Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 10
Текст из файла (страница 10)
гнть, что У Отсчетов х(!) ва времени взяты с равнамернымн атервалама Т секунд, то первая операция Р% ограничивает гнриву спектра этого сигнала частотами Ы)2Т гери (взаешн. „l~ Й щ,. е юм -з то а й оаыти, 7% — прикене ке ° «р с. ьй а с,[ (5 — вытк тс егоэ е сто кей оеэас н, Тз — эзэ с ре. к гн й Обкас и, 7 — нр Оерэь а е Фуры с шерермзкн| р нш к (НВПФ). ур кение (2.29), врз н е НВПФ уразненае (9.9ЗН 4 — прюера Оеанке Фурье с лк кр анк вэекевк (дп))Ф), уравнен е (949), Оээ тэ е дВНФ, уэ ш ю е (7 59) 5 — рэх Фр е кепрермзкмк Рен е (НВРФ), грэ кек е (З.45), Обрюн й ЙВРФ. Рзшнне (247), а — Р э Фзр е х с«э н р .
ше (ДВРФ), ур зйене (255), ебрзтэ й ДВРФ, ур ва ккь (954) ааег в частотной абласи). Вторая операцнн Т5 означает взя. тне временных отсчете с интерваламн Т (сеьунд) полученного в результате первайоперацнн ООснгнала Третья операцня ТР' огрзннчлвэет длнтньность сигнала, пал)ченного в результате второй' операции, 7 атсчетамн. Четвертая операция Р о~начнет взятне отсчете по частоте с ннтерезлами 1)ХТ герц, па приводит к пернодпескому продолжению кскодныя 37 вре. меннык отсчетов. Исползуя нрнведенные в табл.
2.3 определе. ния функцнй, оппсываюгнх этн операцпн, получаем последова. тель»ость операцнй во ~реьгеннбй н частотной обласгяк, котО. рые лаются следующим выраженнямнг кдвэе=(((х(() т '(Р%)) Т5) Т%) *!Т '(Р5), (2.42) Ллвго=(((Х(Пл%) Р (Т5])*В(Т%)) РБ (243) Операнни взятая отсчеаа между узлами 2 — 4 н 6 — 8 абратнмы при применении соотвественно теоремы отсчетов во временной к частотной абластнх, соответствующие операции обозначе. ны буквами Г% и Т%,юторые поставлены на обратных стрел«ах между узламн 4 †'н 8 — 6.
Другой возможный эуть, пака. ванный на рнс. 2.2, нсюльзует последовательность узлов 1, 3, б, 7 н 8; в этом случае нра операций взвешивания во временной абластн в взятнязтсчетов в частотной области заменена преоразование Фурье булет очень часто использовался в этой книгл Нзаансича от тога, кэкзя из двух последавателностей четыре операций выбрана, окончательный результат вузле 8 будет цнии н тем же. В злом узле порожлается дкспегно-ар«- .пеннай рнд Фурье (ДВРФ), которому соответствует целующая парапреобразававий.
л-л Хгс4] =. Т ~ гас[я] сср( — /2пйп/У), й = — — ',, — — 1, э (2.53) н,л-г КЭЗ[ =„.Т ~ Х [Д] Р((2 ДН/У), и=О, ..., У-/, (254) »=-№з като»Не глолучаюгся в результате использования свбств, указаннж в табл. 2.3. Теорема о энергим для этого ДВ1Ф просто имев»вид к-л нн-л Т3. [ щ[.]/*- —,„', 3 (Хж[/]Р. =э л= — нг (2.55) и харктернз)ет энергию последовательности нз Л отсчетов Ланилх. Оа па ледовзтельности хэс[н] и Х [Э] пеРиончны па моду:о у, поэтому при — лу/Ощупа/ справе" лиза лэвенство Х [-4) — "Х с[У вЂ” Д).
Выражение (2.54) можно дале записать в эквналентной форме н- л хэ,[п] = —. ~' Хгс[й]ехрЦйпйн!У), =а (2.56) где О-н<У вЂ” 1. Выражении (253) и (2.54) абрауют пару лискртно.временнык рапов Фурье, относящихся к искднай па. .Ре: ннрерывно-временной функции х(1) и непрерыво.частотной фикпии К(/). Супгественное различие межлу вгражениями дл ДВРФ и обычными выражениями для ДНФ выа 12.43! и (2.4) заключается в напиши велнчины Т, характензуюшей интерил отсчетов по вреневп (в секундах). Мнажитль 1!УТ, харакернзует интервал отсчетов по частоте (в гермх). Ука.
заппы множнлели необходимы для того, чтобы влраження (253) и (2.54) являлись в действительности аппроеимасие» янтегрла преобразования в области интегрированн. к-л Р' к[л] ехр ( — /йкн/Т) Т щ [, х(1) ехр ( — /2п//)11. (2 57) ээ Здесь Т и 1/УТ являются масштабвыли множителями ДВРФ относительно частоты отсчетов, что обспечивает корректность. масштабов цри вычислении энергии и м«цности. Исходя пз рис 2 2, можно усгановкь требуемое точное соотношение ДВРФ временной паслсдавтельности или ДВРФ послепааательиостн цреобразоваиив и оатвстсгвенно исходной непрерывно-вречеинбй фувчцин илн исохвой функции иецрерывиого преобразования Ясли ширинаспектра х(г) огранвчена ластщой 1/Т гери.
то ДВРФ времембй последовательвостн оудет сохранять исходные значения х/) в отсчегных точл ак, однако ДВРФ последовательности пробразований будет состоять из отсчетов некоторога «раамыт«о» варианта походного преобразования Х(/); см. выражение (!44). С другой стороны, если длительность к(1) фактилескн огрннчеиа интервалом УТ секунд, то ДВРФ последовательности Оеобразований сохраяяет исходные значения ХП) и отсветных точках, однако ДВРФ временвбй паследователыгостн будет сстоять из отсчетов неко»араго «размытого» варианта исходнсо сигнала х(Г); см выражение (2.43).
Эффекты размытия магно ослабить за счсг л пеиыпсвии Т (так что 11Т будет соотвествовать более широкой паласе) или увеличения У (так что ЛТ будет соответствовать большей длительности), в реаультате что ДВРФ будет точнее аппраксвынровать НВПФ. Заметим, чт ДВРФ булез лдепгпчиым НВПФ талька в случае перводичеких сигналов, которые ножка представить в внле суммы кз кмплексных синусоид с частотами ЦУТ гери, где У=О,..., У вЂ” 1 2.8. Масштабирование дпя определения лощностм По аналогии с определением (2.31) пля спектральной плотности энергии нспрерывпо-временнбго греобразованвя Фурье л:ажно, используя теорему о энергии 2 5!), записать следующее выражение для спектральной нлояости энергии дискрет.
на.временного преобразовзная Фурье (/ВПФ): Здвпэ(/)=)Х(/))'=[Т Х кв [Оехр( — /2н/ну)/, (2.58) определенное при — 1/2Т:/;1;27. Испльзуя геореллуознсргнн (2.48), можно получит отед)ющее выаженне для пеьтраль. най плотности энергии непрерывно-врменного ряда Фурье (НВРФ): Знагч[/г]=)Хгс[У]! =.~)а хОВср( — /йпй//УТ)41(), (259й определенное прн — о (дщ . Испопзуя теорему а энергию (255), можно также получить следуюше выражение для спект- ге 2 Рльнай платаостн энергия дискретно.временнбго ряда Фурье ПВРФ): з-~ Здвгв [й] =)Хгс [й] )'=! Т д, хэс[л] ехр ( — 12яЬг)У)), (2 60) =с юределснное пря 0<0<У вЂ” 1.
И ИВРФ, н ДВРФ определяют периоднческве функпнн врехни с периодом УТ секунд. Мощность равна энергия, отнесенюк к еднняпе времена Поэтому, палелив спектральные плотыста знершш (СПЭ), определяемые выражениями (269) н 660), нз УТ, получим следующне выражении для детермяннРвавной' с гкглальэоп плотности мок!носта (СПМ): Рнэ» [й]=,тт Знв»ь [й] 1 (2.61) ге — »<й<, н т (я-! йт»е[й]= —, Здэ„е [й] = — ~ '~ лаз[я]ехр( — )2яйп)У)~, (2.621 =э ге 0<й<йг —.1. Обе эти нлотнастн выражаются в едннпцах ыщности на 1 Гц. Далее можно получить выражения для поэ. нй мощности Р, выделяемой за одын пернал, путем определена ллои(ада под кривой СПМ Р, а»е '— Е х Рнэ»Ф [й], э-г !' =Р х' )' э [й], э-э гд Т= ПУТ в интервал дяскретнмх отсчетов по ~эстоте в герцх В некоторых учебниках «спектр» ДВРФ определяется ка~ э-1 Г Рдэге[й]=~ — ~' ха,[л]ехр( — 12яйлду)[, (2.63) =э пскальку зта величпна не зависит от ннтервада отсчетов Т.
Ве. лмпна, определяемая выразкенкем (2.63) прв каждом значения нцекса й, будет точно равна мощности синусоиды с частотой ЛУТ герц (см, ннже раза. Задачи»). Олнано в отличие от выржения (2.62) выражение (263) не представляет собой коррктно промасштабираванную функцню СПМ. аз 2.4. Двпвпнвннв нунямн С помощью процесса, называемого догголкэнмм кулями, дис нретно-временной рад Фурье может бмть нзмнен для интерполяцнн между Л' значениями исходного преобазовання. Пусть имеющиеся отсчеты данных х[0],..., «[Л' — 1] дополненм нулевымн значениями к[У),, х(2У вЂ” 1).
ДВРФ»той дополненной нулямн 2У-точечной послелавательностн даных будет определяться выражением зи-~ я-! Х[й]=Т ~ к[л]ехр( — )йяпй)2Л)=Т У„я[леху( — )2хлф2У), =э =э (2.64) где верхний предел суммы в вравой части нз:елен т*кнм обра. зом, чтобы учесть налнчие введенных нулевы отсчетов. Пусть й=21, так что н-~ Х[1) =Т д,' х[а]ехр( — )2ял1/1), где 1=0, 1,..., У вЂ” 1, опрегшляет четные эначниа Х[й]. Следовательно, прн четных эначениах индекса й 2Угочечный дискретно.временной ряд Фурье сводится к У-точечнаау днскретно-временному ряду.
Нечетные значения индекса й оответствуют нн. терполнрованныы значениям ДВРФ, располоэенным междуэначеннямн походного У-точечнага ДВРФ. Па мере того как все большее числа нулейдобавляется в исходную У-точечную последовательность, модно получнть еще большее числа интерполированных значений Влияние дополнительных нулей на янтерполнрованне иллютрнрует рнс.
2.3. В предельном случае бесконечного чнсла ввцнмых нулей дис. кретно.временной ряд Фурье может рассматнваться как дискретно.временнбе преобрааованяе Фурье Латоечной взвешенной последовательности данных э-~ Х(!) = Т ~ х[я) ехр( — )2п)лй. (2.66) =э Преобразование, определяемое выражением (.66), соответству. ст узлу 6 на рнс. 2.2.
Заметам, что бытует не равнльноемненне а точ, что дополнение пудами улучшает разршенне, поскольку оно увеличивает длину последовательности да ных. Однако, кэк слецует нз ряс. 2 3, пополнение нулямн не рллшает раэрец~аюшую способность этого преобразования, полуенного по заданной конечной последовательности данных. Дполненне нулями просто позволяет получить интероолированне преобразование сглажепвой формы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
