Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Член етр(з!) называю- собст. сивой функцне линейной системы, ооскальку и вход, п выход ропорипоналып этому члену. Тогда функция Н(з) явтяется обстяеннмл эннением этой спешны, так ках ана нграс раль амплексного мсштзбпога множителя при собственной функин. ст ?4. Днсиревыв пмнейныв снстемм Вывод соотатствуюших соотношений для дискрегнык линейаых систем мажа провести аналогично их выводу для непрерывных линейнык астем. Специальным вковным сигналом для лис- кретвых спеем является единичная импульсная функция б[л], называемая также дис рстной дгльта-последовательностью.п Она простотпределяется каи ! 1 при «=О, [']=] О ри втык. В отличие а случая с непрерывным временем при определении б[л] атсутсвуют какие-либо аналитические трудности.
Любую произвольню последовательность ![л] можно записать в виде взвешенной"уммы дискретных импульсных функций (н] = Х ( [й] б [я †] .= Х ! [л — й] 5 [у]. (2. П) Пусть й[л)-дискретная импульсная карохтерштика дискрет- ной юснейнй системы, возбуждаемой единичной импульсной функшсей. огпа выходной отклик у[н] на произвольную вход.
иую послелваюльносгь ([л) бтдег определяться следующей дискретноагесргхоб у [я] = Х 5 [я †] ([й] = й [о] [[л] (2.12) Заметим, чо в зависимости от того, ируглые или квадратные скобки испаьзовзиы прн записи фуницнй, объелиняемык опера- тором с*, будет соответственно подразумеваться операция лискретной или непрерывной сверткнф Каузальной дискретной системой яияется система, выход которой в момент времени л завпсзт толка от входе ([й], где й и, а это означает й[й] = =О врн й~) Если вязом дяскретной линейной системы с импудьсной хараьтернспкой И(л] является экспавенциальная последова- тельность [гс] =г", гзе -" — произвол~ива комплексная величи- на, то выхцнай отклик этой системы будет определиться выра- жением у [л] =- Н (г) г", (2.13) тле В(г)=.
? 5[л]г '=.2(в[в]). (2.14) ч Зтт Фшкв «не н з аа Фгнсца а Э и ю о ото с ( и., грв- Ь . чи шл ер «а со эс с е но авшр ои вэ» е р р зае вреза ( м, иав и р, !за'1 !. л, З н !О! — Пр . эсэ. Г а2 Следовазльно, г' — зто собственная функция дискретной линейнои сстемы,~ Н (г) -- дискретная састемяоя фуякцаа кото. рая опреелена мя тех значений г, прн которых суммз в (2.14) сходится Функшю Н(г) можно рассматривать как двустороннее г-арабпазоажие последовательности ь[а) Для обозначевня опер пни г-реабрачовзнии далее будет использова~ься символ Л. Заиенм, чта Н(г) — зто некоторая непрерывная функцпя ч дажезсли она и была опрепелена по дискре аай последоватньности Функшгя Н(г) имеет виа полинама, в лотаром степин г ' оатветствуют последовательным значениям индекса армены (апрнлгер, Ща) связгно с членом г-") В этан смысле г' малко рассматривать как оператор задерэсг.и на олин атсчт.
т б на 2.!Слове з г прлобралоза 4Э Ь[0)..., Ь[О) полностью характеризуютзтусстему Безпате. ри обшнасти можно положить а[0) =1. Если адэш некоторое чножество начальных условий лля входной ивыхцнай паслезовательнастей при п(0 и входная последаатеьность х[а) при а)0, та нетрудно вычислить выходную пследаательность у[п] при атмб.
При нулевых начальных услоиях .преобразование, соатветствуюшее уравнению (2.15), будт иють следую. шнй вид: а У (г) д, а [2] г л.— Х(г) Х Ь[й] г ", (2.1б) л=е Л=з гзе было использовано свойства свертки, указннаев табл. 2.1. Следовательно, системная функции Н(г), свяывамцая вхаз и выход, будет определяться выражением С.л ° Сленг Мымтабаае Свертка Ряд вшных сайств «-иреабразавапан перечислен в табл. 2.1. Зачетим, гто указнные в этой таблице свойства справезлнвы толька да обшел области схпдимосюг фунг цнй Г(г) п 6(г).
Доказэтеьства зах свойств даны в ~ ингах Оппенгейма а Шафера [11)и Оппегейма н Унллокн [12). Один вжный шасс хнснретных систенных функций обоазу. ют функцн с ра напальными «-преобразованиями, г. е. с преобразованная, кторые представляют собой отношения полинаман от . Пусю некоторая каузальная дискретная ланенная система ансываеся следугашим линейным ревностным уравяеннем с позаянны и коэффвшгевтзиа а ~з[й]у[а — Ь]= д, Ь[Ь]х[а — Ь), л=з -4 Ш 15) татаров сизывае входную н выходную последовательности с)а] н у[), где,~б.
Последовательности а[0], ..., а[Р) и аг(( )Ч-[б! ! )1 — 1 ) (а) П вЂ” 'г! Р! — "! П )Яя('! Н (,), а (.) ) ( )Ч-ьа(г) - е() р( ), аьа р. (')' ПН ) гП) ) г(,) 0(*) 5' ь!а)*-л Н (г) (0 Х (г) )-). 2,' а(э!г (2.17) л=! которое явлнется рациональной функцией от -'. Оаз из экви- валентных факторизованных форм функции Нг) юеет внх о ь)а)п 0 — л — ) Н (г) =- — рл й, —.* (2.! 8) о В ржи иенах ура ая с о:таян ына ао фр аа м а»а а 4 — ! Збб так что Ь[0) можно расснатравать ьак козфгнцнит, ыасштабиРУюшнй Усиление. Коунгг г,, го назоном вгислнтеле н корни рг. ..
рр знаиенателя называюгся сооветсвенна нуляни а полгасала функшш Н(г). Можно паказть [2), чта дл» лстайчнвой системы все полюсы должны уднлеторягь условаю )рл)(1 Минимально-фазозой линейной истегай называется каузальная системз, у которой все полам н бли системной функции Н(г) лежат ваутрн единнчнал окужнасти в г.плескает», т е., иными словами, )гл) ( 1 и )рл[ 1. Системную функцию (2.17) можно также лписть в форме разложения иа элементарные прайи. Если полатнп что ы(Р, З1 ь=! э=! (г. Ш) (2,23) (2.20) (2 24) 1 Х г [Д) р",, и » О; .б (и) =- * О, и < О.
(2.21) ( 1, 1г(<1: ю(х)=~ 112, (к(=1; О, (х(> 1, (2 2б) л кратные полюсы ошутствуют, то Вычеты г(й(, 4=1, ..., Р можно вычислить, используя теорему о вычетах Наличае кратных полюсов требует несколько более сложного подхода. Исполы)я обратное з-преобразование, соответствующее функции (2.19), можно показать (и), что импульсная характерисгг~ка дне. Ретной системы при нулевых начальных условиях представляет собой сумму дискретных экспонент; 2.$. Преобразование Фурье с непрерывным временем хотя преобразование лапласа н(з) позволяет выполнить обнгий анализ поведения непрерывной линейной системы при произвольном экспонеациальном входном воздействии, часто наиболь.
ший интерес представляет оценка ее поведения относительна осн мнимой переменной, т. е. пря з=12яф В этом случае преобразование Лапласа сводится к некоторой функции от (, определяемой выражением Н(Л=~ бффехр( — 12 )1)б(=К(ДЯ). (222) В этой форме функция и([) ° азываегся преобразованием Фргже с иеггрерьгвиьгм временем (или непрерывно-зременифм преобра. аозокигм Фуры, НВПФ). Для обозначения оперзцив НВПФ мы будем палее использовать символ Уг. Переменная ) в «амплексвой синусоиде ехр( — 12п() соответствует частоте, нзмеряе. мой в герцах, если переменная 1 нзмернется в единицах времени (в секундах). При обработке просгрзнсгвенных сигналов вместо временной переменной 1 используется пространственная переменная к, а вместо частоты [ — волновое число д, намеряв.
мое в пиклах на пространствеяную елиннду. По сути дела, НВПФ идентифицирует частоты н амплитулы тех комплексных синусоид, на которые разлагается яекаторое произвольное коле. бание Обратное преобразование Фурье опреаеляется амраже- нием й(1)=~ Н()ЕХР(12П(1)П(=У-'(НЦ)). Дня обозначения операции обратного преобразования Фурье с непреРывным временем далее будет иснальзоваться самвел бг '. Выражения (222) и (223) образуют нару преобразований Фурье с непрерывным временем (пару НВПФ). Существавзнне прямого а обратного преобразований Фурье с непрерывным временем для Ланной функпнв опредедяегся целым рядом условий.
Одно нз лостаточвых условий состоит в то», что сигнал Л(1) должен быть абсолютно интегрируемым в смысле Озио менее ограничительное достаточное условие существования НВПФ состоит в том, что сигнал должен иметь конечную энергию, т. е. )" (й(1)(РВ(< Другие зосгагочныс условия существовзння НВПФ првчсннмы к сигналам, которые могут быть представленм а форме В(1) =о(1) юп(2п(!+О). Фуньнвя а(1) должна быть затухающей, т. е.
о(1+Л)<а(1) пря д)0, а й(1) долзква )зовлетворягь условию [ а,г"~Ф< 12 23) Если допускается прнменензе теории распределений (гема, выходящая за раыки математических вопроссе, затрагиваемых в данной к~иге), то молсег быть определено НВПФ лаже н для незатухающих пернолнческих сигналов Рял ключевых (основных) свойств и функггнй, реализуемых непрерывным преабразозаннеч Фурье, которые будут часто использоваться в кинге, приведен в табл 22. Вывод соотношений, помещеньых в этой таблице, в частности тех нз нах, в которых нспользовааы импульсные функции.
можно ггэйгп в стандартных учебных пособиях, см, напрлмер, Бригхэм (4), Рабинер и Галл [1б), Оппенгейм и Шафер (П(, Бренсуэлл (3!. Замети», что прямоугопьное окно определяется выражением 3 с а*. эг а ° эг „ и эт„,,„, '7 умов«ч (2.27) ) равд 2.0 нас, в частности, будет интересовать функция огисгоэ (илв длскрсгизирующоя), определяеьтая выражением Ш ° (х)=- Х б(х — Ш), (2 23) реобразованне которой также является функикей отсчетов. )о причннам, которые будут объяснены в следующем разделе, ту функцию яноша также называют функцяей, осуи)ссшляайай периодическое ародолжение.
Другое важное свойство устанавливается георсмои Парсеалл для двух функций упф и й(1): ) 2(!)Л'(!)Ш=г 6(ИН'(!)д!. (2 )Э) :слв положить НВП=Л(П, та теорема Парсеваля сводится к иореме длл энергии Е =- ~ )Л (!))* Н1 = Г) , ) Н (!))' 37, (2 30) юсьалы у в левой части в (2 30) стоят иалная энергия Е снгна.а Л(!). Вырэжение (230) -- это, па сути дела, просто форму,нровка закона сахраненаа энергия в двух областяк (времен. э)й н частотной). Таким образам, функцня 3(!)=)Н(!)[' (2.31) аал аз 2.2. Оснаш 2 а Нвцф фу ы чки)ФЗЩ!) з (! — !.) ЛНМ 202 1.1) Ойи)МШ ) ь у)*з(!) 2(0 )ЛН 1177,) 2АР и (зги) Аэд) ш,-(!) Функции зшс — вырзжением з7пс (х) =— зм( О ! *01!)ч-зну) )),Пюг( — )2н!!.) Н(! — 1,) Н (а!) абй нШ а шин ш 2А7' м (27,1) .чи(1)г,) А гшййг Ог опнсывает рагнределенне энергни па часто~с для детермнннроеанного сигнала Л(!) н поэтому называется спектральной плотностью энергии (СПЗ) детерминированного сигнала Л(!).
Применвтельно к детершшнраванным сигналам в лнтератт. ре по линейным снстеьгам помимо 5(П нспользуются еще деа других определения спектральной слатности. Если Л(1) — импульсная характеристика некоторого фильтра, та ее ПВПФ Н(!)=-[ Л(1)ехр( — )2я)1)Ш (2 32) называется частотной хирокггршюжай этога фильтра. В обп!ем случае функция О(!) представляет собой комплексную функдню, поэтому в полярных координатах ее можно записать Н (!) = ) Н (!) ( ехр ()0 (!)), (2 33) где действительные функцнп )Н(П) в ВВП олределвются выражениями [О(!)[=[Не[О(П)*Ф) (ОПН)и', В (!) = а!с!2 [1ш (О (!)))Ке (Н (!))].
Фуакппя ,'О(!) ) называется амплитудным слгкгром импульсной характеристики Л(!), е функш7я О(!) — ее фазовмм спектромр) Л.б. Оиераци» дмснретнзацми и взвешивания В равд. 2.7 дискретно-временной рял Фурье (ДВРФ) введен как частный случай непрерывна-временного преобразования Фурье (НВПФ), пря этом были использованы две базовые аперацнн обработки свгналоа — взятие отсчетов (дшкретиэоция) и аэаешиаалие с помощью анна. В этом разделе рассматрквается взнннне этих оисрацнй на сигнал н ега преобразование, что упростит изложение материала в равд. 2.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
