Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 16
Текст из файла (страница 16)
З.б. Решен не пнней ньж уравнен нй Многие метапы свектрального оценнвання требунг решения системы линейных уравнений, которую можно ваш!ать в форме следующего матричного уравнения Ах =Ь, где А — некоторая произвольная квадратная (гмл).мэтр!газ, Ь вЂ” пронзвальный (лх 1)-нектар-столбец, а х †(лц !)-вектор неизвестных величин, значения !вторых необходим определить Один нз очевндных методов решения уравнения ,'3.70) относи.
тельно вектора х состоит в умноженнн обеих насей уравнения слева на обратную матрац) А-' (в предположены, что она су. шествует), что дает Однако такой подход, как правнло, яе прныле. на кранике либо нз-за своей очень ннзкой вычнслнтельай ффектнввстн, лнбо нз-за аедостаточной устойчивости болшннтва числе пых методов решения линейных уравнений. Еслг абртная мапица не существует, то ранг Ь матрицы А будет мные, чем и. Гульмросграмсгвоп матрицы А является лннейне вдпрастрзктао ненулевых векторов х, удовлетворяющих урпнеыю Ах= б.размерность нуль-пространства равна п †.
Еслн (яХп)-матрица А -- треугольная н евырождцная (т. е. ее Лаагокальные элементы отличны о нул), то спсема лннейнмх уравнений, содержащая матрицу А, южет бмт решена с помощью метода обрегкод подстананнн с нспольованнем вычислительных операций, количество отоых пропоцно. нально аз, Рассмотрим случай зерхнетреугопно1 (ЗХЗ)-мтрицы; уравнение будет иметь анд с о[1, Ц а[1, 2] а[1, 3]'т /х[Ц'( /[Ц', О о[2, 2] п[г, 3] ] [2] )=(,[2] ). 3.72) п[3, 3] (,х[3]/ ',,[3]/ Рассматривая нижнюю строку, вадим, чтс а[,3]х[3] = (3]. Решая это уравнение получим х[3] =-Ь[3](о[э 3] Если полченнае х[3] подставнть обратно в матричное урвнчгне, то воаторой строке булет содержаться тельно одкг нензестное (2], которое можно найти, решая уравннне о[2,2]к2]-1- -(-а[2,3]х[3] -Ь[2].
Продолжая обратную годсановку, ~ы в конце концое определим псе неювестнме гомонентм эктора х. В случае невырожденной (лХп)-матрац| о(цего вндалля решения уравнения Ах=Ь можно прнменнтглепд исключмкя Гаусса, представляющий собой трехэтапную~роцлуру. Напала матрица А едпнстаеяныы образом предстаапетс в виде понзведения эерхнетреугольной матрицы Е и ннннетругольпонматрицы Н (с еднничнммк элементамн на диагоилн А = (.Н. 4 73) После разложения на множителя (факторнзции выполнштся два этапа «обратной» подстаноньн, включаязешние урзвення ч Е. Эаю А такс э.
т . зюае рюараз Э аюверюар ююк 1 Р ы д), д=л — а, гае а-Г З я 7 ( с катрнцей Е относительна вектора у: Еу=ь, (3.74) н затем яослелующее решепне уравнення с кштрнцей Н оэкосп~ельно вектора х: Нх= у. (3.76) Количество вычислений, требуемое агам методом, нрапорцнонально пЕ а объем памяти — пд Если матраца А — квадратная я эрмитова, та тогда приме° ~ется саепнальная фарма факторизации с треугалыгымн матрицами А 21(м (3.76) где й — нижнетреугольная матрица с ненулевымк действнтельними элементами на главной диагоналя. Этот метод фактарнзацен матрицы назывеется разложением Холечкогод Влагодар» зрмнтовай симметрии матрицы А число вычнслоннй, требуемое для решения системы эрмитовых уравнений методам Холепкого, составляет прнмерно половику онъема вычислений, требуемых методом нсключенпя Гаусса, поскольку рассчнтыпать необходнмо не две матрацы Е к Н, а только одну матрнпу К.
В пркложеани 3 А нриведена написанная аа Фортране программа ОНОЕЕЗКУ, предназначенная для решения мемедом Халецкого системы линейных урзяненпй, годержащнк комплексные вели. чкны. Заметим, что, хотя этот злгорнтм, как правило, имеется ва многих библиотеках стандартных машинных программ, очень редко можно отыскать его версию, написанную для работы с комнлексяыма величинами. Реюеане системы линейных уравненнй н случае цкркулянтной матрнцы рассмотрено в следующем разделе.
Требуемое нм числа операций пропорционально величине а 1ойгп Количество вычислительных операпий, требуемое для решения системы лннейныт уравнений в случае теплнцевой н ганкелевой матриц пропорционально л' Раздел,)8 посаяшен подробаачу обсуждению теглицева случая 3.7. Характпрнетнческнв свойства матрмц н разложение по еннгупярпым чнспам 3.7.1. Пред аритеяьные сведения В ра~з. 2.3 была го«азана, что эксзонентз ехр(12п]Г) является собстеенной функцией линейной састемы.
Лннейная система, оставляющая нензменнай на выходе форму зкспоаенцяального ч Э (а'1 17а) — пр л д т магах«а « . а д дя г (к,ащз з. 7' шо сигнала, поданного на ее вход, изменив~ лишь величину его комплексной амплитулы. Аналогично, если ненулевой вектор Ч в резудьтате линелнога преобршования, оиисываемого квадратноц (лХл)-матрицей А, остается неизменным и лишь изменяет свой масштаб в Д раз, т, е. АЧ =.ЗЧ, (3 77) та говорят, что ои ивляется габагзгииым вектором матрицы А.
Скаляр Л, соответствующий эточт сабственвочу вектору, называется гобстзеилым значением. Полинам /(Д) =Ве((А — Х1) порядка л называется характеристическим олииомом (мнагачленом) матрицы А, и корней уравнения )(Д) =0 пораждшот л собственных значений уш (3.78) )(д>=п (л,— 3>=. Х >,д =б. Собственные зиарения и соответствующие собственные векторы вместе образуют собствелиую систему матрицы Л.
Множество собственных значений в математике принята называть спектром матрипы А, который, аднаиа, не следует путать с определениями ссектра, таннычи в гл г и 4 Всегда существуют по край 1ей мере один собственный вектор, соответствующий каждому. отдельному собатвеннаму значеннга, и габственные векторы, соот. ветствующне различным собственным значениям, линейно неча.
висимые друг ат друга. Коэффициент 7, наивысшего порялка в (3 78) равен ( — 1)Ц и можно показать, что коэффициент пан. низшего поРЯггкз ус УдовлетвоРЯет Условию „= ° =и,. (3,79) Определяя след матрицы как суиму элементов главной диага. пали (3.80) 1гА= Л а[>, 1), можно также показать, что Шг собственные значения 43» Матрица Ар, где р — пложительное целое число, имеет собственные значения дд Есм матрица А невырожденна, то обратная еб матрица А-' имев собственные значения 1(д,. Матрица А-рИ имеет собственные качения х,-р -1-д.
Матрица Р размером лХл, такая что Рчр Р'", называется оргоголольиод матрнцей. Кроме тога, если Р 1бладает тем свойством, что Р Р= РР"= 1, та ана называется зртоиормольиол, нлн рлигаряай, матрицей. Так как Р-'Р= 1, то Р-'= Ри Если Р— увнтарнаи матрица, то ',бе1 Р( = 1, и ве модули ее собственных значений равны 1'У.
Предположим, что (лХл).матрица Гз составлен ча и столбцов собственных векторов с Ч1 по Ч квалратнай лХ я).матрицы А, а диагональная (ихл)-матрица Л=йав(Л ..., 3.) со. ставлена из л различных собственнык значений матрицы Л В атом случае матрица А будет кисть набор линсно независимых собственных векторов тогда и только тогда, кала ее чадно записать в следующем ниле; А.=ОЛ(> ', Л=О 'АО, (з вз> где (> и Л вЂ” иевыражденные матрицы. Если невырожденная матрица А обладает таюе эрмитовай симметрией, то ана будет иметь елинственнае разлжение А = Г>ЛВ-*= Ли = (а- >ггЛ"Гргг, (3 84) где полагается, что (>-'=-(>з и Л=-ЛК Это озвачае. что эрчитава матрица имеет действительные собственные гниения и что если все собственные значения различяы, то собавенные векторы будут образовывзть ортонормал иыя бааи, поскольку (>()и=гц,цгл=1, т.
е. (3 — унитарная тштрнца. Селовгтельно, эрмитовы матрицы можно диаганали1гговагь с амощью унитарного преобразонзния А = ЕЛО». (3 85> другое прелставление для эрмитоеод матрицы А, Цзируюа.ееся иа уравнении (3 85), основано на записи матрицы ь в виде разложения внегциего произведения по ее собственнгм векторам и собственным значениим Л 5,=1гА 1=1 (з.в(> р„, =( — П вЂ” (тд. (з.вг> Глазлэгхги собственными вектора,кк называются собственные векторы, соответствующие наибольшему по величине собственному значению матрицы А. Матрица ДА, где Д вЂ” скаляр, имеет Л = Х ~.,ц,цг.
-з Выражение (3.88) в математике называется спектрльнымпрелставлгннем (нлн спектральным разложением) чзтрицм А, "П сзу к . з аа у мтарэ*а рае пуль ы а ряю тела р ш газ обзор Ри«а эбоы юз пщ»учаии (.92) " '=~ ГОО <3 88) ( 93) у„„=А "хы (,95) (3.89) драт чиа б р а РУ ршг»а а Эед, »и а й эп и его не следует путатьсо спектральным оцепи»а»нем. Используя соотношение А-'=(1")- А '0-'=4)А-ий» <з 81) где предполагается, что все собственные значения отличны ат пуля. Кеадратичяпя форм( соответствующа» эрмитовой магри. це А, является действиальной скалярной величиной (х, Ак)= =хлАк-ВмЗ»апх»*хь Квдрат»»ч»»ая форма называется положите»зло олределеплой, спи (х, Ах))О для всех ненулевых векторов х, и лолажительнг лалуолредслеилой, если (х, Ак))О для всех х'1.
Говорят, что марица А является положительно определенной илп полуопредееиной, если саответствующа» ей квздратичиая форма являета »юложетельна определенной или пол)- определенной. Эрмитоваматр»,цз тогда и только тогда являегся положительно определемай, 1огла все ее сабстиениые значения положительны; если женое се собственные значения яеогрнпательны, то эрмптава мтреца называется почожительва иол»- определевиай. Огяашелие Радея Пк) эрыптовой матрицы А — это скаляр, который определяется в1ражением «пдх П (х) = -к»-. Обоз»»чая чииаыально»и максимальное собственные значении матР»шы А чеРез Д ш ий .„ а свЯзанные с н»ыи аРтоноР»альные собственные вектор» через х .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
