Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Использовать максимальное значение ) ~ЛПО было предложено Блэкманам и Тычки [2], которые первымн интенсивно исследовали н популярнзнровалн днскретно-временнбй коррелограмлгный метод опевнванпа СПМ Причина выборатакого максимального значеняя — стремление устранить большие значення дкснерспя, связанные с оценками азтоьорреляцнн прн больших временных сдвнгах, пощольку зтн значения дисперсии давала менее устой"квую оценку СПМ.
Среднее значение оценки Р,([) определяется выражением г 6'()З,„())) =Т 2, 6'(г„„[т]) ехр( — 12н)тТ)= (5. 22) = Т л, г„„[гп] ехР ( — 12ч)тТ) = Р„„(1)ППг()), где (Г,()) — ядро Длрихле. И хотя зта оценка СПМ вычисля. ется с нспользаванпеы нссьгещенных оценок автоьорреляцин, она будет смещенной, нлп «смазанной», оценкой пстннной СПМ. Эффект окна прн конечной автокорреляцнонной поспело. вательностн приводит к оценке, которая, по сухи дела, является сверткой истинной СПМ с преобразавзнвем Фурье дискретновременнбго прямоугольного окна. С помощью смещенной оценки автокорреляцин г„,[ш] мож.
но сформировать еще одну оценку СПМ с..())=Т Х г„.[ш]ехр( — (2п)шТ), (526) которан определена прн — 1)2ум)м1)2Т. Матричная запись этой оценкн СПМ нмеет следующий внд: )У„„(() = Те," П) йсеь ()), (5.24) где ! ехр(12л)Т! ег ())= ехр Ц2л)1.Т) — вектор комплексных сит)соня, а (г„ [0] г„'[1] ... г,„[.] г„„[1] .„[О] ... г,'„1. — ] йс= [ „„[6] г„[!.-.1] ...
г,„а] ! (5.25) — эрмягова теплнцева мтрнца оценки авткоррлвцпв Сред- нее значение опенки СПМопределнется вырженнм !. ю (Р,„())) = Т 2' ( — — ~ г„,[т]екр — Щту)= = Р „Я*~ П[(Д2), (6.26) Сменка СПМ будет в зтог случае иметь смщене, что обусловлено сверткой истинно СПМ с преобразнани» дискретновременнбга треугольного нна.
В частном слчае . =6 †, т е. когда макснмальное значнне вндекса вреченбгосдвпгэ равно уменьшенному на елкниц чнслт пмеющякс. отсетов данных, оценка Р, ()) будет нденнчна выборочномуспекру, вычисляемому по 61 отсчетам данык (см. рззд. «Залчн . Как нзвество, выборочный спектр н является статастчесн устойчнным (см. приложенпе 4.А), потому данный фак макет служить еще одним свидетельство в подьзу выбор АЪУ, прн котором получается статнсти«скн надежнзя ацека.
Для уменьшения эффкта просачнвання на-зе неявно присутствующего прямоугольюго плк треугольмга сгна, а следавателыю, н для уменьшена смещения оцени слпует использовать (264-!)-точечное юрреляционнае окю м[л1 нечетной длины на пнтервале — йетмЬ, свмметриное относительно начальной точки отсчета. (анболее общая фрмакоррелограм. 490 К 19 а много метода оценнвання СПМ прннпмает в этом сдучае еле. дующий внд( с Рзг ()) = Т Х м [ш] г„» [ю] ехр ( — (2п)тТ), (5.27) -г.
где должна нспользоваться несмещенная оценка аатокарреляцип. Подстрочный индекс ВТ означает, что эта форма оценки СПМ была предложена Блэкманом и Тычки. Окно здесь нормнруется так, чтобы ы[0) =-1, поэтому опенка г„[0) булет несмещенной, мощность отсчетов сохраняется, а *слеЛовательно, оценка Р„()) будет правильно промасштабпрована как оценка СПМ. Если необходимо, чтобы не плошадь под кривой ВТ- оценки СПМ была оропордиовальна машнастн нстннной СПМ, а лики этой оценки былп пропоркппаальны мощностн импульсов в спектре, то выраженве (5.27) следует прамасщтзбкровать величиной 7= 1(ЯТ Среднее зна(ение спектральной В7-оценки определяется выражением х сВ(Раг(Г)] = Т Х ы[ш]г„„[т]ехр( — 12п)( 7) =.Р„„(()*П()), (5 28) где П([) — дискретно-вреченное преобразпванпе Фурье (.арре. ля«конного окна.
Не следует применять коррелвцнанные окна с областнми, где П()) (О, поскольку эта приводят к получению о(рнцательных аначепий оценок СПМ, что противоречит фнзн. ческой сутн СПМ, которая всегда должна быть положительной. В связы с эткм, например, не слелует применять прямоугольное окно, так как оно порождает отрицательные значенпв СПМ С )велеченяем чнсла зпачеппй оценка автокарреляпни коррелограччпый метод дает асвмптотическн несмешенные оценкп СПМ. Блэкман и Тьюкк рекомепдоваля вспоаьзовать такое числа значений оценки автокорреляций, чтобы стандартное отклонение оценки СПМ не превышало одной трети ее среднего аначення, т.
е. чтобы О = (113)5 Тогда в соответствии с условием (5 8) получаем 1)В, ТД =- ТВ9 Полагая, что полный корреляционный слвнг Т( = (21:(-1)Т примерно равен ве. лпчнне, обратной шнрине полосы В., получаем 1( Т»,(9. т, е. число оцениваемых значений автонорреляпионной последова. тельности должно быть равно примерно 10'7» числа имеющихся отсчетов данных.
Лля вычкслення оценки СПМ, определяемой выраженнем (527), на сетке нз К ! 1 частот Е=((КТ, где Ож(ыК, можно использовать алгорнтм БПФ Значение К здесь произвольно, (о обычно КЪЕ, а эта означает, что в опенке СПМ сохранят- а тонкие детали спектра. Прн использовании зна(еннй инкса временного сдвига от Еж 1 до К отсчеты данных необходмо дополнить нулями В пралаженкн 5.Б приведена програм. (э СОВВЕЕОСВАМРЗР, предназначенная для вычисления ценки СПМ оа формуле (5.27). Более сложной машинной рограммой реализация коррелограммного метода оценнваняя (ПМ является программа 2.2, помещенная в книге «Праграм(ы для цифровой обработке снгвалов» [4), выпущенной взда".льством !ЕЕЕ Ргеза в 1979 г.
Коррелограммный метод оценнвання взанмной спе«тральной мотностн мощности имеет фюрму Рш (() = Т А ы [ш] г,„[т] ехР ( — (йк)шТ). (5.29» (та оценка СПМ может иметь большое смещение, если взаимо корреляционная последовательность не имеет максимума э очке нулевого временного сдввга (илк вблизц нее), относи. зльно котороя обычно центрнруется корреляционное окно. Это мешенне можно мпннмнзяровать, совмещая две днскретно.вре(енные послеповательностн таким образом, чтобы ппки взанчюй карреляцнн соответствовала точке нулевого временного дзига.
В этом случае статистические характеристккн аценкн ваимной СПМ (5.29) будут аналогичны статкстическим харакеристнкам автпспектральнай оценки (5.27). Приведенная м рнложеннп 5.Б программа СОВВЕЕООРАМРЗП предназначе(а для вычисления взаимной СПМ с помощью ьоррелограм.ного метода. 17. Пермодаграммные оценки СПМ (ругнм формальным определением СПМ, основанным на да. (ужения аб эргоднчноств, явлнется следующая днскретно.вре:еннйя форма: 1,„(/)= )пп 4)]хм, .()Т 2 х[л]ехр( — 12 (лТ))()].
(530) 1ренебрегаз аперацней вычнслення математического ожяллняя ( полагая, что нонечное множество данных х[0],,..,х[Х вЂ” 1) одержит В ото(етов, получаем выборочный спектр Р ())= —., ']Т~' л[л]ехр( — )2к(пТ)~*= =е э-( = м (,», х[л]ехр( — 12к/лТ) ~, (5.31) !за который может быть вычислен по конечной последовательности даннык. Это — ксходная немоднфвцпровгнная форма пернолограммной ошнки СПМ В гл. 4 было показано, что выборочный спектр буде~ давать статистически несостоятельные (т. е, неустойчивые) оценки СПМ, поскольку была опущена операция вычисления математического ожидания, предусматриваемая вырангеннем (530). Поэтому дья сглаживания цериодограммной оценки необходимо применять что-та вроде псевдоусрел.
некиа по ансамблю Предложены трп основных типа методов сглаживания. В методе Даньелла [3] периолограммасглажива. ется путем усреднения по соседним ячейкам частотно~о разрешения. В методе Бартлетта [1] производится усреднение по множе тву периодограмм, получаемых ко сегментам походно! последовательности пенных В методе Уэлча [21] подход Бартлетта приьтеняется к перекрывающих.ся сегментам и веодитсг окво данных для уменыпенвя смещения оненок из-за эффекта проса жвания В лгнературе опвсано ~акме много других опти. мальных методов сглаживания периодограмм, однако все онг оптимальны талью применительно к некоторым ограниченным классам сигналов Трн метода, ! вторые описаны в этом рааде. ле, воаможно, не все!па оптимальны, но практикз показала ил статпстпческую устойчивость (робастнасть) для многих классов сигналов. 5.7.1.
Периодограмма Даиьелла Да!шелл предположил, что для сглаживания бмстрых флюкту. ацнй яыборочного спектра можно нсвользовать усреднение п! соседним спектральным частотам Если для вычисления выба. рочнога спектра Р„(П на сетке частот [ =й)КТ, ОжйжК вЂ” 1 используется алгоритм БПФ, то малифнцированиая оценка пе риодограмчы на частоте [! может быть получена посредствот усрелнения в Р точках (значений) с каждой стороны от эзоп частоты; (5.32) 2Р-',— 1 Ц)бабщением этого подхода является обработка вмбарочного спектра с помощью фнлщра нижних частот с частотной характернстикой Н([).
Периолограмму Даньелла можно в этом случае записать в виде свертки выборочного спектра и частожтой характеристики фильтра нижних чзстот (5.33) !вз П !щгрочный индекс 0 в этих выражениях использован для , чтобы отличать пеиадограммвую оценку Даньелла ат ,ш!»!х оценок СПМ. 5 52. Периодщрамма Барлетта Сглаживание выборочнгю спектра по методу Бар!лет!а основано на создэнни псевдонсамбля периодограмм за счет деленян последовательности и Н отсчешв давных нз Р неперекры. вившихся сегментов по ! отсчетов в кажлам, так что ЙРщц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
