры ПП Н (() [и Эю Р гл а ваяет а лру а рш» дока!а ьс а аюе- (4 43! б Дока ать, что:а (п) — л а а е. еы м.тедааа .ыт ь, с сткт- 7 Пггь 1 х[п]= ~ Агв(п(ун!глух-8!)-~ю[л] — роаеса т ашнй 1.
т й е шннх 7 ыд, аа. ьнме ф нстерм» ра ер о р спреа .,ыы на» ерааае О до 2к, б а го 7 сваг Р песта (), н юше а аюртюр.вмч . ьс а пме ктюю ока В. и казать, что аа Роаес а, оп ннс о арелматшей ааа е, аатс раек о нгю кз р аг н мно з ла ть в ааа П,„,'~ — )[ем (11)ем((!)+ем((!)егм((,)]+р !. 1 ! Прюскенме А.Д. сменные н лнсяврсня выборочного спектра Стлнткческнй анализ перподограчмы в абае» случае оказываеса достаточно сложным, по!тому ниже будет рассмотрен спепмьный случай бел го !а) савсьо!а процесса нулевым сренм зпачеанем. Тем не менее полученные лля не!а резуль. тат! 1огуг оказаться палезныь!н прн опредежнпн поаеденпя снепрльпых оценок на основе перподограмм н в более общак сауак; см.
[3]. !ьаорочный спектр последавательпостн конечной длины х(п,!=.О, , и — 1, опнсыаается аыраз еннем Р,.(!) = — '(Х(()(Б гдед!) — дпскретно-оременнде Ореобразованне Фурье, опрелеляео еыраженнек л-! Х(() =.Т х х[п]ехр( — !2п)пТ). =а Этопробразоеанне нденпано (см. задачу ! в гл 5) днскретаовр еемдму преобразоеапнш Фурье ат оденки автокорреляцпонпойполедопзтельносж! н-! Р, (Л = Т Х гы [т] охр ( — 72п)тТ), =-!К-и "" где мшенная автокорреляцнопная оценка ь- — ! ты[т] = — А„х [н-, 'т] х'[и] -а нсплвуется пра макснмааьном числе корреляцнонных сдвигов ( -о., и — )]. 1рцнее значенне выборочного спектра будет нметь впд П-1 б(Р„„(()] = Т ~ 8 (г,„[а]) ехр( — 72 )аТ) = =-гз — О * М-1 = Т з [ ! ! ~ г „[т]ехр( — 12п(гпТ) =О'(П*З,(П, где й'() — ЛВПФ окна Бартлетта, которое апрелеляется выражеюе.
~ ! --] т((И, ( ( ~ И вЂ” 1, О, ( (>О' — !. П вЂ” 79 г аш 4 гы Таины образом, среднее значение выборочного спектра представляет собой свертку истинной СПМ с преобразованием Фурье окна Бартлетта. Поэтому выборочный спектр оиазывается сиен(зяиьгм при конечных знвчевиях М, на яесмеи(шяым, когда ю, поскольку Бш 8(Р„„())) =Р,,(1), что диет истинный спектр. Автокорреляння периодограммы определяется выражением 8 (Р„„(),) Р„„(),Н =.
я-!з-~я-1я-~ * —.' — ),' ~,» ~,8(х[й]х[4х[ш]х[л]]м з=ь г=з .=а =э мехр ЦйпТ [А (й — 1) —,/, (гл — и)]] Днсперсня выборочного спектра включает в себя моменты чет- вертого порядка,.значения которых трудно вычислить е общем случае Однако поскольку к]й] — белый гауссовский щ эзесс, го статистические моменты четвертого порвпка представш ы в ви. де суммы моментов второго порядка: ( р, й=( и ш я или й=ш и (=п, 8 (х[й]х[1]х[ш]х[я]) — — или й=л и )=ш; 0 в остальных случаях, где р — дисперсия гауссовского процесса. Это означает, что 8[Р,. (А) Р,(Д)] .= Отсюда следует, что сот (Р„„()г) Р„„(Д)] — —. 8 (Рш (( ) Р„„() )) — 8 (Р„, (Д)] 8 [Р„„(Д)]. Поскольку для белого гауссовского процесса б(Р .(()) .-Ур,, та соч(РшП,) Р..(),)]= = Т ( 'Ш ° Г() -(-1,)ЛП Гзм ГП,— ()Мт Дисперсия на частоте ) будет определяться выражением тат (Р„„())] — соч (Р,„()) Рш (I)] = отк)та видно, что ее значение не стремится к нулю ни при каке большом значении М Следовательно, выборочвый спектр яе яляегсл сосгоше.гьяой оценкой СПЛ(, так как его дасперсня иыеч величину порядка Рз ()) при любам значении М а эта ознаает, что его стандартное отклоненае (т е среднеьвздратичня ошибка) сравнимо по величине со средним значением, «отбое лолжна быть оценено )ыбор гармонических (т е, делочвсленво кратных величине (М") частот ),=т)87 и )з=пйму, таких что ш-дл, приводит к нугевой гговариацпи сот(Р„,(Д))з„.(Д)] = б, я эо означает, что значения периодограммы, разделенные по часпте интерваламв, пелочисленно кратными величине 1)КТ гер~ булут некоррелированными.
С ростом числа отсчетов данных У частотный ингервал между такими некоррелированныж значениями пер ода~раины посгепевно уменьшаетси Это обспятельство, а также та, что значение дасперсия не уменьшаетсг с уветичением Л'. приводят к точу, что значения периало. тра мы начинают все быстрее и быстрее флюктуировать (см., напимер, рис.(Б). обшем случае любой иебелый процесс л[я] можно получятг пропусиая белый шум с дисперсией р„ через линейный фпитр с Аг(Х вида ]Н(])]' Поскальну истинное значение СПЛ Р„„()) и эта Аг(Х связаны соотношением 1 „„()) = т р„, ] и ()) ], то южно показать, что в данном сну~аз будет справедливо слеуюшее првблнженное равенства. аг(Р„,()))=]Б(Д], ~1 ( (и Ш)™], ]~8(Р ())]* Таим образам, с ростом Л' дисперспя выборочного спектра сгрыится ве к пулю, а к некоторой ве.шчиае, пропоринанзльнойматемаюшескому ожиданию квадрата СПМ (т, е квадрата истнной СПЫ), а это делает тзкую немодифицнрованную пе.
рг'оограмму кесосгояшльяой оценкой СПЛ( Иными слаоами, яр~ любом значении частоты ] оценка Р „()) не сходится в сре нем к Р„,я, где Р.„()) )О Глава 5 КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СПЕКТРАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ 5.1. Введения В гл. 4 была еведенм два формальных, на экзивалентаых метала определения спектратшной плотности ма~гтностп )СПМ). Косвеннмй метод основан на использаааанн бесконечной последовательности значений даннмх для расчета аатояоррелицпонной последовательности, преобразование Фурье которой дает нспомую СПМ. Прямой метал сжределення СПМ основан на вычисления квадрата модуля преобразовании Фурье длн бесконечной последовательности данных с использованием соатветстауюшего статистического усреднения.
Показано. что реаультнруюшая функция. получаемая без использования такого усрелнения и назыааемая выборочкмм слехгроп, оказывается неудовлетворительной из-за статистнческой несостоятельное~и получаемых с ее помаШью оценок, поскольку среднеквадратичная ошибка таких оценок сравнима по величине со средним зна~ением опенки. В этой главе будут кратко рассмотрены методы усреднения, которые обеспечивают получение гладких и стэтистически устойчивых спектральных оценок по конечному числу отсчетов данных. Опенки СПМ, основанные на прямом преобразовании дааных н паследуюшем усреднении, получили название лзрпэдозрал.н.
Опенки СПМ, для потученая которых пп исходным данным сначала формируются корреляционные оценки, цолучили название коррелозрадмпык метОдов спектрального оценивания. Исторические корня происхождения обоих этих названий были затронуты в гл 1. В отличие от непрерывно-временнбго представления метадон спектрального оценивания, типичного для других учебных пособий, эсе нлассические методм, описанные в данной главе, излагаются применительно к дискретно-временным последонательиостям отсчетов данных. При использовании шабого метода оцеиивания СПМ пользователю приходится принимать множество компромиссных решений, с тем чтобы по конечному количеству отсчетов дзняых получать статистически устойчиные спектральные оценки с максимально возможным разрешением.
К этны компромиссным решениям относятся, в частности, выбор таких функций окна для взвешивания данных н корреляционных функций и таких параметрон усреднения зо временной газ и з частотной областях, которые позволяют сбалзнснровзть трет>оэания к снижению уровня боковых лепестков, выполнению эффектиеного усреднения по ансамблю н к обеспечению приемлемого спектрального разрешения Устойчивые результаты )малые спектральные флюктуации) и хорошая точность )малое смеженне относительно истианых спектральных значений нз всех частотак) достилгкмы только то~да, когда произведение 7,8„ где Г,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
