Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Шустер выполнил предварительную обработку средасмесячаых значений чнсна солке шых пятен за период с 1749 по 1894 г. Периадограммный анализ г,оззолнл дать оценку цикла солнечных пятен, равную П,(25 года. Это число легло а основу того П-летиего никла солнечных пяген, которое упоминается э литературе по аст. рономическим вопросаи. Вообще говоря, перполограммз временнбго ряпа, состояще. го из синусоиды с часто~ой )» герц и «изложенных иа аее нарегулярнык флюктуаций» (аддитивного шума), доли«на иметь пик в точке, соответсззу ошей периоду Т« = 1!1. Однако многие исследователи нзь л ~ шаго столетг(я считали, что периолограммы, вычисленные по зашумленным данным, будут иметь значительные погрешности и вообще не будут содержать канах-либо доминирующих ликов, которые могли бы свидетельсг.
Я ч цв [эзг л» Р | 3. Перзоаогр а таус аа мун арн р л чноа клане ящол» зуноаз пнснл | ) и-в, |ад=За; т) л-|Зз; () К=а|Э Нтэуано нд т . ч с З длннм »анне лщз з Э л Ззнм м т нож тея, ж воать а валичии пернодичнотей ванализируемых данных. Пущем это считалось справцливымлаже тогда, когда длина таиса данных существенна еочрасвла. ||римеры таких пе. рмдограмм по~ азаны па рнс.1.3, аз которого видно, что с нспыщоваинем все большего иболыпео числа отсчетов данных пеиолограмма наяянает все сильнее и сяльнее флюктуироваь Все это привело к тону,что на есколько дегятилетий ин~есс к пернолограммам значтельно ослабел, и эта, к сожа- леню, в основном можно об исвитьлишь тем, что большинсто исследователей пренебргало уреднением, использовать коорое предлагал Шустер Суцкий [37] и несколько позднее Диьелл [9] независимо устновили, гто флюктуации перно.
дграммы белого шума имею ту жевеличину, что н греднсс знщенис самой чтой псрвадооамчы йоз флуктуации оказывалег, в основво ~ яекоррелнр взнныж для соселних час ог (сг приложение 4.Л, гзе дананатазэтого незавнснно от длинь отрезна временного ряда,доступого для аналвза). Слуцкы н Даньелл высказали прдполошние, что флюктеацни первдограммы можно уменьшзгь посрдством ее усреднения по соседним частотам. Эта идея лежит в основе одного и методов с~лажаваняя первадограммы, который описан в гл ! Спал интереса к пернодограмман привел к паявлеию существенно отличного метода анализа, который в 1927г. был предложен английским статистиком Дж Ютюм Для отюкаиия одной-двух периодичностей в исследуеьгых данных Юлприбег к моделированию временного ряда, основанному на лмсйноч регрессионном анализе [48[.
Юла и~гтересовала главны~ обро зам более высокая точность опреаеления основной лерман«но. сти в ряде чвсел солнечных пятен и отыскание в нем нполнн. тельных периодичностей. Инзуитнвно Юл попинал, чя ~плоте»а о «суперпозиции нерегулярных флюктуаций» (алдкнвноч пуме) лля периодограммы Шустера в случае солнечны пятен могла оказаться неверной Юл считал, что описывать шола солнечных пятен эффеитивнее другой моделью времсибго ряла для этого физнческо~о явления, а именно ракурсная~и гармоническим працессон, порозкдаемым некаторыч пгмовым процессом, или «возмущениями», как Юч называл отельные отсчеты шума. Исппльзуя простое триганочетркчесьо гон .
дестио щи (йх) — 2 сов (х) щ п ([Д вЂ” 1] х) — ми ([Д вЂ” 2] х) с подстановкой х=2п[Т, можно записать следующее олнролиое урзвпеине в конечных ралгостях, опредсляюогее нзненнне от- дельной гармонщгп н дискретном времени и (Д) — ан (Д вЂ” 1) .1. и (й — 2) = О. Здесь н(Ц-з|п(2п[ДТ) — гармоническая составляющы, Т— интервал отсчетов, [-. частота гармониям, а а=2«оз(л[Т)— коэффициент, х*раитеризуюший гармонику 1Ол предоложнл, ч~о если числа солнечных пятен содержат тольно олн|перио- лнчсс )ю состааляюгпую, то паслелавагельаость чнгсл солнеч- нык пятен могла бы нарождаться пронессоч вида и(й)=ан(Д вЂ” 1) —.и(й — 2) ' е(й), гле е(й) — некоторое малое лучайное импульсное «в«»гуще. нис», соогвстствующее наждаму аначенню временногг индекса Д Уравнение (15) Юл назвал «уравнением гармаычесной кривой» Таким образом, Юл заложил основу вменив эго, что впоследствии стало называться параметрическим пододом к спектральному анализу.
иными словэчн, водхадом, щи котором данные измерений рассматривзкжся как выход нцоторай модели вреченнбго ряла. С почошью метода нзпюньшах квадратов Юл определил значение параметра а, ороанлизира ваз для этой цели среднеголовые значения шссл солнечык пятен при улзленном выборочном среднем значении за приод с в. л 25 1749 по 1324 г. По ого оценке, зтатпараметр имел значение а= 1,623«4, откуда для 'Т= ! гоз ои юлучил оценку периода цикличности соянечиых вятен, равнго 1(! = 10,06 лет. Тем ие менее, не удовлетворившись зцзм ре!льтатои, Юл далее по.гверг числа солне шых пятен фильтрыии, используя для этой пели скользящее среднее на интервал 3 гола; повторная оценка ца методу иацменыцих ивалратавна основе этой фвльтрованной послеловательности лала перед, равный !Д П,43 ~ода.
Затем Юл попытался обнаружиь в последовательности пгсел солнечных па~си натичне двух ериоднчностей, аппроксимируя па методу наименьших кеапраов исходные данные с помощью спмметричного разностногпуравнеиня пятого поряд. ка. Он получил периоды 11,96 н 1,42года на цикл, однахо ат. казался ат двухпериодной модели, та как ивадратйчиая ошибка для этой модели не уменьшилась.
»вазрослз. Не удовлетворенный палученнымирезультэтами, Юл внимательно проанализировал структуру снего «уравнения гармонической кривой» н решил обобщить вокал на основе разностиого уравнения н'применить регрессиомый анализ по методу наименьших квадратов к модели вила и(й) б(1)и(А — 1)+б(2)г(й — 2)+г(й), (1.6) гле Ь (1) и й (2) принимают произвоьные значения. Строго говоря, уравнение (1.6) представляк собой уравненве авторегрессин (т. е. регрессии самого насебя), и зто был первый случай, когда авгорегрессия во метоу наименьших квадратов применялась для целей спектральногоанализа.
Регнением уравнения регрессии (1 6) по методу наженьших квадратов наля. ется затухающая синусоида. Испольук уравнение (1.6), Юл нашел, что период затухающей синусмды, составляет 10,60лет лля нефилырованной последавзтельнсти чисел солнечных пятен н П,164 лет для фнльтроааянай.И хата К)л не смог придать затуханию какого-либо фимшескго смысла (если таковой н был), он чувгтвовал, что этн оцени периода были все же вполне приемлемыми. Уолкер [43] вкже использовал метод Юла для исследования затухающих снусоидальиых временных рядов. Нормальное уравнение, возннкиицес при анализе па методу паямсньших квадратое, в честь ынх пионеров регрессионного моделирования было названа равнением Юла — Уолке. ра.Интересно заметить, что Уодкер, атакже Олтер [1) препви. дели возможность эмпнрнческик меппов спектрального оце.
иивания, позднее предложенного 'ьюки. В своей статье, опубликованной в 1931 г., Уолкер гвсл ([43), с. 624): «Некоторый свет проливается эти» (регрессионным) анализом на испольаонание некоторого яда сернальных коэффн- циеитов корреляции'>, т. е «нерио.тограммы корреляции», в качестве замены обычной нериолограммы Фурье — Шустера в тех случаях, когда не возникает вопроса о затухающях колебаниях>. Методы, использованные Юлом, напоминают еще одну горззло более старую процедуру подговкв данных, применявшуюся в конце ХУП1 века бароном де Прони [24).
Прони исследовал метод зппроисимацип с помощью зкспаненциальной модели ие. которой совокупности данных, харз~терпзующих соотношение между давлением и объенои газов, причем в его процедуре использовалась точная регрессионная подгонка дэниыц лучшан чем в методе нанменьшах квадратов Коэффициенты регрессии аспользовзлнсь в качестве коэффициентов некоторого полинома, корин которого являлись модельными чкспойентаын.
Амплитуда каждой зьспопсяцпальной компонентм отыскивалзсь в результате говтарого прохода за данным. 1930 год ивился поворотным для спектрального анализа: в этом голу Н. Винер опубликовал свою классическую статью «Обобщенный "зрмон«ческнй анализ» [44), в которой спектральный анапа тра.товался на основе ~еорйи случ.йимх процессов и быз зсаожен теерлый статистический фундзиеит В этой статье изложен ряд важных результатов, к которым относятся точные статистические определения аагокорреэяции и спектральная ««отнести мощности (спм) яли стационарныч случайных процессов.
Наказано, что этгг две фуинции, хзра«- тсрнзующке случайный процесс, связаны непрерывным преобра. юванием Фурье; это соотнашевие базируется на широко язвестной сейчас теореме Винера — Хинчииа, иазванвой так э честь Н. Винера и А. Я. Хинчина, советского математи. ка, иезавнсяыо палучивпюга этот результат [17). Испаль. зование преобразования Фурье, а не ряла Фурье, применяемого в традицноином гармоническом анализе, позволило Винеру определить спектры в виде некоторого континуума частот, а не в виде набора частот дпскрзгльгх гармонвк. Белый шум, как была показано Внаером, имеет равномерную спектральную нлот. ность, г. е содержит равновеликие компоненты на всех часто. тзк. К этому резуаыату ан пришел пэ основе нсслелования броуновсгюго двнжения и шустеровскнх оптических аналогов.
К другим ранним статкстическнм подходам к спектральному анализу относятся работы Бартлетта [2 — 4) н Кендалла [16). Уравнение регрессни Юла можно рассматривать как уравнение препсиаэания сигнала по некоторой линейной комбннацин предшествуюптих отсчетов снеси этого сигнала с аддитив- 'гд т. »З ш а .
р " рр. цюй, (еч, например, 029 — пр, э«з. 27 ным шумотг, тем самым перекодя н так называемой задаче лннейного предсказання. В рамках вероятностного подхода, разработанного Хннчнным и Слуцкпм, шведский математик Х Вольд [45] предложил унифицированную молель на основе сгохастического лггнейно~о разно«снего уравнения лла дискретно-временных рядов. Вольд ввел в употребление термины «скользящее среднее» для моделей вреченнбго ряда, перва- начально опасанных Слупкнм (который неволь»овал герынн скользящее суммврованне»), н линейная авторегрессия» для моделей временного ряда, первоначелыю опнсанных Юлом. Он такзке первым назвал соотношеаке между авторегрессноннммн параметрами н автокорреля~гнонгзой последовательностью уравнением Юла — Уолкера».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
