Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Основной ре. зулыш, который предо~вален в данном разделе, — это теорема шсчетов, определяющая условия, прн которых непрерывный сигнал, лнскретизаванный по временнбй нлн пространственной переменной, может быть восстановлен па свопм отсчетам без патеры канай.лабо ннфорчаинн о нем. В аоследуюнгем изложения полагается, что снгналм являются функциямн времени, хата выводы соответствующих соотношений можно аналогичным образом провести н для сигналов, которые явлнются функияямн пространственной переыенной (см, приложение 2.5). (фчк) 1, Ш Р Р, 1)2*), . )И 1)З'1, 2с О )Ч) — НР " Р Э 25 ет о« у (то) лтв с~дтйх К зр(-гпл1В хт .—.
(ТТ(1 ти' = е 12ЦА Т вЂ” 1) 1 и -'(рш)= — 1 Р)т) Т Т5-тш (б и-- 1га)=ш, (В ' 'Ргп) з (15) ш '(В та= —,1Ц в Р1 хт *и( )1 1*М Табл цв 2.2. Пзм ю л Р Пвпруппа фУ Я В тсбл. 2.3 перечислены фуикцыи, с 1юмащью которых а.уществляются взвешивание и отсчеты и которые будут использоваться ниже. При ровнолерных отсчетах с интервалам 1 секунд гасгога отсчетов (или скорость отсчетов) Р равна ПТ гери. Заметим, по взвепнваю)цяя функппя и функция отсчетов во временной области обозначаю ~с(я соответственно б)квач ~ ТШ (типе ышбоыгпй) и Т5 (Вше затор) пй), а в частотной области лля этой цели исгюльзуются соответственна обозначен.
я РУТ (Вейпепсу п(пбозщпй) и Р5 (Вейпепсу эашрйпй). Предположим, что берутся отсчеты непрерывного действительнознзчиаго сигнала х(1) с ограниченным спектром, верхняя частота которого равна 1т герц. так ыо НВПФ сигнала х(1) равно н)лю пр ~ ((()Рь НВПФ действительного сигнала к(П вЂ” зто всегда симметричная функция с полной шириной спектра. равной 2Р, Гц; см.
рнс. 2.1, а. Отсчеты сигнала к(1) чагут быть полученм посредством утпгоженюя агота свгната на функпию о~счетов: хз(1)=х(1).Т5=1 ~, к(лТ)6(1 —.пТ). (2,34) Напомним читателю, что приведенное в (234) произведение с(1) с последовательностью импульсных функп~й халжио рас.
:матриваться подобна выражению (2.4), В сашветствнн с теоречой свертки в частотной области, НВПФ сигнала к(1) — зто траста свертка спектра сигнала «(1) н преобразования Фурье функции отсчетов по времени (Т5): хз(()=х(1)*т(15)= Х хП--лр). (2чй) вертка Х(Д с преобразованием Фурье функции отсчетов Р 23 Ил ю трвввя тюр «р» еппбй об стн лля д йшв . р епмы ав рм п * р брюовеп е Фурье; б — фун я ото став по врез пр бр ю и Фтр, — рекс вые от ет с днов фунианн иве р бр зев~к Фуры; — р е О о с~ ь н зомюй фуп«пи п ы перш. д; ко вр далмевао р бр зо вппе Фур е для с у вя Р,>112Т, с-- ер пе ее ы п д ойфупнцтн ° спер одн век арало. енявепреобрзов юфур дпв .".
' Р,<112Т, д — вето псе окно (пдев пый фез тр ыз в та ) п ею р брз ю Фуры (фуакцня ппс); в — псшливя фуньц и вреыен, ваы шю пшрсл«твп опсрвпп свергни с фуикнв. «й з1пс б (15)=Шп,(() просто периодически продолжает Х(П с чзстотны1 интервалам 1)Т Гц, соответствующим частотному интервац межлу нмоульсными функциями. Поэтому Хв(() представлпт собой периапически продолженный спектр Х((). Имен. но паатой причине функцию Ш(() часто называют функцией псрыомческого продолжения. В общем случае отсчеты в одной облаем (например, временной) приводят к периодическому ырахоженню в областн преобразоаания (например, часто~. иой). Если частота отсчетов выбранз достаточно низкой, тзк что Р~2Еь то периодически продал'кенные спектры буд>т перекрика~кап с соседними, кзк показана на рис.
2.1,е. Это перекрытые — одна нт форм искажения и высит название эффектна наложения в частотной области. Если частота отсчетов повышасгся так, чта Ери2Ез, то перекрытие спектров будет отсутствовать, что наказано на рис. 2 1,г. Частота отсчетов Г .=2Гч получила название частоты отсчетов Найквисгв, или частоты сворачивания. Для того чтобы восстановить исходный времеинбй сигнал па ега Отсчетам, т.
е. осуществить интерполяцию некоторого иантинуума значений между этими атсчетзми, можно пропустить лискретизованные данные через пдеальный фильтр ныжнах частот (ФНЧ), обладающий прямоугольной частотной характерисюшан, иаказанной на рис. 2.1, д. В результате (см. рис.
2.1, е) Х())=Х,()) Рцг=-[Х())*К(75Ц Р% (236) восстанавливаетси исходное НВПФ, Используя теоремы о свертке во временной и частотной областях, палучаеы х(1) —.-х,(1) *еж '(Р)Ц) = [к(1).75]*К '(Рцг) = — х(пТ) ыпс ([! — пТ)ГТ). (2.37) Зыражение (2.37) представляет собой математическую закись еареиы отсчетов ео времеккдй области", которая утверждает, ыо с помощью интерпаляционнай формулы (2.37) действ~гтеть~ый сигнал с ограниченным спектрам может быть точна ностававлеи по бесконечному числу извсстнык временийх атсчеов, взятых с частотой Ерв2Еч.
Аналогичный подход ьгожет ыть нсвользован и в случае комплексных сигналаи с ограниенным спектром с шириной спектра, равной 2Е, герц. Дуэльной к теореме (2.37) является теорема отсчетов в астот аа аб.гатти Теперь вместо сягнала с огранвченыым пектрам расс»отрнн действительный сигнал с ограниченной лптельностью, т. е. некоторый сигнал х(1), который равен ну. ю при (1()Тт Если будем выполнять аискршизаыкю не во ременной. а в частотной облас пг с чзстатныии интервала»н :.112Ть (в противном случае будет возникать наложение за земели), то получим периодическое прадолкгенне неперекрызющихся сигналов с ограниченной длительностью.
Праменеыые леального прямоугольнога вре»ениаго окна бчдет восстанав- (2. 38) х(1)=.[к(1) К '(Е5)] Тш, а операции получения соответствующих преобрзовний — вы- ражением Х (Д = [Х (Д . Р5] * ср (Тну) = — Х (м2Т,) ьшс (2Т, [) — луру,])- — Х( Г)ыпс([) — кр])Е), (2 39) описывзюшитт процелу(у интерполяции ОД.снгнла при которой Г.=Н2Ть Таки» образам, НВПФ Х([) некоорго сигнала с ограниченной длительностью может быть однанана восстановлено по равноиерньм (эквидистгнтным) отвези спектра таигго сигнзла, если выбранный кнтервал огсчеовпо частоте удовлетворнет условию Е~ 112Т герц.
2.7. Соотношение между иепрерыинымн и дискретными преобрвэоввниями Для того чтобы по отсчета» данных получить спктралытые оценки в соответсгвуюжвх единяцах нз»ереяпя эпргии или мощности, необходимо гспользовать несколько жлшающвеся определенна и термянологню па сравнению с обыньчи определениями для дискретно о преобразоваяия Фурье,прволимыми в большинстве учебник пособий по иифровой абабтке свгнелав. Пара прсобрвзоватий для обмчного опреплиня ДПФ Н-точечной временной таследоватеаьносги к[а] т оответствуюшей ей Н-точечной по ледовательности преобраовпия Фурье Х[й] дзется выраженнячы Х[й]= 2' к[п]ехр( — )2пйл)йг), =з ь-~ х[л]= —,, ~' Х[й]ехр(12кйп)И).
ь=а (2.40) (2.41) лизать ограничеввый по длительности нсходныйсиыал; в час. таткой области это будет соответствовать неьозрп операции Фильтрации, нспольэуеиай ллн восстановления ~сапного пре. образования. Операции ва временной области, теркгеризую. щие теорему отсчетов т частотной областц, описгвются выра. женпем 59 В данной пннге попользуется пара дискретно-еремекнйл рядна Фурье (ДВРФ) к-! Х[й] Тд, «[н]ехр( — )2нйп)37), =а к[п]= —.. ~ Х[Д]ехр()2пйн)йг), э=з ЗПРЕДЕЛЕНПЫХ ДЛЯ 0<й<Л( — ! Н 6<77<37 — 1, ПОСКОЛЬКУ В ННК з явном вале ввелева зааксамость от интервала отсчетов Т. 8 этом разделе будут обосновзнм выбранные наименование 4 опрсделенае ДВРФ, а также и другнк форм преабразовавнк Вурье.
Операцнн взвеншвання н взятия отсчетов, введенные в таад 2,6, будут указмвать на прямую связь ИВПФ с ДВРФ п тругими преобразаваннямн Фурье. Более подробную ннформа(ию о выводе некоторых соотношений, принятых а этом разде. те и не являющихся швроьо используемыми, можно найтн в гннгах Брнгхэма [4], Блумфнлда [2], Паг~улнса [16],Жекнння йвуза [8) н Оппенгейма э Унллскн [12].
ДВРФ можно рассматривать как некоторую аппроксимацию (ВПФ, основамную на использования конечного числа отсчетов ганных. Для тога чтобы показать точный характер зтога соотгошения, нам потребуется последовательность нз четырех лн~ейных операций. К нкм атносвтся взвешивание во временной ~ в частотной областях н взятие отсчетов как ао временной, так ~ в частотной областях.
Как уже было папазаво в разд. 2.6, ес~н операцн» взвешивания выполняется в одаой эз этих обласей, то, согласно теореме свертки, ей будет соответствовать вы. ~алненне операции фнльтрацнэ (сверткн) в другой области с зункцней з)пс. Точна также, если дискретизация выполняется в диой области, то в другой выполняется операция пернолнчекого продолжения. Так как взвешнванне н взятие отсчетов яа~яютсв лннсйнымн н коммутативнымн операциямн, то воэмож~о много способов нх упорндочення, т. е, носледовательностн ыполнення, все из которых дают одннгкавый конечныг1 резуль.
ат, хотя промежуточные результаты будут прп этом различны. 1а рнс. 2 2 попазаны две возможные последовательности выолненкя этих четырех операций. Рассмотрим сначала после. овательность, обозначенную цнфрамн 1, 2, 4, 6 н 8. Исходная зункция непрерывного времеви к(1) н ее преобразование Х(/) е ограничены н могут быть в общем случае непер гопнчсскн. ш, не ограннченнымп по спектру н по длнтельностн. Если поло.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
