Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

и х ...можно показать (см «нпгу Ноубла и Даньелч (!9]), что Д,„ЩП() .Д м для всек хчбй, ды -ш'пП(к)=П(кщ ) »мб (3 90) д „:гпахя(к)=)((х „). *шб Некоторые пз метода, обсуждаемых далее в книге, требуют вычисления мпинмальнсо или максимального собствеивык вин»ский эрмитовой матрим А. Одним из методов, используемых зли отыскания этих собственных значений, является степенной (си, например, (б 1, с б41. — Пр р д метал'1 Например, задав неиатарый начальный вектор х» последаиательиост» итераций на основе линейного уравнения у„„= Ак„ (.

91) и нормпруи иа каждом шаге и а„ обеспечим сход»масть к х». Число а», получаемое паоле поиеднего шага, и будет максимальным собственным зиачеыем, а х, — аответствующим ему собственпмм вектором. Сходпюсть процесса решения обеспечивается в том случае, когда хю н» ортогоиалеи собственному вектору, соответствующему максиыльвому собственному значению. Для того чтобы получить мнимальное собственное значение н саответстиуюший ему собсвенвый вектор, в линейном уравнепна используется обратная »ат. рипа А-ь которое удобнее решать относительно уь записав а виде Ауи ш = х,.

( 94) Для устранения собственник значений по мере их вычвслипя чожио использовать процесс панкжевия порядка, что воз»шва благодаря соотношению (3.85), А аххл и иоеторять этот процесс дли отыскания других собгтвеных значений 3.7.2. Разложение по сингулярным числам (РСЧ) В предыдущем разделе быю показано, что зрчитовз (лгп)- матрица мажет быть представлена с помощью унита пой (пХ»)-матрицы, составленной нз собственных векторов,идиганзльной (лхл)]матрицы, сопержашей собственные значи»».

Этот результат нежно обобщить иа произвольную комплеьиую (тХл).матрицу А ранга й. Теорема раз»оженил ло спягиярпым (или особым) числам (1О, 13, 15] утверждает, что супествуют положвтельвые действительные числа а,)аз)... )а)0 (так называемые сплзрлярлые числа матрены А), унгтанаа (шхт)-патрика н=(и1,..., о ] и унитарная (лхл)-матисы ' с а и»т а тассе» р и о и мшодэи р»ш»»кя проб и бстэ»» жа а 1с», »апра» р, 111'1, с. 4аэ).— пр . э»д. 3 04 г е э Ч=(чь,,., ч.), такие чта матрица А чожет быть представлена в следующеч виде (3 9б) А.= ОХЧ»= д, ФВК', где (тХл)-матрица Х имев~ следующую структуру (3 97) в  — -Май(па, а*) — диагональнаа (ДХЬ)-матРииа. Заметим что если Ае=ЧХ"О", О"О-1, Ч"Ч=1, то А А Ч(Х»Х)Ч» ЛА г О(ХХ») 1У~ (3 98) (3.99) А "Ач, = а)ч„АА"в, = о,'и„ где 1<!<й, Произведения мюрид Х"Х в ХХ" являются дивта.

нальными матрицами размером соответственна лХп и тХт с ииагоиальными элементами ад Произведения матраи АвА и ЛА — эрмитовы матрицы размером соответственно »Х» и тХт. Поэтому столбцы матрицы О являютси ортонармэльными собственными векторами ма~рицы АА", а столбцы Ч вЂ” ортоиармальными собственными векторами матрицы А А. Креме того, обе матрицы О и Ч имеют одинаковые собстненные значения ар, 1 <!<й. Следовательно, сингулярные числа — эта проста положительные значения квадратиык корней нз ненулевых собст.

венных значений матриц А»А н ААК Испольэуп свойства унитарности матриц О н Ч, нз (З.б9) можно получить гледующие соотноюени»з АЧ= ОХЧ»Ч = ОХ, )У А= О" ОХЧ» =ХЧ» (3.100) или Ач, = а,иа А"ит = агни (3.101) где 1<з<й, Урэвнеиня (3.101) определяют пару соотношений между собственными векторами п, и ч,. «оторые имеют одно общее сингулярное число о,. Собствениме векторы, которые со. ответствуют нулевым сиигулврным числам, т.е. из, й-(-1<г<т, и чч й-1-1<!<и, соотношениями вида (3.100) и (3.101) ие связаны Псевдаобратная матрица Мура — Пенроуэв А, соответствующая (тхл)-матрице А ранга й, однозначно определяется 1оа раца ида через ампоненты рззложеняя па сингулярным чвслам как мат- (3. 102) где (3303) Псевлоб атная р чгтшша А' позволяет вал)ишь решелие иа метод иаилеиыии р х кводратаз х= А*Ь с или»иль»ад »армий зля за эчи отыскания (иХ 1).вектора х, который о:гновреченно миннмпнрует ошибку, определяемую квадратным уравнением 1Ах — Ц, длк некоторого заданного (шХ 1)-вектора Ь, н длин р йхйт Ограничение минимальной длины необи ходимсдлч того, чтобы гарантировать единственность решения в тех аучаях, когда более одного вектора х будут минвмнзи аешь '1 х — Ь )э.

Если ш=л н ранг матрицы А равен и (т е. оиа иевырткденна), то псеадообрзтнэя иатрица прсвраптается в обычнуз квалратиую матрицу, обратную А, т. е. А =Л-' Если ш)л ~ галин=и, то А"= (АчА)-'А" и х-- (А"А)-'А»Ь, Это— обычно решение системы переопределенных уравнений по металу наи еньшнх квалратов (см равд. 3 б,'. Если л>ш и шпй А= =т, тз А"=-А"(АЛ") ' и х=.А" (АА")-'Ь. Это решение часто ля системы «еданаэывазт решением с минимальной парной д. псевдоо ршной опрелеениых уравнений, васкольку решение с п б мэтрипй будет давать нектар х минимальной длины.

Вм мление псевдоабрзтной матрицы А" непа " непосредственна па . СЧ-кмпонентам (уравнение (3.98)] обладает двумя пренму- ХчЛ -Аа а сл )ча .ествэш перед прямым вычислением матрицы А в го перых, РСЧ помогает определить ранг матрицы А по колие яем ..ву начимых смнгулярных чисел. Во-вторых, точ я к вычислению матрицы Ач прн использовании РСЧ, черо вдвое ниже точности, требуемой при расчете маи чзт 1*и ~ы спомащью соотношений (А"А) ' пли (АА")-'. В ,кепи и ~рнведеиз написанная не Фортране прогр.

»~а СЗЧО, прилоой прямоугольной :,с,тнзнвчеивая ээя расчета РСЧ комплексы патрии . З.УЗ . 3 Аапиз «врактерис ических с аисте яеката!ык спец»вльмык атриц Нет тель аил ' рудо аохазвть, что треуголышя матрица А ич имеет определи- бе! А = Ц а (0 !]. (3 104) Сравнивая эта выраженве с выражением (3'9), можно вилеть, что произведение собственных значеннй треуольной матрипы— зто просто произведение ес диагональнмк алевитов. Собственвые векторы н собственные знзчння циркулннтной матрияы связаны с ДВ-рядом Фурье (ДВРб); см.

[5, 18). На. помним (см. равд. 27), что ДВРФ Х[0),...,Х[л — 1) для л то. четной последовательности х[0),..., «[я — 1 для 7=-1 определяется выражением Х[й[= 2' х[![ехр( — !2и!А(л, =з 5=-0..., и — 1, (3 105) котор г юткао записать в матричной форме; (3.105) где элементами матрицы Одвгэ валяются э~эвенки экспоненты ддэгв[1, й[=ез! (- — (2кЩ!и), ОЩ(, <Я вЂ” 1. (3.107) Правацнркулянтную матрицу Сч можно фкторнзовать путем разложения на собственные множгпели Са =-[= Одзгэ Адате( = 4(вээ), (3,101 'ч)г и где днагональная матрица Адвээ собствевнщ значений даетс выражением l - ад„.

(3.109) ).а, с„° Таким образом, собствевные вин ~ения проиэольвой циркуляит иай матрицм представляют собой ДВРФ с ~нркулявтцымя але. ментами си ..., с, ч. Столбцы мзтрицы ()двэ формируют собст. земные векторы. Нормированные собственые векторы й, со. !от ставлены из последовательных стененц(Г л корней нз единицы 1 ьц ц ш„= ехР (Тйп)л) 1 щ== у' з (3.1!0) Если использовать не прямой, а воротный ДВРФ, то аналогичные соотношемия можно ааписать и для левоциркулянгнод матрицы С .

Заметим, что разложение (3.108) для матрицы С г обеспечивав~ эффективное решение линейных уравнений инда Сзх=-у с помощью алгоритмов БПФ Собственные векторы центроснмметрнчной матрицы С облалают свойством либо сопряженной, либо антисопряженной симметрии [3). Вектор ч обладает свойством сопряженной симметрии, если !т=т*, где У вЂ” матрица отражения. Вектор т антисопряжениа симметричен, если 1 =- — т" Отсюда получаем, что центральный элемент вектора нечетной размерггостп должен быть денствительнмм, если этот вектор соприженао спмметрачен, или же быть равным нулю, если этот вектор антисопряженно симметричен. В случае алиозиачио определенных собственных значений квадратная центросимметричная матрица четной размерности и б дет иметь п(2 сопряженно симметричных артоиормзльных собственных векторов т„ г'= 1,..., п(2, с соответствующими собственными значениями о„вида (3 111) где у,— ортонормальные собственные векторм матрицы Аж !В,т,е.

(А щ)В) „, =,,„„ (3.1 12) где матрицы А и В апрелелены в (3 ЗЗ) Она будет также иметь п(2 антпсопря'кенно снмчетричных ортонормальных собствен. кых веяторов вщ г=1,, п(2. с соответствующими собственны. чп значениями д, вида (3.1 13) гдг х,— ортоиормальные собственные векторы катрю,ы А )В, т е. (А — 18)х,=Ах, (3 114) Если квадратная центросвмметрнчиая матраца имеет игчггиую рщчераость л н структуру, определяемую выражением (3.34), саа то она будет нчесь (ля-1)/2 аряженно симметричных оргоноРмальных собственных вектосв ча с=1,..., (п1-1)/2,ссоответссв»ющвмн собшвенньмн зненнямн о, у с чс = — йбс 1'2 „. г' где вектор у, и действнтельвый:атяр 8, являютсн ортонормаль. ны на собственнмми векторамн Вшяренной матрнны (3.11б) (,)'2»" 4,) '%)' и (с — 1)12 анснсопряскевна снмзтрнчных оргонормальных собствеппыь веюороз м,.

Характеристики

Список файлов книги