Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Кроме тато, оно усраняет неопрепе- более З вЂ” 136З и <л я а.э й 0,0 а.о аа а,з ол ал а,з д <л а,з а а.з ) ол , :ОЛ 1 0.2 о,а 00 01 02 02 Ог й о. о 0,2 а.о ев й зев дзнхых, одеры ы» р у д; Л вЂ”. дта ДВРФ таз мз юз те нос э лаены* 00 аоп ле«н нтз ( реде. Оа и не З О ); Π— одуз ДВРФ той ме в Од!за э «л ткрюнеп мзм, щ «з л з е трн сину д ); г — молу. ЛВРФ й е етха Озхеняэзтгэ х .енностн, с каторымн прихолнтся иногда сталкиваться на нракнке, нмея дело с дискретно-нременндмн ряламн Фурье, обуФонленнымн наличием узкополосных комйанент сигнала с центальнымн частотами.
Этн частоты лежат между йг тачкамн, сочзетстнующнмк оцениааемым частотам походного (т. е. не доолненного нулями) дискретно-зременнбго ряда фурье, что нл.юстрнрует рнс. 2.3. При пополненни нулями повышается также точность оценяаання частоты спектральных пиков. .19. Быстрое нрнабразаннннп Фурье )ыстрое преобразование Фурье (БПФ) — это не еще одна раэ. юандность преабразозання Фурье, а название целого ряда эф- Оектянных а»горотдел, предназначенных для бмстрого нычнс- и о.з 2 ' й а.е й х Ог " 0.2 й ал 6 0.2 о,а ог пь аа о! Ф Оз 0 ленин дискретно-эременнбго ряда фурье. Прпнцнп! построени! этих алгоритмов обсуждаются э многочисленных )аботах; см. напрннер, Отнес и Эхонсон [13), Брнгхэм (4), Райнер и Гол) 161, Макклеллан и Райдер (10), Эллиот н Рао (), Берглан! 1), Кокрэн н др.
(6). Поэтому э данном разделе м! лишь крат ка остэнознмся на прннцнпах достижения той аыпслнтельно! экономия, которую обеспечнеают алгорнтмы БПФ. БПФ вЂ” эт! пераыя из несколькнх быстрых нычислнтельных аларятмон, ка !орые будут рассмотрены я данной книге применнельно к ме годам спектрального аценнаания Основная идея БПФ вЂ” деление Лцточечного ДВ'Ф на дэа ! более меньших ДВРФ, кажлыя нз которых можы эычнслнт! отдельно, а затем линейно просуммировать с ос<2<лнымн, с теь чтобы получнть ДВРФ исходной РДточечной последнательностн Этн ДВРФ меньшего размера можно н спою очердь поделят! на еще меньшие ДВРФ саатаегстаенно меньших пследоаатель настей. В общем случае вычисление Л' ючечного Д!РФ требуе эмполненнн 10926) шагов с операциями сложения: К)2 опера лиями умножения на каждом шаге. Таким образок й)-точечно! БПФ требует ныполнення примерна й'Ьр 9 ложенпй Э)092(й)12) умножений комплексных чисел, что знзчнтельн! меньше тех Жх операпнй, которые необходимы дляраздельноп эычнслення Я!значений преабразазання по Д-точеной последа аа2ельности данных.
Если нспользуется даполненн аулямн, т! за сче! исключения, нлн удалгння, яычнслнтельнтх путей, со державах одын лншь нуленые значения, можно )остнчь ещ большего уменьшения объема яычнсленнй; более юлрабно см об этом н татьях Маркела (9) н Сриниваса к Рао 17). В при.юження 2.В прннедена программа на Фртране дл: элгарнтма БПФ с децимацией (прорежпнаннем) лсчастоте.
Бо лес сложные программы БПФ прнзолягся а гл, 1 сборник Программы длх щ.фразой обработки сигналов»,'6), опубли кованного нздательстном !ЕЕ!! Ргею з 1919 г., ! а учебнию Макклеллана и Рэйдера (19). 2.1<. Разрешенне и пронзнеденмп длнтельностм на шмрнну налаеы Общепринятое змпнрнческое праннла, часто нсползуемое пр! спектральном анализе, гласнт, что спектральное Рзрешеняе герцах прнб.тнженно равно неличные, обратной нперналу аре мекк наблюдения сигнала а секундах. Поскольк расстоянв между спектральными линиями ЦВРФ равна БИТ!<В тле ИТ— полный ннтераал времени наблюдення, каждая «япйка» разре щения ДВРФ зо частоте будет, согласно этому паннлу, прн мерно саатнетстнанать предельное аелнчнне спектрльного раз б ее г эт т~*() Ю) (2.67) т. е.
мымн словами, как «плошадь» этого дискретного сигнала, поделнная на его центральное значение. Эквнвалемтвая длнтельнсть сигнала равна ллнтельногти сигнала с прямоугольной огкбатщей, высота которого равна значению х]л] в начале ко. ордкнт, т. е. х(0], а площапь равна площади исходного снгнада; сь ряс. 2.4, и н 2А, б. Заметнм, «то в общем случае Т, не бу. дет цаочясленна нрэтным интервалу отсчетов Т. Экэиеолекглая ширям попоем В, дискретно-временнбго преобразования Фурье Х(]) аггнала х(п] определяется аналогично как х (с) см. рть 24,э н 24,г. Эти две меры временной н частотной конпентрцнй применимы лишь к действ!гтельназначным симметричны сигналам с максимальным значеннем в начале координат, мтеграл от которых имеет конечное ненулевое значенне.
Этн уловка точно выаолняются лля весовых функций (окон), (2.68) решена. В агам разделе анализируются обоснованность указанноо эмпнрнчесного аравнла и возможность его использования я качестве некоторой меры разрешение. Результаты этого разде.а применимы к случаю детерминированных сигналов конечно энергнн. К обсуждению произведения плнтельнастн на шярну полосы (частот) мы еше вернемся в гл. 5, где будет показно, что для аналнза случайных сигналов конечной мощности нобкодима моднфнкацн» с использованием произведения трех елячнн — статнстнчесьой устойчивости оценка, длительности нпнрнны полосы. Сгнал х(л] не может олаовременно быть ограниченным по длктньа стн н гю ширине полосы спектра.
И хотя любая функцня н может быть строго ограниченной по длительности ялн па полос, ее все же можно охарактеризовать некоторым интервалом 7, секунд, в котором сосредоточена ббльшая часть ее энергнн па представления во временной области, н некоторым ннтерваюм В, герц, в котором сосредоточена больпза» часть ее энергк прк представленнн в частотной' области. Для каличественноо описания аренеллой концентрации энсргнн дискретно. времпной послеповательностн отсчетов сигнала н соответствую. щей остатной концентрации ее преобразования предложено не. скольо различных мер. Лне нз них рассмотрены ниже.
Эмиэалемгная длительность Т, дискретно-временного си~на. ла х],] определяется кан «,ы] 0 тут з х01 х,из е.тт ад р эбг мазню Фгр е р могихшса Форма, г ю пэ мадь ра тм шаэ г аг ькэ Фтэм н холме с поторые рассматриваются в гл. 5 в связи с обсуждением классических спектральных оценок. Из саатггошеннй (2А9) и (2.50) с очевидностью следует, что Х (0) = Т Э х ]л], (2.60) х]0]-( ™',,',гх(7) дй откуда получаем, что произведение длнтельнасти и ширины полосы равно т Х ") (""эхб)з) „(о) " ' х(о) =) ° (270) а это означает, что эквнваленпыя длительность сигнала н эквивалентная шнрнна его преабразоааная являются взаимно об.
ратаымн ве.чнчинамк. Именно это равное едннвце пронзведенне, в котором Т, полагается равным ннтервалу наблюдения, н поло- 71 жено в основу эмпирнчеснога прияла, упомянутого в начале данного раздела. Возможно другое определение »роазведення длительности и шпрнны полосы, основанное на занятна среднеквадратачной ллнтельностн (ширины]. Срепнеквдрагнчная ширина является мерой дисперсии (среднеквадратннога отклонения) некоторой функцня от ее среднего ззачення Лля гага чтобы получпгь возможность оперировать с боле»широким классом функций, чем это возможно прн нспользоеаин зквввзлентных длительности (2.67) н ширины паласы (2 60, можно использовать опрепелення среднеквадратичной парнны для функций виги )к[п](з и )Х(!))' Такой падхол озволяет получать значпчые среднеквадратггчвые величины жанны длл комплексных функ цяй, осцнллнрующнх фуньцнй н фнкцнй, которые нмеюг нудевую интегральную площадь.
Сресгеквидрагичнигг длительность Т, дискретно-временного снгнала с[п) определяется «ак т » (.тр) (Т,)'= (2 71) т '1 )Н* а средкекеапрагичкая шириип попсы В. дискретно-временного преобразования Фурье Х(!) снгнла к[п] определяется аналогнчно как (2 72) (В,)'= ]"*',х(Л)*е! ' В приведеннык определеннях предолагается, шо среднее звачевця к[и] в Х([) саотвстстнуют отчетам к[0] н Х(0), хотя э»г» определения можно изменять тамм образом, чтобы средние значения не соатветствовалн начау координат. Поскольку, согласна выражежю (2.51), энергин спгнела «[и) я лреабразаванив Х(П опредляется как Е.=-Т ~Ц )хгп])'=, г)Х(!)['д[, то произведение среднеквадратнчых величин длнгельносп» н ширины полосы (Т,)'(В,)' будет рано (Т,)' (В,)' = (2 73) Используя одну нз разновидностей неравенства Шварц, а также полагая, что сигнал имеет конечную энергяю Е н упвле»воряет условию )пп (оТ))к[л])'=О, ыожно показать [3, 14], что (Т.)'(В,)с ж1)16кд Позтму произзедеиие средиеиеадрагичимл значений длительности »ширины го»осм сигнала удовлетворяет услоаню Т,В, > —.
4 Если положить, що Т, примерно разно То то условв (2.74) устанавливает несколько меньшу»о ширину полосы кццентрацнн энергии, чем условие (2 70). Ширина иолосм В» ка уровне половинкой (3-дб) ю злости часто используется на практике в качестве некоторой ппрокснчацнв величины Ва поскольку ее легко измерить. Это -ширина паласы, в которой пвадрат ве.чнчииы данного преабразонння равен половине квадрата его значення в начале ьоарднит, т е. там, где )Х(»ФВ»,'2))'=-)Х(0)[»!2.
Выраження (270) п (2.74) устанавливают связь месду временнбй кониентрацней адикочиого сигнала н спектралной концентрзцней его преобразованвя. Величина ТВ колнчесэенно не определяет способности разрешать спе»шральные атклми, обусловленные двумя нлн более сигналами. Поэтому в лаературе появилось множества определений разрешення, большмство вз которых касается способности разрешать спектральныеотклнкн двух сннусонп, близких по частоте и амплитуде.
Этв пределе. ння основаны на некоторой мере того, насколько бгнзкнмн лолжны быть этн две синусаваы, чтобы нх спектральны откли. кн сталя неразрсшвмымн. Оба»им во всех агах опрееленнях нвзяетса допущение о там, чта разнесение сннусоил псчастоте не может быть ченьюе эквивалентной ширины лалосы «па, через которое наблюдаются сегменты (отрезкн) этих двуссннуам нл Поскольку большинство критериев разрешення касатся снг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
