Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 15
Текст из файла (страница 15)
ОО О 0 ! ... О (3 42) 0 О 0 ... ! (!Оо...оо элементы которой уловлетворяют условны р[цг-1-1]=1 при 1<г<л — 1, р[п, Ц =1 н равны нулю в остальных случаях. Тогда правопнркулянтная матрица будет определяться следующвм пыражепнем: (3.43) Ср= 2' с„[т] Р, =э где Р— означает возведение матрицы в степень т, т.
е. умножение матрицы Р саму на себя т раз. Заметим, что Р' 1. Для левонярлулянтной матрицы будем нметь следующее представление. С,=<~ с,[ ]Р ]1. (3 44) Еще одной мачрнчнай формой, применяемой пря спектральном оценнванвя, является (тХп)-матрица Вандермонда Ч, эле. менты которой опрелеляются выражением о[1, !]= ' ', !<с <т, ! <1 и. (3.48) т. е.
являются степенями израметров кь, км Следовательно, (гиХл).матрица Вапдермонда будет иметь следующий внд: г 1 1 " ! х, к, ... к„ (Здб) ! в! получается нз соседней верхней строка посредством ее сдвига 92 Обзор а Я баь Верхней треугольной (нлн аер кегреугольиой) матрнцей О называется квадратная (лХл)-матрица, элементы которой, рас. положенные под главной лиагонзлью, равны нулю, т. е. и[г'.1]-0 прн /(Д Примером (ЗХЗ)-матрним этога тяпа является магрнца. Го[1, 1] и[1, 2] и[1, 3]' О=~ 0 и[2, 2] и[2, 3] 0 О и[3 3] (Зшу) 1[1, 1] 0 0 1. = 1 [2, 1] 1[2, 2] 0 1[3, !] /[3, 2] 1[3, З]уг (3.43) З.б. Обращение матриц Квадратная (лХл)-матрица А-', такая что А-'А=АА-' 1, есл» ока сущегтаует, называется матрнией, обратной квадратной матрнце Л,--абраглаи латричей.
Квадратная матрица, обладающая обоатной мзтрпцей, нз. ываетс» лезырожделлой (илн несш гуллриаи). Если же она не облалает обратной матрицей, то называется вырожденной (нлн силгуляриоЦ. Если А, В н пронзвеленне А — невмрожденные матрицы, то справедливо тож- дества (АВ) '=В 'А ', (ЗДО) которое часта будет использоваться в дальнейшем.
Набор (лХ 1)-векторов чг,..., ч, называют пикейна зависимыми, еслн существуют числа аь, а., не все равные нулю, такие что (3.50) а чг Ра,ч,;., ф „т„=-0; в противном случае этк векторы называются линейка независимыми. Если столбиы прямоугольной (шхл)-матрицы А рассматриваются как отдельные (шХ().векторы, та ранг ло столбцам матрнцы А равен числу линейно незавнснмых вектор-столбцов.
Аналогично еслн стРоки матРицы рассматривать как отдельные (1 Хл)-векторы, то Ранг ло строкам матрицы будет равен чнслу ее линейно независимых вектор-строк. Можно по. каза|ь (см. Ноубл н Даньел [19]), чта лля любой матрицы ранг Бьгкией треугольной (влн чижиегреугольлой) матряпей С называется квадратная (пхл)-матрнца, элементы которой, рас. положенные над главной диагональю, равны нулю, т. е. 1[1,/] =0 прн /)1. Примером (ЗХЗ).матрицы этога типа может служить матрниа по строкам равен ее рангу по столбцам, поэтому для мглой матрицы вполне достаточна указать адно вз этих рангоы чисел.
Квадратная (шхт)-матрнцз А будет невыражденнгтогда н только тогда, когдэ ее ранг равен т (т. е. котла эта гтркца обратима). Матрицу единичного ранга можно запнзь в форме ннешнего пронзвелекня векторов тжК поскольяу нтдый столбец умножается на вектор ч, а каждая строка умногется на вектор ч". Еще однвм прнзнаком аырож,гегностк квадратной гхл)- матрицы А может служить скалярное число, нззываемо лре- делителем [детерминантам) матрены н обозначаемое е! А.
Он определяется выраженнем де!А=- Е ( — 1)"го[1, /]до, 3 51) где л[1,/] — элемент нз верхней строки матрнцы А, а)о— определитель [л — 1) Х [л †!)-матрацы, образованной з вультате отбрасывания первой строки я /-го столбца (лхл)мтрк. цы А. Определение (351) «вляешя рекурснвным определяем, прн записи которого был учтен тот факт, что ((Х1)-монца, т. е. одкночный элемент, вмеет определитель, равный этап зле.
мен~у Более полрабные сведения а вычислении определелей праволатся в стандартных учебниках по линейной влгеб! нацример в равд. 5.5 книги Ноубла к Даньела [19]. Квадратная (лХл).матрица А будет вырожденной эда к талька тогда, когда де1 Л вЂ -О. Таким образом, если де! А О, та мзтрнца Л обратима. Можно также показать, что опредитель пронзведевня двух квадратных (лхл).матриц А и В раз!про. изведению определителей этвх матрнц, т. е. де( АВ =- де1 А де! В.
3 52) Кроме тогш еслн А — зрмктоаа матрица (Аз=А), та оаиелнтель де! А является действительнмм числом В ясследовгннях по спектрал наму анализу часто яспьзуются две леммы об обращении матриц. Если А — невыртденная (лХл).матрица, С вЂ” ненырожленная (шХш)-матриц В— (лХш)-матрица н О(шХл)-магрпца, то расширенная (ш пополненная) чатркца А, ВСО будет иметь обратную жрицу вада (А-,'-ВСО)-'=А-т —.А"'В(ОА-гВ, С-г)-'ОЛ-з 3 53) если существует матрица, обратная матрице ОА-'В+СА Эта соотношение известно поз названнем леммы об обраи/елг расгииреилой магрииы.
Представляет интерес одна частнаяфрма этой леммы. Если С вЂ” единичный скаляр, т. е, ([Х()-мпнца, >баев И иол г ба т а. нз Злштргкгурэ брз.и * трнн (3.54) Ээиитоаа ( гр н ! Персии тр иаз С инз рич Эрни оза (сии три щ! Персе рзээ Центра и ри за таилннсэа Гэнкючзэ (АО) (3.55) (3.53) (3.57) (3.69) (3.61У В вЂ” (лх1)-вектор-столбец ч, а Π— сопряженная ((Хл).вектор- строка м", то (л, ° )-*=А- "А *")(""л " представляет собой матрицу, обратную матрице, образованной за счет расширения матрицм А матрицей единнчиога ранга ютц Пусть (лхл)-матрица У разбита на подиатрнцы А, В, С, О следующим образом: тле А — зто (тХгл)-матРица,  — (л — гл) Х (п — т).матрица С вЂ” зто (л — гп) Хт.матрица в Π— гпХ (л — т)-матрица. Тогда матрина, обратная матрице У, будет апрелеляться выражением — А 'СА ' Ь = — в- сл- в- -, в- сл- ов- )' в котором но выбору полагается, что либо существуют матрицы, обратные матрицам А и А= — СА-'О, либо существуют матрицы, обратные матрипам В и А=А — ОВ-'С.
Матрицы Л и Л называются дополнениями Шура натрием А Сашношение (356) известил пол названием лелгмы об обращении блочной лагрнцьг. В частном случае, когда У вЂ” (лХл)-матрица, А — (и — 1)Х Х (л — 1)-мщрица, О=ч — (и — 1)-вектор-столбец, С=и"— (л — !)-вектор-строка, а В=а — (1Х))-магрица, т. е скаляр, та „- = л г рбл * "л ' — Зл ' ) -=(' — бмнл ' гве скаляр з= (и — ллА-'ч)-Ц Таким образом, несложна зычно.
лить обращение матрицы, формируемой дабавленнем к нсхолнай матрице дополнительных краевых строки и столбца (нлн вычср. кнванием строка и столбца). Матрицы, полученные таким обра. зом, вззываготся окайллелныни лагрицплн. В табл. 3.! перечислены формы обратных матриц для ряда матриц специального вида, описаннмх в равд. З.З. Доказательство многих нз ннх ве вызывает затруднений. Тан, например, длн доказательства тога, что обращение персимметричной матрацы Р также является перспммегрнчной матрипей, сначала для записи соотношения РР-' = РЗУР-' = ! используем тот факт, что П=(, а зтем с пщоптью операции умножния слева н справа на матрнп ! получм 3РЗ)Р- )! РгПР- !),! что дает ЗР '! =(Р ')г.
Была исаоьзовзно вояство (Рг)-'= (Р-'). 3.3. Нормпьиые урвненив метода наимемщин ивадратов Матрична алгебраобеспечнвает ватможнсти представления в сжатой фоме систмы линейных уравнемй, получаемых при анализе и методу ~аниекьших квадратов.Рассчотрвм аппроксичацню [л) комплксной последовательвсти у[л) с помощью щшсйной уммы изт коиплексных цослцовагельностей х,[л), к,[л], ... х [л]: у [и] =- ,х, [л] -1 аль [л] -р ... -' о„х [л], (3 59) гхе 1лгг Л', Преполагается, что М)т нозтоиу урзииение (3 59) сааветствуе переопределенной окоеме ураввений Одни нз вазможых метоав однозначного нахогмения значений неиззсстнык п риметрогпп ..., л основан на гинимизапни действительной сымы квауатичиых ошибок Е =- д, [с [л] [', тле е[л] й[л] — у[г] есть комплексная ош~бка между истинным значениеэ отсчета у[л] н его линейной ппроксимацией у[л].
Уравниия для (ошибок можно запискь в виде у — Ха=в, г э (3 67) Е .— — г — г "а — а" г -з- ал Е а, (3.68) (у Х)( ')=2( ) —.. (3.62) (3.70) (3.63) х=А 'Ь. (3.71) гатрнца данных Х, (шх1)-нектар-столбец а н столбцы у н е определяются слелующим образом: Вводя Агэо (та-1).матрицу 2 (УХ), вектор ошибка е можно запшагь в следующем виде: 1(вадратвчную сшибку Е можно далее записать как Е = е"в = у"у — у" Ха — а"Х"у-1- а" ХлХа, (3,63) где внутреннее пранзаеденне векторов уну дает скаляр, проказе. девке матрицы н вектора х"у дает (тм 1).вектор-столбец, а пронзведенне матриц Х"Х дает квадратную (тмш)-матриц)с Прежле чеы прнступать к ыинимнззцвя ошибки Е, заметам сначала, что уравнение (3 63) можно перепнсать в виде .
Е улу унХ(ХнХ)- Хну ! -1-(Хлу — ХнХа)э(ХиХ)-т(Хну ХэХа), т. е, пополняв его до «полного квадрата . В уравненнв (3,64! только последний член в правой части завысит от вектора неизвестных параметров ц Вслсдстане эрмнтовой симметрии этого члена он всегда будет действнтельным к положительным. Для минимизации квадратнчвой ошнбкк Е этот член должен быть обращен в нуль. Для этого вектор а необхолнмо выбрать так, чтобы выполнялась равенство Хлу — ХвХа = О,„, где 0 — вектор яз ш нулевых элементов. Следовательно, вектор а, мнннмнзнруюший нвадратичную ошибку, ищется посред"твом решения следующей системы ш уравнений: Х Ха=2"у.
Подставляя (3.65) а (3.63), получаем выражение ля минимальной квадратичной ошибки Е уэу унда (3 66) Уравнения (366) к (3.66) можно объекнннть в о,ну общую систем! т-1-1 ураэненно, кощраа ныеег следующнйвид. (Хэ !(эХ)( )=(У Х) О' Х)( )= =' ( .')=(~") Уравнение (3.67) имеет форму нормаэээык ураыеэид метода нанменьшнх квадратов Заметим, кстатн, что празведенве 2э2 образует эрмвтову матрицу. Выраженне (3.63) для квадратичной ошибки нредставлнет собой частный случай матричного «вадратного урввнсння в общей форме где г — известный положительный скаляр, — известный (тХ1).вектор-столбец, а Š— нзвестная эрматов (тмш)-матраца. Нормалы!ые уравнения, решением котоык является (шХ!).вектор а, мнннмизнрующий положнтельну! действительную скалярную величину Е, имеют внд )( )=-( '"'") (3.69) и непосредстзеьна следуют нз (3.67) восле нодсяновка г вместо у"у; г вместо Хэу н Х вместо Х"Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
