Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 24
Текст из файла (страница 24)
25) г„„[- М] Цт г,[ — Мф!] (4.3!) !.„„[М];,[М-!] ...',,[О] образована из л(ч! АКп-иампонент, та квадратичная форма м м аиКзга= ~! ~] а[т]а'[л]г„,[т — п]ймО (4.32) иолжна быть положительно-аолуопределенной для любога ырогзвольного (М ".!)-вектора а, сслн г„[т] — ввтакорреляцион- зуется постоянным средним значением х[л] -х, аагокорлеляциоииой оаслсдовагс,гьлостью (АКП) г„„[т] =8 (х[я-!-т]х'[и]), (4.26) которая представляет собой некоторую функцию разностп вре. меннйт ннлексов гп, и авто оаариацпоииай лоследоаагельиосгью с„[т] = 8 ((х [я+ т] — х) (х' [и] — хж)) =г„„[гп] — ) х/ц (4 27) Взаимно стационарные в шираком смысле дискретные случай- ные процессы х[л/ и у[л] статистически хараитеризуются вза. и.
иой хоррглзцпоииои последовательностью (ВКП) г„„[гк]=8!х[п т т]у'[и]), (4 23) которая представляет собой некоторую функцию разности вре. пенны индекгов т, и азлиияой хаэарипционной последова- Хельиасгью сз [т] =8 ((х [а-(-гл! — х) (у' [и] — йг)] =г, [лг] .-.ху' (4 29) Отметим следующие полезные свойства АКП и ВКП. г,„[0] уа!г„„[т] [, г„„[ — и] =- г,', [т], г,„[0] гю [О] рв/г„, [т] /', *г,, [ — т] г„', [т], которые справедливы при всек цеаых т.
Используя зги свой- ства, нетрудно показать, что АКП стацианариога в широком смысле случайного процесса должна иметь максимум в начале координат (т е при т=О). Если эрмнтава теплицева автокар. реляционная матраца (г„,[О] г „[ — !] '.'.[!] "..[0] йи.= !ш ня последовзтельность со всеми присущими ей свойствами. Вэтом случае говорят, что АКП обладает свойством положи. таьнай полуопределенности. Спектральная пюгиосгь мощности (СПМ) определяется как декретно.временнбе преобразование Фурье (ДВПФ) автакоррмицпонной последовательности Р„„(/)=Т ~ г,„[т]ехр( — /2п/и Т).
«.33> г„„[п]=1 „зг Р„„(/)ехр«2п/тТ)М, вюасляеьгое при т=О г,„[0] ! „, Р„„(/) д/. (4.34) (4 36) Вразд 4 4 показано, чта звтаьорреляция при нулевом временны сдвиге (т=О) харзкшрнзует среднюю мощность случайногс пропесса. Согласно вырахкеиию (435), площадь под кривой фикции Р„Ц) также характеризует среднюю ьющность Поэпму Р„(!) прелставляет собой функцию плотности (мощность н: единицу пзмеренвя частоты), лоторая характеризует распре. дпеиис мащяасти по частоте Пару преобразований Фурье ('33) и (4.34) часто называют теоремой Вилера — Хиич ио дя слу~ая дискретного времени.
Поскольку г.,[ — т] = **.(т], то СПМ должна быть строго действителыюй поло- метельной функцией Если АКП вЂ -строго действительная фикция. то г,„[ — т]=г,„[т] н СПМ можно записать в форме ксянус-преобразования Фурье Р, О!= 27 Д г„„[т] соя(2и/гггТ), (4.36) а сто означает также, чта Р„., (/) =У„. ( — !), т. е СПМ вЂ” симиетрнная функция Взаимная спектральная плогяосгь лгощиостгг (ВСПМ) двух спмество сгэционараыч процессов х[п] н у[л] определяется кп ДВПФ взаимной корреляционной погледовательносюг Р„„(/) = Т ~ г,„[т] ехр( — (йп/тТ), (4.37) С!М, ширина паласы которой полагается ограниченной значе.
ниии ь !12Т герц, является периодической функцией частоты с гериодом 1/Т герц. Функцпя СПМ описывает, как мощность с.учайнаго процесса распределена по частоте. Для подтвержлиия избранного для нее названия рассмотрим обратное /ВПФ !ВО Ры (П = Трзэ[(з) )=,з ! ц юг! = =- Р„()) ! Н (е ар [12к) Т]) ]', (4.43) Рэз (х) Р Н (г) Н (1 (з*) где 1~ 6'. ь Н),-» Н (г) = 1+ ~,' (З1 з (4.45' Поскольку г „[ — т]Фг«з[т], то ВСПМ буаю в общем случае комплексной фУнкцней.
ОДнако свойства Р „())=Р*ю(1) пРи этом сохраняется. Особый интерес представляет случайный процесс с нулевым средннм значением ю[л], поскольку это — дисиретно.временной белый шум Процесс, являющийся белым шумом, не каррелнрован сам с собой при любых временвыч сдвигах, за исключением ш=-б, при котором его дисперсия равна р„. ЛКП аля белого шума имеет вид г (л]=р„б[т], (4.38) где б[т] — дискретная дельта-пгкледавательность Поэтому СПМ ЛКП белого шума уловлетваряет условию Р ()) =- ТР„.
(4.39) т. е постоянна на всек частотах, тем самым подтверждая название «белый щум . Пусть р[п] — выход двскретной линейной инвэрнаатиай во времени (ЛИВ) системы у[в]=к[а] 5[в], (4.40) где Л[п] — фиксированаая последовательно ть, соотзетствуюгцая импульсной характеристике, а вход к[л] — стационарный в широком смысле дискретный случайный процесс с нулевым средним значением. Выход у[л) этой системы также будет процесгоч, стационарным в широком смысло, которому, как нетрудно показать (см. равд, «Задачи»), присуща следующие соотношения между авгокарреляпиячи в взахмнымк корреляциямп входюго н выходного процессов: „.[лг]=г,„[ш]*Л[ ]= ~ г,[й .М[т]=г.„[ш]*й [,и], г„[т]=г„„[т]*й[гл]=г,[ш] ()г [ ш] 1,[ ] (4.41) =- ..[]*, Х д[.- ш].[д]',.
э.—.— )бозначая з.преобразования различных корреля ий как Р„„(г).—..ж(г„[щ]) Р„( ) ж( [ "1) Р у"к щм(г„[лг]) и системной функцщз кан Н(а),о(д[ ~еаза далее к соотношениям (4.41) теорему свертки, получаем Р„„(з) = Р,„(з) Н* (! 1з'), Р„„(а) = Р„(а) Н (з), (4А2) Р„(з) = Р„, (з) Н (г) Н' (1)з'), где было аспользовано свойство ж(ь'[ — т]) =н" (1)з"), если й[т] — действительно, то Н" ())з")=Н(1)з) Используя соотношенке (252), определенне (433) и выражения (442), получаем, что спектральная плотность мощности Р„„(П выхолного процесса связана са спектральной плотностью мощности Р„, Д) входного процесса следующим соотношением где об ~эсть определения времени — дискретна, а область апре- деления частоты — непрерывна Одни частный случай положен в основу методов спектрального оценивания, ггзлэ~зечых в гл 6 — 10.
Если вхадямч процессом является белый шум, так что Р, (а) = =ж(р,„б[т]) =р, ° выбрана рациональная системная функция вида (2 17), так что коэффициент усиления равен единице (5[0] = 1). то связь между вхолом и выходом бупет иметь следующий Вид: (4 А4) К двум важным типам случайных процессов, которые исполь зуютси в данной книге, относятся гауссовский случайный про цесс и синусоидальнын случайный цроцесс Если случайныг процесс валяется стационарным гауссовским процессом, то ог при любом индексе времена л бузет карактеризозаться гауссов ской плотностью вероятности вида (4.10) нли (4 15) в завися мости от того, явлиется ли он соответственно действительныь или комплексным процессом Последовательные отсчеты х(л] х[л~ Ц, , «[л+ М] будут характеризоваться совместной плот постыл вероятности вида (4.Н) илн (4.16) в зависимости о того, действительными или комплексными являются этн отсче ты.
В случае, например, комплексного процесса с нулевым сред иим значением вектор отсчетов х= (л[п]г[п;1],.х[лфМ]) ваятых в последовательные моменты времени, будет харзктери аоваться совмЕстной плотностью вероятности вида Р(к) [цм'г бе1цм]-'ехР [ — хвц))х], ! 93 ! Вя где ковариациоиная матрица „[л] ~', А, з!п (2пЕлТЕ 9,), г.
[,л] = А —,' соь (рп)лтТ) (4 50) (4 52) (4.53) ( г,„ [0] г„', [1] ... г,'„ [М] .. [ ] .. [О] ).[М- 1] йл~=См= (4.47) (;. [М];„[М вЂ” !], ... [О] является эрмитовой теплицевой автоьарреляцноанай матрицей порядка М я, следовательно, амеег размер (М " 1) Х (МХ 1). С этой мзтрвцей мы часто будем иметь дело в последуюшии главах Рассмотрим детерминированный действительный синуса. вдальный процесс х [л] = .Я ил (2л(пТ ф О), име где 1 — интервал отсчетов, а амплитуда А, частота,' ! ф 0 ют фиксированные значения. Среднее значение и автакар- реляцноннак последовательность будут в этом сдучае овисй- ваться выражениями х [л] =. А з, 'п (2л/л Т ф В), г„„[п -!- т, л] = А щи (2л [л ! т] Т -' 9) А тп (йп)пТ В) = А =. — [соэ (2п)тТ) — соь (2п( [2л -' т] Т вЂ”, 29)].
(4 48) Среднее значенае не постоянно, а аитокорреляцнанная после- Ловательность не является функцией одной лишь разности временнйх индексов т. Следовательно, полностью ете . ванн син ую усоиду нельзя моделировать как стационарный в шид ермнниро- роком сммсле случайный процесс'!. Если же положить теверь, что фаза является случайной нели пп!ой, равноме мерна распреде- ленной на интервале от 0 до 2л, то синусоида, с ~да,!ьныГ! процесс булез стационарным, поскольку среднее значение х= ~ А з!п(2л(л14 9) — АВ О х и автакорреляционная последовательность [гп]=! Азлп(йн)[лфт]14-В)Аэ!п(2п)тТ! 9) зл — — соз (2л(тТ), (4.49) не будут зависеть от индекса времени л. Если имеется 1. дей- ствительных синусоид каждая вз которых имеет фазу, равномерна распределенную на интервале от О до 2п н не зависящую от фаэ других синусоид, та среднее значение зтия С синусоид будет раева нулю, а автокоореляциаиная зоследовательиасть буде~ оансываться выражением Есл! процесс состоит из 9 качплексных синусоид х[л].= 2.' Алехр[((2л)ллТЯ-Ол)], ! \ то ега автокорреляционная посдедовательность будет иметь форму г„„[т] = хл А*,ехр ()2п)тТ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
