Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Комплексный синусоида.ьный вектор е ([) с частотой) определяется как (т 1)-вектор-тлбец вида где пг -.наиболыиий временаои индекс. Дискретно-временнбе (ДВ) преобразование Фурье (,'ВПФ) для У отсчетов ланных можно, например, записать как масштабираваавое внутреннее скалярное праизвехенае векторог Х())=ТЬ«- ())х, где вектор данных х определяета выражением «[б] Матрица, у которой число свох (л) раааа числу столбцов, называется квадратной мзтргп й размером п Хл. Элементы л[1 Ц 1- 1,...
и, лежат на оспиной, или элианой, диагонали зт эадратмой матрицы А, а элементы а[1, п41 — 1] — на ее кроссимоиали'1. Симметричной магрицей 5 называется такая квалратнз» маттиа, для которой (3.23) бг=$ это означает, что элементы з[1,Д =з[/, 1] снмметричмы относизльно главной диагонали.
Примерам может служить слеяую,ая симметричная (4Х4)-матрица: 3 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ 3 ~ 2 з[1, !] 2 [1, 2] з[1, 3] з [! з[! 21 а [2 2] 3 [2, 3] 2 [2, 4] ~ а [1, 3] з[2, 3] а [3, 3] а [3 4] ° (3.24] з[1, 4] 2 [2, 4] 2 [3, 4] з[4, 4] рмигоеай магрицей называется квадратная комплексная гХп).матрица С, обладающая свойством комплексно-сапряеаной снмметрни (3.23) с"=с. Диагоналевой магрпцей О называется квадратная матрица, е элементы которой равны нулю, за исключением элементов, юположенных на гланиой диагонали (некоторые из которых «же могут быть равны нулю): "[!] О О О д[2] ... О О == (3.2б) О О ...
д[п]1 дя более компактной записи диагональной матрицы будет нс1льзоваться сокращенное обозначение д(ад(д[!],..., д[п]). часа зэ з ь н (1, — (1-1Ц О мл этой ща нага дно налюнруе ся ю м гэ це ( '::~::]: 1) !1, 11 О, 2! 11, 21] и !з,' П, !з,' 21 з !з', з]/ ц з(1,2], 1-2 п(2,2]; -3 а(2.1]1 у«юавюм е тм р оа гзются эдна, ют р а р де рукоэсд язэиаае я в оров канва ью Р., напри ер. !В'! с 1221 — Пр а р З Единичной мир цей 1 называется диагональная матрица, у которой все днгс1альные элементы равны единице; (3.27) Если в каком-люоматричном уравнении необходимо указать раамер единично мтрицы, то для этой цели можно будет использовать падспоный индекс.
Таины образом, 1 будет обозна ють ехнничи)о',гпхщ).матрицу. Для любой (тхп]-ма1рацы А справедлнв рвенство 1„А = А1„ А. Если попстрочны мдекс у матрицы 1 опущен, то пз контекста будет ясно, кака рзмеряость этой матрицы требуется. С единичной мтрнцей близко связана матрица отражения !'1 (иногда мэщаемая мигрицей эамещеиия, нли обменной лагрицей) 19 ... О 1 О ... 1 О (3.23) ... ОО, единичные элементе которой расположены на кроссдиагояали.
Матрица 2 обраиае, или изменяет на обратный, порялок строк или столбцов маржи или вектора. Умножение слева (тХп)- матрицы А на мариу р, где подстрочный индекс т обозначает размер матриызтражения, приводят к обращению порядка следования строг Отражение относительно центральной гориаонтальной оси): гг[ю, 1] а[гп, 2] ... а[а, «] (3. 29] 1„А= г[2, 1] а[2, 2] ,.
и[2, и] 1[! !] и[1, 2] ., а[1, ] > тща рнц но з мэтрнией а р ст о ( м !б ! 1Щ).— йр и ргй 66 яз та[т, л] ... а[ли 2] п[т, Цг Как и а случае единичной матрицы, подстрочный индекс, указынаюшнй размер матрицы 3, часто будет опускаться а техслуаях, когда он ясен на коитеьста тога нли иного матричного уравнения. Аналогично дейстэаю на матрицы, произведение Зс будет обращать порядок следования злементаэ нектар-столбца с, а пронзпедение с'3 — порядок следования элеыентоа пек. тор-строки сй Нетрулна показать, чта Н=З и Н=ЗЗ= 1. Персиллетричнай матрицсй Р'1 иазыпается каадратиая (лХл).матрица, симметричная относительна своей крассдиаганали, что можно проиллюстриропать с помощью следующей (4Х4).матриим.
р [1, Ц р [1, 2) р [1, З] р [1, 4] и Р, Ц л Р 21 г Р, 3] г [1, 3] р[в, Ц р [в, 2] р Р, 2] р[1, 2] ' р[4, Ц р[3, Ц р [2, Ц р[1, Ц Таким образом, р[цг] =р[п — 1+1, л — г+ Ц. Нетрудно показать, что Рг=ЗРЗ н Р=ЗР'3. ((еитрасимкатричиай матрицей В назыиается квадратная (лХл)-матрниа, такая, что г[1,)]=с*[а — 14-1, л — 16-Ц. Специальный класс центросимметричных матриц образуют даажды симметричные матрииы, т. е.
матрниы, эрмитопы относительно главной диагонали и персимметричные опгоснтельио «россдиаганали, что можно проиллюстрироаать с помощью сдедующей комплексной (4х4)-матрицы: (З.з(> Р гРЦгР,цг[З,Цг[4,Ц с [2, Ц г [2, 2] г'[3, 2] г'[3, Ц г[З, Ц г [3, 2] с[2, 2) «'[2, Ц г [4, Ц г[З, Ц с [2, Ц г[1, Ц В этом юстиом случае г[1, Я =с*[Аз] =г[л — 1+1, и — 14.!] г ом, каир ер, 16') е. 1Яз.— пгжл ргд. а умножение этой матрицы сарана иа иатргщу 3. приводит к обращению порядка следоаання столбцов (отражение относитель. ао центральной пертнкальной асн); та[1, л] .. а[1, 2] а[1, Ц а[2, п) ...
а[2, 2] а[2, Ц (з.зо> =г'[л — 14-, и — )-1-Ц Нетрудно показать, что В=уй), если Ц- -аешеспенная матрица, и В=уй*1, если й — комплексная матрица. Кггда размер центроснммстрнчнай матрицы является аеличинай сгной (л=2г), ее можно прелстааить а форме А В Гту В*З ЗА'З,1' где А и В- (гхг)-матрицы общего аида неспеанальной структуры. Аналгичным образом, когда размер цеитросимметричнай матрицы аляется аеличиной нечетной (п=2гц-Ц, ее можно представит н форче (3.33) ггАхВ В„„„=') хн а хиу ЗВ'3 Зх ЗА'3 (3.34) где А и  — (гХг)-матрицы общего вива, 3 — (гХг)-матрица отражения,х — вектор. столбец размерности г, а а — вещественный скалят Приментельна к спектральному оиенипанню очень важной является тллицааа матрица Т (назнанная п честь немецкого математик: О. Теплица) Эта матрица обладает тем саайстаом, чта асе ее лемснты, рашютгожеяные на любой дгпгонали, идентичны, т.
е Цг,г] =г[г — )]. теплицепа матрица не обязательна кнадратнаг матрица. Примерам теплииепой (БХ4)-матрицы может слуткть следующая матрица: (З.зб) Заметим, чо каадратнаи теплицеаэ матрица является час~ими случаем пасиммегричной матрицы, Т=ЗТР. (3.36) Если кэад1ати*я теплицеаа матрица является также и эрмито. яай матриай, т. е если 1*[6] =1[ — й], то т-зт"3. следовательно, эрмитоа теплицеаа матрица является центросиыметричной матрицей. С тенлщеаой чатркцеи близко связана гапкелааа матрица Н, «отоая обладзет тем свойством, что псе элементы, расголаженные на любая ее кроссдиагоналн, идентичны, т.
е. й[г,)] =й[й-) — л -Ц, Ганкелеэа матраца — необязательна каад- г([О) 1[ — Ц г[ц «[о] Т= 1[2] г[ц ~1[3) г[2] т г [4] г [з] 1[ — 2] 1[ — 3)) г( — Ц 1[ — 2] ! [0] 1[ — Ц [ц [о], 1[2] 1[ц с« [3] ос[2] с« [Ц с, [0] с,[2] с, [Ц с, [0] с,[3] с« [Ц с,[0] с« [3] с«[2] с [0] с, [3] с [2] с«[Ц (3.41) Заметим, что каждая строка этой левонкркулянтной матрвщя ратная матрвиа Прныером ганкелевой (4хб).матрицы может служить следующая матрица: В И[ — 4] И[ — 3] И[ — 2] И[..-!] И[0] И[ — 3] И[ — 2] И[ — ] И[0] И[Ц И[ — 2] й[ — Ц ] И[Ц И[2] И[ — Ц И[0] И!Ц И[2] И[З] Заметны, что квадратная ганкелева (пХп)-матрица является частным случаем зрмнтовой матрицы, т.
е, Н"=Я. Ганкелевы матрицы могут быть связаны с теплнцевымн матрицами (см. раздел «Задаче»). ((иркуллптяой (иля циклпчгскои) матрицей С называется комплексная (лХл).матрица, элементы которов могут принимать только п различных значеннй. Если элементы этой матрпи ы удовлетворяют условя|о сп[г,.(]=] Я[1 .]' ! . ' (338) "' =]с,[л,фЦ,; 1<0, гле 1<г, !<л, то такая матрица называет«я лрлвоциркуляптпой митрицеп Ср; примером такой матрицы может служить правоцяркулянтная (4Х4)-матрица ся[0] с„[Ц си[2] са[З] ср [3] гр [О] ср[Ц ся [2] Ся = ср [2] с [3] ся [О] сл [ц ' (3.39) ел [Ц са [2] ся[3] ся [О] Заметны, что каждая строка этой матрицы образована нз соседней верхней строли посредством сдвига вправо на одни элемент и перенесения крайнего правого элемента па место левого крайнего злемегпа йналагнчвыи образом можно определить леаоциркулактяую матрицу С«, элементы которой удовлетворяют условию ! сс[пт ! — 1' — Л, (.1- г<п-1-1; с«[1, 1]=] ] с, [2п-~-1 — г' — 1], 1-~-1> и 1.
Првмером левогщркулянтнай (4Х4)-матрицы может служить матрица влево на один элемент н перенесения крайнего левого элемента на место крайнего правого элемента этой строка. Правоцяркулянтная п левоцнркулянтная ьгатряцы являются частными случеямя соответственно теплииевой матряиы н ганкелевой матрвпы. Еще один интересный способ опрелеленяя циркулянтвой матрацы основан на испальзованпл лвалратной (пХл)-лгатрицы сдвига (О 1 О ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
