Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 23
Текст из файла (страница 23)
гагается, что чнтатеяь уже знаком с теорией вероятностей и еорией случайных процессов Основная ее цель — формальное 4ведение цонягия спек Ролькой плотности моюкосгц (СПМ), ;оторва, «ак будет поназано, является стагисгическим расширеп|ем понятия спектральной плотносы4 энергии, о которой гово- шлось в гн 2.
Кроме тато, б>дег рассмотрено свойство зргодцчгости, которое позволяет заменять усреднение по ансамблю татнстически эквивалентным ему усреднением по времени. )бсужлаютсн также основы класскческнх методов оцениваняя пектральной плотности маШносгн, которые описаны в гл.
5. )ля более глубокого знакомства с материалами, изложенными 4 эгон главе, настоятельно рекомендуются ки4]ги Папулиса б, 7] и Гарднера [2), а также статья Бризлипджера (1]. !.2. Ввровтнесгь н случайные еепмчиим зассмотрим дискретное событие Е, которое пргнадлелгит к ко4ечному множеству возможных походов некоторого случайного ксперимента. Вероятность этого собьпоя, обозначаемая Р(Е), жжет и4пуию4вно рассматриваться как предел отношения чис4а проггзо444едших событий Е л числу выполненнык зкспсри. зонтов.
Следовательно, величина этой вероятности ограничена :печениями, лежашпми между 0 и 1. Случоияоя велпгияой х 4азывается некоторая величина, которая случайным образом 4ринимаег значения из некоторого континуума возсгожных зна~ег4ий Способ задзния вероятности, с которой зтз ве.зинина 4ринимает различнме случзйные значегшя, количественно 4писывается функцией роспредегзлзя вероятвостей Е(к) =Р(хмх), т. е.
вероятностью того, что случайная велигииа х 4ринимзег значение, меньшее нли равное .т. функция л.югносгм 4ероягностп (или просто л.юглосгь еероягкосгм) Р(х) разия 4ровзводнай от Е(х) и определяется выражышем р(х) = =д)(х))дх. 43 Математическое ожидание случайной величины х, обоза- чаемое 4Г(х) 4( определяется вюаженнем 8(з) = ( кр(х)йк=х. (4!) Сто нааывают таиже среднимэкачекиел случайной величиы х, клг первым моментом х Мтематическое ожидание хараке.
ризует значеняе, к которому сремится в вероятностном смыке срелцее по шолу наблюленийзначение случайной величинь х в том случае, когда число зтн наблюдений возрастает Мае. магическое ожидание некоторй функции случайной величию, скажем фуинции й(х), можно вычислить, используя плотноеь вероятности р(к) 8 (Е(х)) ( „й (х) р (х) йх. (42) Магелгатическое ожидание квнрата молуля х 8Дх]']= )х]'р(к)йх (42) ньзываегси средним кеодрто4, или вторым моментам, случйной величины х Дисперсией рглучайной величины х называеся средний ьнэграт отклонения этой величины от ее среднго значения чаг (х] .= 1 ~ к — 8 (к] ]* р (4 йх.= 8 (] х] ] — ) 8 (х] ]з р.
(44) Заметим, что срелний квадря и дисперсия совпадают толко для случайной величины с нуевым средины значением. Харктериствкой взаимосвязи двулслучайных величин служит каармация, которая определяегс следующим выражением. соч (ху) =.8((х — 8 (х])(у — 8 (у]')] = „(х — 8 «)) (у' — б' (у)*) р (х, у) йх йр = = 8 (ху'] — 8 ',х] ( (у)*, (.5) гле Р(х, р) — совместная потность вероятности случайых величин х и у, а 8(ху] обозачает смешанный второй момнт зтнх величии Заметим, что мя упрошения данного обзора ны не будем дальше использоваь различные обозначения х х соответственно для самой слчайной величины и ее значемя Прн обсуждении оценок рзличкых параметров в послед4ашнх главах будет испаяьзоваьси ряд неличин, которые хаак.
теризуют повеление этих оцепи. Пх определения даются в вой главе Смецгением В(а) овен~и а параметра а называется Рэ. О В о мгзеииов литера гр иэзмзгэч ко махание збычээ обо эе сам)к)я ай(к).— Пр ре. г ю 4 ность между истинным аначениеч этого параметра и матемагю ческнм ожиданием этой оценки: В (а) = а — 8 (а) . (4.5) несмещенной оценкой называется такая, для которой В(а)=О. Средний квадрат ошибки оценки а определяется выражением 8 (( а - - а (т) .— — чаг (а) .1- ( В (а) (С (4.7) Говорят, что опенка состоятельна, если с увеличением чнсла иаблюлений смещение и дисперсия стремятся к нулю Оценкой ггахси«гольного правдоподобия называется оценкз, характеризующая значение аценвваемого параметра, вероятность наяв ленка (или наблюдеивя) которого максимальна. Для апрелеле.
ния нижней границы двсперсеи несмещенной оценки скалярного параметра часта ш пользуется неравенство Крамера — Раа (КР). Если для оиенпвания параметра а используется случай. ный вектор х, то неравенство КР дается следующим выражением чаг (а) МВ) ( 1~ (4.8) характеризующим дисперсию оценки истинного значения пзрзметра а с помощью условной плотности вероятности р(х(а). Оценка, значенае которой достигает границы КР, называется зффсхгиеиой оценкан В кинге будут использоваться две важныа плотности вероятности — равномерная п гауссовская.
Равно.черное распределение действительной случайной величины х описывается равна. мерной (постоянной) плотностью вероятности «'( )=„—, 1 иа конечном лействительном интервале ищхШЬ. Гауссовское (нормальное) распределение действительной случайной велнчины х, имеющей среднее значение х и дисперсию р, описывается плотностью вероятности р(х) =[2пр]-а'ехр ~ — -(х- х)*~ хр (4.1О) для — ~хы . Многомерная гауссовская плотность вероятности для некоторого нектара из К случайных величин х= [хо хь ..., хк)т определяется выражением р(х)=[(2п)кбе)Ск] а'ехр~ — -(х — х)«Ск'(х — х)~, (4.11) тле К-элементный вектор средвего значения х дастин выранге- нием х =-8 (х), (4 12) а ковариашюнная (Кхд)-матрица С имеет слелующнй вид: Сх=д((х- х)(х--х)') = «т.аг(х,) сач (х,х,) ., сот (х,хз) 1 сот (х,х,) аг(х,) ...
сот(х,х.) (4.13) (соч (х,х,) соч (хзх ) .. чаг(хз) Можно также опрелелать гауссовскую плотность вероятно. сти для комплексных случайных величин, см. приложение Е в книге Манзиго н Миллера [5]. Пусть з=х,я-«х« — комплексная случайнаи величава, лействителыюя (х,) в мнимая (х«) части которой являются лействительными случайными величинами со средними зваченнями, равными соответственно х, и х„ и одинаковой дисперсией' рд2.
Случайные величины х. н х. предполагаются независимымн, г е соч(х,х«) =О'г Гауссовская плотность нероятнастн комплексной случайной величнаы может быть записана как частный случай дэумериоа гауссовской плотности вероятности длн двух действительных случайных перемени ых. зля кагор ых ,'р,«2 О С,=г , О р,«2) х —.( ), х-(- ~ (4.14) Подставляя эти значения в выражение (4.11), после некоторых упрощений получаем (для случая К-2) р(з)=р(х)=[яр]-'акр ~ — — (г — з,: ], Р где à — -8 (а) =хай «й„а наг(з) =чаг(х ) Очаг (х) =Рм Мно омеР. ную гауссовскую плотность вероятности для вектора к, состоящего из К комплексных случайных величин, можно запасать в виде гауссовской плотности вероятности для 2К действительных случайных ве.
ичин в слелуюшей форме р(х)=[нхбе1Ск]-'ехр[ — (х - з)иСк'(к — х)], (4.16) (4 15) " И и х рре. ира « ти с у ан х зе.ш с .(;,] =Э зезззнснн сть ару ах з ааз Раюр д з ч й о ш е зто э устаз че аззэч т аю с мости — Ври, р З. 10 — 1Зеб обзор ая г л паоцею де комплексное среднее значение 1 и эрмитова ловариацнонная «атрида Ск определиются выражениями .=8[*], (4 17) Сх= 8 [(х — я)(х — х)л]. (4.18) Зри выводе соотношения (416) предполагалось, что действнельиые к мничые компоненты всех комплексных случайных зеличнн гл а комплексном случайном векторе з независимы г имеют адиаакавме дисперсии, т, е полагалась, что ковзриацня >оч(йе[хл]1пг[х~]) равна нулю при 4=1 и отлична от кули прн [чь1 и что чаг(Ве[х,]).= чаг((ш[с,]).
4.3. Случайные процессы Пискретный случайный процесс можно рассматривать как пела. горую савокукность, или ансамбль, действительных цлп колгп. лексныл днскретныл врал~анне>х (илн пространственных) после. лавательиостей, каждую из иотарых можно было бы наблгадать как результат проведения некоторого эксперимента Такой ансамбль коследовательвостей будет обозначаться х[л; г], где г — 1-я последовательность яз это~о ансамбля, а л — индекс времени.
При заданном значении г, улазываюшеы номер наблюдаемой последовательности ансамбля, будет использоваться сокрашенное обозначение х[п). Прн фиксированном индексе вреченв л значение наблюдаемого элелгента по всем последовательностям ансамбля будет предстанлять собой некоторую случайную величину. В абшеч случае эти значения образуют некоторый континуум, то~да как х[л; г] дисиретно и па л, и по г. Вероятность того, что значения л[л] булут лежать в неко- торам заданном интервиле а, количественно описывается функ цией распределения Р(а; л) =. Р(х[п] =.а), е обозначении которой явно отражена зависимость ат вреыени наблюдения Соатветсгв>юшаи плотность вероятности имеет вцд р(а, и) = =др(а; л) (да. Среднее, или ожадоемае, значение случайного процессз х[о] в мочент времени л определяется выражением (4.19) х [и] = 8 (х [я]).
Аегоколреллцпл случайного процесса в пва различных момента времени и, н лз определяется выражением г„, [по лг] = 8 (х [лП х* [л,]) . (4 20) Это в так нззываемое «инженерное» определение автояоррезяцни, вкервые прелложенное Впнерач В сгатистнке термг:н автокорреляцня» используется пчя обозначения связанныл величин, которые нормнруютси, с тем чтбм их значения лежали в интервале межлу 0 и 1. Двтакоррляцня пентрпрованнога случайного процесса х(п]. т е, с цаленным средним ° иачеиием, называется аегокоеариацисй и определяется выра- жением с„, [ло и,] 8 ((х [и,] — х [л,]) (х' [и] — х' [и,])].
)божиа показать, что оиа удовлетворяет сосношению с„, (ло и,] =- г„„[л„п.] — х [пг х' [ог]. (4.21) (4.22) Если среднее значение случайного процеса равно нулю прн всех л, то автокарреляцня и автаковариаагя талого процесса савпалают, т е с„„[ло и,] = г„„[л ь л, В литературе термини автолорреляция» и «автаковарнация» часто используются как сннонимм, ио стого иденпшны ени только для процессов с нулевым средним зачением. При рассмотрении двух различных аучайных процессов х[л] и у[л] используются понятия аэаимой корреляцял, кота. рая определяется выражением (4.23) г„„[пп л ] =-8(х [пг]у'И), и взаимной кавориацин, лоторая опредляется выражением с„[пи и ] .=-8 ((х [л ] — х [п 1) (11' [л] — р* [и«]) ) =- =-г„г[ло л«] — х[л,]уж [г].
(4 24) 1О' разорят, что два случайных процесса яекарре.«иролаязг, если с,г[л, л;] =0 при всех значениял л, и пг Во сех определениях, которые бмли дны до сяк пор, отражена явная зависимость от инаекса еремии. Случайный процесс нааыеается стац омепямм а широка сммс с, еслг его среднее значение постоянно при всех зназниях индекса времени (иными словаип, не зависит от времем), а автоларреляция зависит только от разности индексаа вриенн т =и, — ль Лва случайных процесса называются созместо стационарнымя в широком сиысле процессачи, если их ваимнзя корреляция зависит тельно ат разности вреченныт гнделсов Совместно стационарные процессы должны быть и тацновзрнымя па отдельности Заметим, чта стационарность а широком смысле опрепеляется толь а в терминах первом и второго моментов случайнык процессов, моменты более вьк ких порядков не рассматриваются В частности, стацваиарнй в широком смысле дискретный случайный процесс х(л) стаистически характери- (4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
