Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 33
Текст из файла (страница 33)
с[ш], что н даю искомую менку СПМ. Таким Зс 1- 1 1* 1 "1 ~[1~в а о ([[][[]][5 л,;[[[[[[([[! э— -а а Рис. б.9. Из ф р враз.япианнога о а — эс охн д Эетнозрэ.»еннш ак с а н д. кй О (аг О до Π— О, б — зэ окарр. н чю т . дсвюе шш э о э а наай 294.5 э — гРебг иэа фэР фф юю «оареляя а нз л н й 2ь-(-1, ь<О, з — фзл вшск у р оэ. нон И(м! образом, окончательная оценка СПМ, получаемая камбианрованным методоч, опвсывется вырвткеннем Р~ (! = Р ~ ()) * с! (!). (5 54) где П([) — преобразовзнсе Фурье «орреляцаонного олна ы(ш]. Комбинированное врыеннбе в корреляционное взвсшяванне по валяют уцравлгпь урвнем боковых лепестков (т. е, подав.
тять просачивание). Упзйчнвость оценки обеспечивается за счсг прамененнн усредвннв по сегментам и частотного сглажпвання (лорреляционнго вавешивання). Ограничивая либо выбор окан, либо степеь перелрытия сегментов данных, соответственно получаем в нчестве частник случаев пернодограчмнлю оценку. СПМ Уэлч н оценку СПМ Влзкмзнз — Тьюкя. Нетрудна показать, чо средние значения оценок СПМ н автолорреляцни, получаемгх с помощью комбннврованного метала, ьвовлетворяют саатмшенням б'(Ра!)) =!'..
(П * П,([), (5.55) о(г'[ ][= *.[н],[ ], (5,5б) тле эффеягзэное коррглааонног окко ы,[т] н его преобразовэнае Фур~е П,.(!) опрелляются выраженнямн ".(1)=ПО) (В'(Д[', (5.57) м, [ш]:= [шф [ш]((у=.м [ ] ф [гн](4 [9]. (5 53) гю в з Единственное допущение, которое неабхолпио принять нри выводе этих соотношений. — эта допущаю е о стапиаиарностп х[л] Для того чтобм оценка г,.с[0] была несмещенной оценкой полной моцгности, необходимо, чтобы м.[0] - 1.
Выбор корреляционного окна гз[щ), такого чта о [О] =- 1, )доалетворя. ет этому требованию. Здесь интересна отметать следующее. Пусть требуемое эффективное карреппцаавное окно выбрано заранее н имеет вил, показанный на рнс. 5.9, а. Если Л>Е, то выбор анна ланных ю[п) носит произвольный характер, па. скольку ега вльянне маме~ быть скомаеа нрав но выбором корреляционного окна [лг] следующего вила; *! 1 ["] = .!'-Уи где ]т]тб. Эффект такого изменения фарты корреллциаккозо окна проиллюстрировав на рнс. 59,г лля случая прнмотготьиого окна ленных. Можно, разумеется, использовать и другие окна данных.
Показано (см Наттолл [11, 13]), что дисперсия аленки СПМ, получаемой с помощью комбинированного метода, апре. делается следующим приближенным выражением; ! час (Рс(()) РкП) — д (1 — + Т~и [ш] 9[т, Рут, (5 60) щ- и тле «орреляцнониаз последовательность третьего порялка 9[ш,п] окна данных определяется выражением ф [ п,л] = [ 1 , з — ~ ~ — — т ~ ~ 1 ю ам (5.61) Заметим, что эта коррЕляционная последовательность симметрична, т.
е. 9[ш,п]=9[ — ш,— и]. При выводе этих соотношений был» использованы допущения о там, чта х[п] является котзплексным гауссовским процессом, а истинная СПМ Р *(Л относительно постоянна в пределах полосы частот (" ВУ2, характеризующей ширину полосы эффективного корреляционного окна Это паслелнее попущение позволяет также использовать для среднего значения оценки следующее приближенное выражены: а' (Рс (()) — Р„(Л) „,г О (!) Д(=Р„„(() м,[0] = Р„,(Л. (5 62) 91внвалентиую статистическую ширину полосы частот В, мож- К з но записать в виде явной функции окна данных и корреляж онного окна 1 р,(94(Р „,(о) т У )1) г 9' а()щ(т! Г О[(Л Щ Используя лгюперсню (5.60), квадрат срелнега значени оценки (5.62) и статистическую ширину полосы (563), получсм слелующее выражение для произведения «устайчввось о~генкпХдлнтельнастьХширина полосы» ! ! — — '.
з! т ~ '(т)9(з.гэ! (5 ь тз( )э'(т! ,=-г Это тройное произведение является фунышей ллины нмсюще- ся записи данных )т числа сегментов Р, степени их перекрыты 5, окна данных ю[п] и корреляционного окна ы[ш]. Для голучення оценки СПМ Блэкмана — Тыакн использую одни сегмент (Р= 1), карреляцпаннае окно, ширина котороо много меньше числа отсчетоп ланных (Е КЛ =У), и прям- угольное окна данных (ю[л] = 1, п=О,..., У вЂ” 1). Наттолл пок зал [13], что в этом случае ОТ,В.ю 1 Для получения период- граммм Уэлча асподьз)ем Р.—.2У!Р— ! сегментов, 625ынае и рекрытне (5=0.3ВЛ), окно Ханна лля взвешивания данных не пр~ меняем корреляцианвого взвешивания (м[гп]=1, ~л ! п)жЕ=Л), В этом случае можно аналогичяым обрааом гт каза~ь, чта ОТ„В,т!.
Если используется 509а-ггое перекрытп, то ОТ,В т),06. Одни пз интересных комбинированных подх. дав основан на использовзнии прямоугольнога окна даниьс (ю[п] = !! без перекрытия (5= Р), числа сегьгентов, вдве меньшего, чеи для периодаграмиы Узлча, и корреляцпанноп окка, форма которого изменяется для получения зффективноо корреляционного окна м,[щ], которое япляется окяом Ханы (см. рис. 5.9). Краткая запись четмрех этапов комбнаироваь ного метода Наттолла — Картера для оцениванип СПМ приве дена на рис.
5.10. Наттолл и Картер, исдальзуя соотноше (5.64), и нв (, ), показздтгг [14], что для указанных на агом рисунке у повий ОТ.В;-1. Этот частный случай комбинированного по! данном 3 л будет иметь те же статистические характернсюгкв пр и з' ном значении пранзведения длительноств на пырни у палс. ., что и пппулярный периодограммаый метод уэлча.
Оа ° ака вмчи метода Узлча, слительные затраты для него вдвое ниже, чем ча, так как БНФ в вем вычисляется для вдвое мент 2ОЗ 'Б о О.О 2.0 20 З.О 4.0 $ — 20 Н -О -ю ю -ЭО Рк б.!О. О а б р д Н вЂ” Кы сра щего ~иола сегментов, чем в методе Узлча, к таму же н нем отсутствуют операции умножения, связанные с обработкои сегментов с помощью окна данных. 5.9. Приложение и нцениэвимю чнспв Оопиечньм пятен Одно из иитереснык применений классических ьютодов спект. рального оценивания, пме2ощее длннную историю, связано с поиском периодичностей вс.ча солнечных пятен.
Краткая впол«зя информация по данному вопросу была изложена нами в разд. 1.2, а результаты предварителыюго пернодограмчного анализа приведены иа рнс. 5.П Для этой цели 1728 среднеме. сячных значении числа солнечных пятен с 1841 по 1984 г, (см. прилоксение 1, помещенное п конце кнагн) были разбиты на 24-летние сегменты (288 щсчетов на ссгмегю) с 12-летним перекрытием (144 отсчета), которые затем были обработанм с помощью ою20 лаиных Хат!цинга Из рнс 511 вид!о, что периодограчмг е солержнт каких-либо значимых особенностей на частотак выше 1 цикла солнечных пятен на год Этот факт подтверяглащсп также спектральной оценкой Влэ«мана— Тьюкн и анторсгрессионной спектральной оценкой (см, ниже гл.
7 и 8), которые здесь не покззаиы Периолограмма на рис 511 имеет значительную постоянную составляющую (час. тота О Гц), что обусловлено положительностью чисел солнеч. аых питон, ясна виден также классический 11-летний период акт24вностн солнечных пятен (частота, которой соответствует примерна 0,09 цикла на год). . 20 о -50 Б,О 0,0 0 0 О 2 О 4 О э О,а 2,0 б б.!!. а в я р д р а аелнэи тна2 н й чч ла соа е » пеа даа нтерза. а р !Б4! !9з4 , б — тч с 0« э ой перюа р на зн.
ырэале ч стэ 0( 0 д ! пикав »а оа. Для более подробного исследования спектра в интервале частот от 0 до 1 шшла нз год среднемесячные значения смола солкечных пятен абрзбатывалнсь фнльтро» нижних частот (ФНЧ), за~ем прореживались с коэффициентом 6 для снижения частотм отсчетов до двух отсчетов а год, после чего обра. батывались фильтром верхннк частот (ФВЧ). В качестве ФНЧ п ФВЧ применялись линейно-фззовые фильтры, реализованные с помощью программы Паркса — й(аклеллана (программа 5.1 а сборнике «Программы лля цифровой абрабптки сигналоаь (4)).
ФНЧ имел 49 коэффициентов н переходную зону ширикой от 05 до 1,0 цикла на гол (см. рис. 5Л2,а), Этот фильтр устранял высокочастотный шум в среднемесячньи числах солнечных пятен. Выход ФНЧ прореживался с коэффициентом 6, ОО 20 20 20 40 Бл 00 ол 02 04 00 оз 20 к «-" - ° Р Б.22. Л фйЧ 40 « . Лаюэ ф одты в ш аа х ракт рзстнка. Π—. мню.фаз й «Оэффчн щ; б — ланей .ф эо иа ФВЧ с б! О ффнцнм о . !о! г 5 зпз эг -2 -а а,з о. ю О.э аа л оо оз аз оэ з.з ьч ц рис 5.13, Спектра к Ф перазхира; б — «оррюо р «оце ю, р аа л нме эн ен я СПЭ1 что снпткало частоту отсчетов до двух атсччов в год. Затем оставшиеся отсчеты обрабатывалксь с помщью ФВЧ, с тем чтобы устранить эффект смещения, обуслоленный наличием большой постоянной составляющей. ФВЧ пмл 51 коэффициент н переходную зону шириной от 0,0 да 0,04551иклов на год (см рис.
5.12,б). Такая ширина переходной зоныФВЧ была выбрана с целью обнаружить возможный 22-летаю период изменения активности солнечных пятен нз.за перемень их магнитной полярнаста, которая, как известно, происходитс интервалом примерно 22 гола. Резулынруюшая фильтрованая запись солержала около 230 ото ~стон (по 2 отсчета в гц), охватывающих период времени с июля !855 г.
по январь !70 г. (оставшиеся после прореживания отсчеты попадали наяиварь и июль в каждом году). Спектральные оцевки, полу ~енине по фльтронаииым данным с помощью классических методов, коказны на рис. 5.13. В периодограммном метопе использовались четыре 48-летннк сегмента (92 отсчета на сегыект) с 23.летним перекрытием (4б отсчетов) этих се~ментов. Кажлый такой сегмент обраба. тывался окном Хзммиига В коррслограммном метоле оценка СПЛ( определилась по носледовательнастн несмещенных авто- корреляционных оценок, соответствующих временным сдвигам от 0 да 45 лет, которые также обрабатывалвсь окном Хэммин.
га Периолограмма имеет два сильных пика на частотах 0,095 цакла аа год (10,5-летний цикл) и 0,194 цикла на год (5,1б-летний цикл). В коррелограммнай опенке этим инкам соответствуют частоты 0,095 цикла на год (пю же 1й,б-летний цвкл) и 0,188 цикла на год (5,32-.четней цикл) Таким образом, первый пнк, по всей видимОсти, соответствует гармонике с 10,5-летним основным периодом изменения активности солнеч. иых пятен. Сходные пнин у этих спектров наблюдаются также на частотах, равных примерно 0,25 и 0,45 цикла на год. Нестационарность характеристик чисел солнечных пятен по.
казана на рис. 5.13,а, на котором одна над лругой последовательно помещены периодограммы 23-летних сегментов, каждая из которых изображена з 50-дБ диапааоне. Слева окола каждой периодограммы уиазан начальный тот каждого сегмента. Отметим также, что использовалось !1,5.летнее перекрытие сегментов. Нетрудно видеть, что два выраженных пика на этих периадограммах нс остаются иеподевжными на некоторой фиксированной частоте, перемещают я о но ательно средних положений этих пиков, наказанных на рнс 5 13,а н 5.13,б. Таким образом, пркьгенительно к числам солнечных пятен следует очень осторожно применять методы спектрального аценнвания, основанные нг попущении о стациоиарнасти анализируемого процесса 8.19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
