Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 18
Текст из файла (страница 18)
1.=1,...„(л — 1)/2, с соответсгвующнмя собсгвеапычп гн чення»сп 1., внз (З,П7) где х, --ортонормальные со!гневные векторм матрицы А — ЗВ,т е. (А — /В,=Цх,. (3, Пй) Доказательства приведенных нпе соотношений основано на использовании гага факта, что эвтроснмметрнчная матрица й ортогонально подобна матрияасА — 18 н Аф)В, т. е. если В нмеет четную размерность, та сгогонально подобная матрица В= =(1 1), ВВ'=1 преобразует цесшросямметричпусматрнцу к энду Вйоп=( ), (3ПОО) а если В, имеет нечетную рзэмесосты то ортогонально симмет. ричная матрнна 0 == ОР'2, О (3,12!) сея 3.8.
Твпямцева матрица Прн рассмотрения различных методов спектрального оценнвания нам часта придется иметь дело с тспляцевыми матрацами. Вследствве важностн матриц этого типа данный раздел полностью посвящен подробному обсуждению вопросов, в основном касающнкся вычисления обратной теплнцееой матрацы, решення тепляцевых линейных уравнений к анализу характеристнческих свойств тепляцевай матрицы. Особая структура теплицевой маг. рнцы приволнт к весьма эффективным («быстрым») вычяслясельным алгоритмам для всех этих упомянутых случаев.
3,8.1. Обратная тепп цевв матрнца Огбрзщение квадратной неэрмисоаой тсплицевоа матрицы впер. вые рассматривалось в работе [22, 24]. В данной книге через Тм мы будем обозначать квадратную теплицеву (М вЂ” , '1) Х (М, 1)- матрицу, старший элемент которой равен С[М]: с [о] с [ — 1], с [ — м] Т,—— с [!] (3.123) с [ — 1] с[м] . с[1] с[о] Заметим, ыо в гбшем случае С[й]~Ч[ — Л], й=.1,..., М. Пусть П вЂ” чатрицз, абрзтпая матрице Тм.
/ и[о, О] . и[о, А!]'т и„=тд =-(; ': /]. (зпгэ) п[м, о] ... п[м, м] Поскольку тенлицева матрица персиммегрнчна, ее обратная матрица также должна быть персямметрнчнай. Однако обратаэя матрнца яе является теплнцевой, хотя, как будет показана яяже, и образована яз сумм произведеннй треугольных теплице. вых матрисс. Для того чтобы получить полную обратную матрицу Пн, яеобхочнмо лншь решить уравненне преобразует ее к виду 'А — С О О Вйол-~ О а (3.122) О 2к О А-1-СВ ! с[(с] с[ — !] ...
с[ — И]],„[о — (3 1»б) ! С М С[1] С[О] ) сн [М О]с Н1 (1[11 ! (1[ — 1] ) г,„=-', з„=' с;ш)1 [с [ — ш)) (3 130) О о,„, [1] (3.131) Ь,„ , [ 1] (л.[1) ! (Ь [1]) т ! и,, [и]] Ь [ш] ! (3.!32) ельно первого стобца эгон обратной матрицы н урав- (с[0! 1[ !] " ' ]!' [О м] ' О с [1] [С[М] С[!),[0) ! т и[М, М] [1с относятельно после щего « столбца Ниже будет показано, сто ,ште.гьлые эзс шяьх усатстцсч Ич чоукно определнгц используя вонство персяммес(чш. Для уравненнй (3.125, 'н (3 !26) можно получнть другие представлення, если поде.нть векторы с обенк сторон от знака равенства в (3.125) на л[,0] («отаров полагается осл~чвыч от пуля), нспольаоеать постановку ля[А] -и[А,О)(я[0,0], А †" = 1,..., М, н положить рн = 1!и [О, 0), что дает ( с [о] с [-!] „с [ — 31]), [!) ', ', (ол[() а с [ — 1) (;он[ И] а, шкже поделпгь вектору с обеих сторон ог знака равенства в (3.126) нз п[М,М] (кпорое полагается отлнчаым от нуля), сспользовать подстановч ьл[А] и(м — А,м](и[м,м), А —" =1,..., А!, н полоукнть ря=!(и[М М), что лает [с[0] с[ — 1) ., с[ — и)) [и]) [с[М) .
[( [О) Поскольку матрица Из ерснмметрнчна, то н[О,О)=и[М,М], поэтому «омплексные скаляры р'м=р'я=рм Уравнення (3127) н (3.128) оказываутся полезнымн прн непользования пх овместно с нормальнымнуравненнямн авторегресснонного прозесса, см. гл 6 н 7 Рсшнть прнведеааые шшс уравнения относительно ллс[А) н [А] можно с помощью секшорой рекурснвной'У алгорнтмнчекой процедуры, которав юследовательно определяет значення ' Р курсктй аазмэаетса спасо эьканаа фуькнвеаальяой «к , ьр угуме тьз чзн аалчксез сея, шу р,(со)! с а!). — Пр ргд этих коэффнпнентоа прн каждом .гшченн» ш, начиная с ш= 1 н рекурснвно продолжан до т =-й!. Первый такой рекурсивный алгоритм был разработан Левннсоном [16] применительно к решению нормальных травнеаяй зннеаного предсказавня стацноварного процесса с дискретным временем.
Затем он был переоткрыт Дербнном [8] применительно к задаче построения ав. торегресснонной моделя для заданной корреляционной последовательностн Основными «омяонентамн, используемыми в этой рекурсии, являются следующие разбнення (блочное представленне) матрнць, которые завнсят от еесьыа пецнфнческой струк.
туры теялнцевой матрицы; Т ( „-г " ) '[ [ ] ) (3 !29) где (ш — 1) ус1-нерньсе вектор-столбцы г и з определяются выражсннямн а 1 — (гп — 1) х (ш — 1).мэсш пз праженкя. согласно прннцнпу кпдукпнн, предположим, что вектор, образованный нз коэффнцнентов о [А), может быть получен яак линейная комбннання векторов, образованных нз козффнцнентов о с[А) н Ья-1[А]: где векторы в право с части этосе равенства дополнены нулямн а а — скаляр, подлежашнй определенню. Заметим, что и [ш) = =а.
Из у.разнення (3.131) с.тедует, что первый столбец обратной матрицы порядка ш является линейной комбинацией перваго н после него столбцов обратной матрнпы поряд а ш — 1. Определяя вектор.столбцы ыз пт ( )=~ а, ) а [гл]( ЗЬ ,о, т,) / (3 133) Ь о -! Ь [лг] (3 142) , 0 0 (о) ! г. О р,! (3.!34) 0 Р 0 Р 0 (3 !Зо) ж.И О 0 !О) [Ь О р— де т«уда е — !зев иожно представить уравнение (3.131) и более сжатой форме Оггя того чтпбы определи~ь схаляр а [т], необходимо обе ча. сти уравнения (3.133) умножить слева на матрицу Т и под[тавять соответствующие блочные представления матрпцм Т тз (3.129), что дает "(а ) (г 3 ![0]) "' ' /ф (г Т,)1 ) )тгюда, используя (3.127) и (3.128), получаем 1 — — ~ 1[й]а, [т-.й], а, [0]=1, (3 13б) (а„ ,г =,г(ЗЬ"-')= ~ Г[ — й]Ь,[т — й], Ь..[О]=-1 (3 !37> )эмегим, что Ь и т' требуют значения коэффициентов толька ,о порядка т — 1.
Для тога чтобы обеспечить в (3 135) выполнеяе равенства, нижний элемегш в правой часта этого уравнения олгкен быть равен нулю: Ь„-1-а [т]р г О, (3.!Зв> ,.[г]= — .(р., (3.139) Шрхннй элемент в обеих частях уравнения (3 135) будет в этоы лучзе равен Р,.-Р.,-(-а [т]т.-р.,— Ь.Т.)рзт (3.140 1о аналогии с вызолом уравнения (3333) можно также, нс- вользуя принцип индукции, получить следующее уравнение для вектора Ь ( )= Ь, -1.5„[т]~ За,„.
(3.141) После умгюжения обеих частей этого уравнении слева на матрицу Т йолучнм де Л и а., определены выше выражениями (3.(вб) и (3.137). И снова для вынолнеавя равенства в уравнеаии (3.142) нсобхопичо иметь Ь [т)= — ТУР (3.143) Определяя отсюда т' и подет вляя его в уравнение (3.140), полу гаем Р„.=Р -тфа„[гл]( — Р,Ь [т]) Р „(1 — а [т]Ь [т]) (3 !44) Заметам, что нз (3.127) следует 1[0]=р, при т=о.
Это значение вспользуется лля инициализации рекурсии Комплексный скаляр р связан с определителем теплицевон ьщгрицы выраже- нием бе(Т„=-Д р„.=. РрыД П вЂ” з[й]йт[й]) ' ". (3345) а=ч * Для того чтобы показать эта, используем вырсхгення (3.52) н (3.!44) н заметим, что следующее произведение матриц произвольного вида (1. Ь.,'т Уузт Зз. 1 1 Т ~~О ]=[ З [О,'(О' )=! 3 ' ! (3.145> имеет определи~ель Ье1Т =р Ве1 Т ь поскольку Ве(АВ= =Ве(Абе(В (см. (352)).
Применительно к элементам, апрелелясмылт выражениями (3.133) и (3.141), имеем следующие рекуррснтнме соожюшения: а [й]=а,[й]-г-а„[т]Ь,[т — й], (3.147) Ь [й] Ь,[й] ' Ь,„[ ]а [т — й] (3.!48) 14 ашэ .р Я ° бэ !!э !ли 4=1,, пс — 1. Таким образом, шесть уравнений (3136), ',3.137), (3.!39), (3.140), (3!43) и (3.148) образуют замкнутусо :кстему рек!рованах уравнений (т=о,..., М), необходимых ия опрелелепая векторов а и Ь .
По сути дела, эта обеспечпсает лншь получение первого н посяеднего столбцов матрицы, сбратной теплпцевой. Заметпм, что, для того чтобы зта рекурсия саботала, аодматрицы Тэ, Ть..., Т должны быть обрвтпмымп (де! Т,=р,чьб). Количество вычислительных аперацвй, требуе. хык для рас~ета обновлений векторов в соответствнн с (3 133) (3.141), а также внутренних (скалярных) пранзведеннй веьоров (3.!36) и (3 137) яа каждом шаге вычесленнй пронорцно. сально М, а полное количество вычнслптельных операций, трссуемос этим алгорвтмом, пропорционально МА Для того чтобы вычислить остальные элементы обратной мат.
снцы, заметнм сначала, что матрпна, обратная теплицевой, чо. кет быть записана в виде следусощего разбиения (т. е. в блочюй форме): Нм — — '( ' (3 Но) (Относительно доказательства см. разл. «Зздачн» в канне гласы.) Так как обратная матрица нерснмметрична, т е )о[ггд = Нзг, (3.150) о уравненне (3 149) можно также запнсать в следую- сй форме; н ! (р,нл -» !ьча(,! !ьч] (3 !5!) 4з (3.149) н (3.151) можно определ|мь ссселуюцс~ е с. сношенпа !ля элементов и [),й] матрицы парсщха м, абратнаа теплв!евай; ап [О, 0] = в с [М М] = 1СР ач[0, й]= — их,[м — й, М]=бч[й]СР, ! - й. -М, п„, [С, 0] = и„[м, 51 — () —. оп [)];Рл, 1 т.' С .= -М, сн [С -, 1, д .1- 1] = и„, , [С, Ь] ' а„ [С 1] Ьа [й .
!]О' „ о .'с, йк. И вЂ” 1, аз,[), й]=,,[С, Ь] - Ь; [М вЂ” С]ааг[51 — С'],рм, О]с С, й;Щ'М вЂ” 1. Эбъедкссяя последнке лва нз этих выражений, моп.по всключать лемент им-~[),й]1 в результате получаем выраженне 'м[С г' ! Ь с 1]=на[1 й] м Рл М(оп[С вЂ”, 1]аг, [й- 1]-. Ьп[М вЂ” Даз,[М вЂ” й])," (3152) которое справедлнво пш 0~1| йяйм — 1. Рекурсивное ураваение (3 !52) позволяет вычислять все элементы обратной матриаы ао известным лись векторам а п Ь С помощью этого уравнения можно такж получать следующее выражение. о ., о о (3,153) А это означает, что, хоя матрица, обратная теплипевай матрице абсцеса вила, и не является теплсщевой, ее все же можно разбнть па сумму пропведенпй верхней и нижней треугольных теплнцевых матриц Особый ннтерес праставляет матрица, обратная эрмятовой тегслицевай матрице Н* отарая в случае комплексных данных якает следующий вид.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
