Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 13
Текст из файла (страница 13)
н , ы ( ол- С ппо рамка РкеГГТ! в а в л гст -сус снипа ра Фуу с па С на« еу с С сус аразонаа я Фурье с дщ пша с . ашсноа оо. с н (пс уагран а С Ррт!. С ПсДпро Р РДЕЕЕТ (Ы, МОВЕ, НЕХ, !У! С В. л« споро !.гр С М вЂ” и а том сэ данных, гвдн вмсс осрсбсгкс(нсзс чнс.о, к Рос дсампо Онг степ ьв числа 2!. МОВŠ— у г . ноас с О юэ ннчы нн» ДВРФ ! нр н « (2.В!)) и е ! нл» пмпвсснп оарат ого ДРФ 1 нра- С с (2.8.2П. 7В 60 бп 10 70 1б 20 60 % (ОО С С В д парам рм.
с С ХЕХР— указ вас щепе *2, акую,т ах 22 ХЕХР ' ас с с С % — сснв пампа сны эщп нсн С С Прн ет щ. С Рщ е«бЕ. Х в щн со нас ква Ю доп нм у эы а щ выемаю- С щек щ гр май. С С СОМР1.ЕХ %(Ц, Сг, С2 ХЕХР=1 ХТ 2 ХЕХР 1Р (хт ае, х) 00 та !О ХЕХР=ХЕХР с! бо ТО 5 (Р (хт еа:х) бото(5 ХЕХР -! ! 0 «бщ Х еее тенек ис. 2 КЕТОЕХ 5 В АТАХ(1)(Р>ОАТ(ХТ) Сг-СМРЕХ(СОБ(БК вЂ” ЯХ(5>) >Р(маое .хе 0) с!-сах>а(сц С2-(1,0) 0020К 1,ХТ % (К) = Сй С2=С2 С1 КЕТОКХ ЕХО Под ротр РРТ (Х, МООЕ, Т, ХЕХР, >К Х) С С С Х,МООЕ,ХЕХР,Х вЂ” «пнщк парам гр д.п п д рогрм С Т вЂ” нн р а отс став в е у д С Х вЂ” веса нв Х атсеетов м к нмв данны а С х(ц до х(Х).
С С Вы«адные пара етрщ С С Х вЂ” Х щ е ы* энэ й Рщбраэовання ваксы * щдны ат. С С е т (1 — 1)(ХТ щрп С С арне ас С С Р..ры .ай Х Х ук С щей р граммой С са(рсех ха х щ(ц, с(, сй М1-1 ЕБ Х О( 70 К 1, ХЕХР ХХ-Ы./2 13-ММ >-1 ООСО! >,Х«и. КК-!+ХЕ' С(-Х(>) „-Х(КК> х(кк)-ха) — х(кк) Х(Ц-Ст (Р(хх .Ва. ц ао то и ОО 60 3=2, ХХ Сй-Х(33) 00 50 1=3, Х, Ес кк-!б-'хх с!-х(ц,-х(кк> Х(КК> (Хб> — Х(ККЦ Сй х(ц-с! 33-33-1-Мм и.=хх п(мтмм.й СОХ'ПХОЕ Х> Х(2 !б>=Х- 1 3=1 О! 90 1=1.
Хмт )Р (! Ое ц аото 90 С(=Х(3> х(ц-х>ц Х(!)-С( К-Хрй )Р (К.ОЕ. ц 00 ТО 90 3=3 — К К К(2 ао таам 3-3+К (ЦМООЕ Еа 0) Б Т >ЦМООЕ ХЕ 0) 5=1 МТ РСОАТ(Х)) О( 190 1->,Х х(ц-х(ц.в кебкх ЕЕ) Глава 3 ОБЗОР МА)РИЧНОЙ АЛГББРЫ З.Ч. Введеме Необхолнше средства для списания математических соотношений, с котоыми нрнходгпся иметь дело прн рассматренаи многих метода спектрального оцеяизания, обеспечивает ланейная алгебра п ~ особенностн матричные операции.
Матрицы представляют сбой удобный я емкяй метод систематизация полробнмх алгеб!тнческнх н численных соотношений, которые часто всгречаютс арк спеьтральноы аналнзе. Особенно полезным ддя многпх обсждаемых в занге ьгетодав спектрального оценнэання язляетя матеряал раздела, посээщснного теплицевым чзтрниам В лнноб гдаве вводлтсз основные матричные обозначения п оиершпг матрнчной алгебры, которые будут часто использоватья в последующих главак книги.
Предполагается,что чпсгь чптаелей знакома с линейной алгеброй, поэтому большинство рзуиьтатав привалнтся без доказательств Доказа. тельсгва н 1ругую информацию чататель может получ~гть виру. гих работа, список которых прнееден а копие главы, е частно. стн в книгеНоубла н Даньела [19] П. Об*ар а л ба Если матрица состоят нэ шл элементов, то говорят,что размер ность, плн размер, матрицы равен шхл. здесь а(1, Д обозначае« элемент матрицы, стоящий на пересечении г-й строка н (-гг столбца, где 1ж!ыш н 1ы)ыл. Матрицы е данной книге будут обозначаться полужярнымн прописными буквами.
Бло«най (клегоччой) митричей назыпается матраца, элемен ты которой сами являются матрицами; А (1, Д ... А (1, ц] А.=(А[1, )Н=.... (з.й «А (р, 1] ... А (р, ц] Каждый матричный элемент А[г', Д нмеет одну я ту же размер ность лгХл, Говорит, что блочная размерность могрицм А раз на РХ«. Тогда скалярная размерность матряцыАравна р лХцл Блочные матргщы булут обозначаться подчеркнутымп снизу по лужнрнымн прописиымн б)каамн Определение блочной матра иы понадобится нам впоследствии прн описании метадон много канального н двумерного спектрального оцемнвання. Виктор-строки — это (1 Х л) .матрица вида Ь=(Ь[Ц Ь[2] ...
Ь[л]), обозначаемая полужирной с~рочной буквой Вектор.столбец— зто (шХ1)-матрица вила гс (1] 3.3. Оснавьшатрнчнай алгебры Магрицей азываегся аекшарая совокупность действлтельных нлн комплнсных чнсел, записанных в виде прямоугольной таб. лнцы а(1, 1] а(1, 2] ... а[1, и] а(2,!] а(2, 2] ... а(2, л] А=(а[г, )Ц= ти(ш, 1] а[ш, 2] ... а(гл, и] (3 1) и ц ыю ю но Э«ко . ах вать зре«рз « отеч сг зазы о р фан рг кшвз о теорнн и Эни, нз р нер, !3' — Е') — Пз г«р«д. состоящей з ш строк я л столбцов Величины, составляющие матрицу, нпрнмер а[1, Д, называются ззеыентамн матрицы.
также обозначаемая полужирной строчной буквой. Бла«лы~ лектор-сголбец — зта просто блочная матрица блочной размер ности РХ! (н скалярной размернОсти ртХл) вида гс[1]« с=- (з.з 1С (Р], обозначаемая подчеркнутой снизу лолужнрной строчной буквой !'озарят, что матрицы А н В равны друг другу, если онн нме ют одинаковое число строк н одинаковое чесли столбцов н еслг а[1, Д =-Ь[г, Д для всех ! н !. С« м«шч нлн разность двук (шХл) а — 13% Гшю 3 вз (3.4) (3 й» (3.10) с [«, й] =- л а [1, )] Ь [), й]. (3 Б) та [1, 1] а 2, 1] ... а[ш, 1] а [1, 2] а 2, 2] ...
о [а, 2] «А" [1, 1] „А [р,!] Ан Дэ[1 О] Ан[ А (3 7) (3.13) та[1, л] « 2, и] ... а[ш, л]з магри А и В образует иовуи матрацу С С=АШВ, котова получается посредсяом суммирования или вычитания соотитстнующих элементов. с[«, 1]=«[1,!]*Ь[1 П где»С!(т, 1шгшп. Заменм, что матричное сложение обладзетсвойствамн ассоциативгзсти и коммутзтивиости. Умножение ~атриды А на сьаляр аопределяется выражением с«А =.(аа [1, 1]) (3.5) Две ~атрицы А и В можно угножнть друг иа друга, с тем чтобы их прнзвсденне АВ давало екоторую результирующую матрицу С тогда и только таглз,когда числа столбцов матрицы А рави числу строк матрицы ! Элеыент (г,й) произведения матрнн .В получается посредстом умножения элементов г-й строки мтрнцы А на элементы й'о столбца матрицы В Иными слонамн если А=(а[1,1]) — мтрица размером шХи, а В -(Ь[,й]) — матрица размеры ихр, то матрица С = АВ будет матр пей размерам шХр с элментами Зачеам, что умножение матин ассоциативно, но в общем слу.
чае и коммутативно (АВ-ФЗА) Заметим также, что Ай=О, где 1 — нулеззя матрица (т е матрица, состоящая из одних лншьнулеэых элечсгшов), н обязательно означает, что либо А=О,либо В-О. Соотношене АВ АС также ие обязательно пэна зет, что В=С. Трнспознцией (гпХп)-марицы А назывзется (лхш).мзтрица !' (транспонированиая) получаемая в результате замены строкстолбцами матрицы А: так чо (ь Д-элемент мщриш А' — это просто (1, г)-элемент матрыы А. Для обозначенняоперапии транспонирозания мзтрнии будет использоваться мдстрочный верхний индекс «Т Межи показать, что резултатом транспоинроввиии суммы двух матриц нмяется сумма транспонированных матриц: (А — , 'В)" Ат-1-В", (3.8) а результатом панспонированин произведения двух матриц является пронзвелние транспонированных матриц. (АВ)" = Вгд'.
Испальзоваые надстрочного символа «*з для обозначения комплексной с пряжеиностн матрицы А' означает, что ее (г,))-элемент яияется комплексно.сопряженным по отношению к (1,()-элемент!матрицы А. Тогда эрлитово граислокчровонной (нли арми«оно опряженэод) матрнцей, соответствующей комп. лексной (тхп)матрице А, наэываетсн (пхт).матрица А",получаемая н резрьтате комплексного сопряженая всех элементов матрицы А и пследующей их транспазнции [т. е. А"= (А')*= (А )г], го'[1, 1] и'[2, 1] ... о'[ш, 1]т о'[1, 2] а'[2, 2] ... а'[ш, 2] А"= та" [1, и] о'[2, л] ... а'[т, и] Для обозначены операции эрмитова сопряжения будет использоватьси надстрчный индекс «Н . Аналогично транопонироваиным матрицам южно показать, что (А -г- В)э =.— Ан-1- В", (3.11) (АВ)и ВггАп (3.
12) Блочной зрдшоао гранспоннровонэой (или эрлигово солряжелнои) матрпей, соответствующей комплексной блочной (рХО)-мзтрицед, нззывается блочная (ОХр)-матрица А", получаемая в реультате зрмитоза сопряжения всех элементов матрнпы А: Так как исвльзавание полужирных строчных букв дли обозначения некто-столбцаэ и вектор. строк меже~ привести к некоторой путаные, полужирные строчные букаы будут использоваться только жя обозначения веитор-столбпов. Следовательно, а' зз Глэаз 3 говоря «вектора, мы будем всегда подразумевать под этим век- тор-столбеп, исключая, конечно, те случаи, где ясна говорится о вектор. строке.
Заметим, что векторютроку всегда можно полу- чить посредством простой транспознци» вектор-столбца: сг=(с[Ц ... с[т]). (3.14) Весьма часто нам придется иметь дела с величиной, определяемой аиртрсииим произведением двух (лх 1')-векторов, От (3.20) которая определяется как скаляр (скалярное произведение) <и, ту= д,ш'[)]о[1]. г=г Заметим, что это произведение мовена определить с помощью обычного правила умножения матриц как <м, т) =чтит. (3.16) Аналогичным образом можно опрелелить зкешиее произведение мч" двух (тХ1)-векторов ч и т в форме квадратной (тХт)- матрицыл (3.!8) сх!Ц2х)Т) (3.21) е,„()) =. техйдуп)тТ) г о[Ц о'[Ц ю[Ци'[2] а«"= ты[из]й[Ц ш[т]о'[2] Смысл термина длина» вентора можно выразить с помощью любой из следующих векторных норм: (3.22) ]ч),= ~~[и[Ц), [ч), ! ~(о[1])') =<т, ч>'гц (3.!8) (3.19) каждая нз которых является неотрицательной скалярной вели- чиной.
Ч Вкати реиз а «р и тзм ти соков литер ттрз 5 ш[Ц! «с[Ц! тт[л]~ те[и]г ш[Ц о'[т] т (3.!7) т [т] т [ л] 3.3. Специальные веиторныи и маричныв струмтуры В экам разделе описаны различше специальные векторы н мат. ряагы, с которыми приходится чсто нчсть дело прн спектральном оценивании. Читателю был бм полезно познакомиться с приведенными здесь обозначеними, поскольку они широты используются в последующих главк книги. Нулевой (тХ!)-вектор, состишнй кз т нулевых элементов, обозначается как Последовательность схр(12и)ту) представляет собой комплексную синусоиду с частотой /, дипрстнзоаанную с интервалам Т секунд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
