Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 38
Текст из файла (страница 38)
обсужлз о ся н данной лаве в прцпоаоженни извест- П, ч|о, «ак правило, и типична для прзктики. Эти порождают другие яазнния АР сектрального анали.« ие лак метод максниахьой эн|роп|и (ММЭ) и метод |ного предсназания (ЛП). |екоторые |э этих своде~в нс.уются нри рюработке алгоитмав оцемвания параметров егрессионных процессов по здним лжв отсчетам данных; згоритыы описаны в двух седуюших павах.
В гд. 8 апи. алгор|юмы оценивания Арчзрзметро! н машинные прозванные на блочнайобработксданных, а в гл 9 ется аыоритыы, о Овгнные и паследовюельной бработке отсчетов диньы !Ратная сводка резупьтатов ,ч состоит нз двух осноных раздеов, гасншценны с х авторегрессиоиных прцессав н ваиствам авторе. ых спектров, которые рссматрназьгся а предположе. звтокорреазцвонная псэедовагеаиость (АКП) из. |.ноевые свойства АР-прцесса укааны в табл. 7.1, 2З таб гм т.!.
Свайс АР. рэа т с з* 73! 0 б.ап й АР р цэсс Б р й зн .има»нй ю арка Филь р линейно .р жзз за ая Алтаря м Ле о Казфф ц отрзм я 732 733 с з и: з р пии (7 б) тач же уиазаны подразделы, где обсуждается каждое названное свойство. Глаяный резулыат, касающийся возможности прелставления АР-процесса в ваде одной из трех однозначно определяемых последовательностей, изложен в полразд. . 7.3 4. В табл.
7 2 привезены основные свойства АР-спектра и У казаны подразлелы, е которых онп обсуждаются. Отметим, табл на 7.2. Свой АР СПМ чта метод максимальной энтропии целесообразно использовать в том случае. когпа исслеауеммй пропесс являешься гауссовским.
Случай когда анализируемый процесс состоит нз синусоид и аддитивно шумз, рассматривается в полразд 7А.З. 7.3. Свойства автарвгресеианнаго процесса 7 3 1 Связь с а ализа ,основанным а я иед о предс азании 1' юом позошзелс Гудет поьззэно, что уравнения, соатветству. !о!цяе линейиомт !.рехсказэнию, ио сваей струнтуре ипентичнм уравнениям й Хта — Уолкера лля авторегрессианнаго проиесса, ь потому сиьествует тесная связь между фвлырам линейного предсказани ь АР-процессом. Эта взаимосвязь использована а нескольких алгоритмах, ыредставленнык в гл.
8 и 9. Рассиотрим оценку линейного прелсказаннязлергд хт[а] = — д, аг[й] х[л — А] (7.1) отсчета х[п], где аг[й] — азффицнент линейноо предсказания вперел, соответствующий еременнбму индексу ! Здесь крышка «- ° обозначает оценку, а нэдстрачный индекс' (ат !агмагб— ,,! рсз) н.палытст я з.я .!бои! .ипя пе и,мтщестазяемой вперед. Предсказание вперед понимается здес в том смысле.
зто олен а, соогвстствующап иременнбму индеьу и, вычисляетси па т прелылущиы временным отсчщам Коищексиак ашпбьа линейного предсказания вперед ег[л1=х[ ! — «7[п) (7 2) имеет действительную дисперсию рг = 8 ! ) ег [и]!Р) (7.3) Подставзяв (7.!) и (72) в (73), аолучась! слейющее выражение для дисперсии Рт=г„„[0].- и аг[й]гм[ — й',. 2](аг[!])' „ЯР з=! 4- мх] ~ аг[й!(аг!])'г„„[! — А]- з — ! =! =г„,[0], г"агт (аг)" г, ' (аг)" В,аг, (7 4) где а![1] ) [г„„[!] ] ( г„„[0] ...
г„', [т — 1] а!=(,г=!.),В„ !а'[т]! !г„,[т]! [г„„[т.-!] . г,„[0] ) При записи згнх выражения аспользоиалось дс!ущение о там, что х[п) — вроцесс, стациоаарный в широком э!псле, поэтому г *[ — А].— -г,"[й] Выражение (74) по сваей сррче идентично квалратночу мшрнчному ураииенню (368). 1озтому вектор козффипиеншв линейного предсказания вперед !", который мн. иимнзируе! дисверсию р', находится как решен нориапьных уравнений котоуые следуют иепосРелствсшна из (389) О юг [ ! ш хэ[л]= — ~ а'[йх[л-)-й], (7 8) ф Р э мальиых уразы виеннй становится более понятной после их записи в развернутом виде < г„„[0] г„', [1) ., г,', [т] 1 г„„[и] г„[т — 1] ...
г„,[0] аг[ш] )равнение по своей структуре идентично ур пениям Юла — Уолкера (8.32) для авторегресснонного процесса. Если выражение (7.2) переписать в виде х[и] — хз аг[й]х[п — й] 1 ег[л], (7.7) то нетрудно видеть ега подобие уравнен ( . ! и ию (613! дли автоиегрессианиого процесса. Следует, однако, , отметить двз различия между процессом лииейвого предскгшания в р пе ед н АР-процессом. Последовательность и[и) в уравнении (6.13) соответствует бе.юм шумоеому процессу, который используется в качестве входного воздействия для автарсгрессионио ф .
р и донатстьиаст! «!и! пр " ° с !и]! представляет собой во!ход авторегрессианного фалшра аслед ф, и П следовательиость значений ошибки е'[л] в ур , г77! ставляет собой выход фильтра линейного предо!,звания сшибки вперед. структурная схема которого по- 1 П следоватсльность х[и] — эта входное воздействие ззя филь :: ф гльтра прелсказания ошибка. Послелователь- ность значепяй ошибки ланейного редсказания не буде !ор.
релирована с оценкой линейного аслсказаииа х'[и], анака она, вообшс говоря, нс бглст предсавчять собой белый иумо° ой ира!тасс да тех оор, иота иослвооаш. магга х[и] шш иоирршг .»гаь ехогорьгг[ АР(р)-яро!!со с т — р В отменном же случ.:е последовательность аначний сшиб!,н будет слыч шумовьы! процессом, коэффициент! линейвага аредскзання вверед будут идентичны Ар.парамепам (а'[й] =а[й]), а фльтр предскззания ошибки можно булетрассматрив. ть как обеливаюшпй фильтр; см. Папулис [!8).
Р(ажно записать выражение длг оценки ошибки линйнога (рсдсказання иазод где а'[й] — коэффициент лннейногс предсказания вавил соответствующий индексу времени й. Пдстрочный индекс б (от Ьэсйыагб — назад) испочьзустся дц обозначения элеынтов, связанных с оценкой линейного прдсказання назад. Прдсьазание назад понимается здесь в то. смысле, что оценка гоответствуюшая индексу времени л, в!часляется по ш паседуюшим временным отсчетам. Ошибка пгнеиаого предсказана назад опрелеляется выражением е'[л]=х[л — ш]-.э[л — т], (7 9) где дзя удобства намеренгю примеси индекс л, а не и — ш, с тем чтобы величины ег[п] и е"[и были функциямн одого н тога:ие множества отсчетов данны (а именна х[л],.т[и- 1], ...,[и †]), которые испазьзоианы ! фи тьтра линейнога предсказания, структурная схема каторга показана на рг 7.1.
Комплексное значение ошибки лнийвога предсказания иааад имеет действительную дисперсию Рэ =- й' Ц е! [л !'). (7 !О) Пад.гавзяя (г 8) и (79) в (710),залучаем следуюшеевыраженис дз» дисперсии. [О] 1. ~п'[й]г [Ш вЂ” 2; (д)))"г [ —.1] '- '* ' г! ** — ' 2] Х, аь [И) (а' [)]) ' г „[й -)] = г„„[0] ггаьф(а!)'г ' ! (аг)и й' аэ (7.П) гза и Е -, были определены выше, а [аз [1] ] а =. э а'[т]] В соответствии с уравнением (3.69), вектор «оэффицнеитов линейиога предсказания назад вй который ынвимнзирует дисперсию р', находится как решение нормальных уравнений, определяеыых выражением (7.! 2) Записывая уравнение (7.12) в развернутом видо, получаем уравнение котарос после перестановки членов принимает следуююии вид (г„„[0] г,', [1] ... г„'„[т] ] [аэ[т]) ! О ] г„ [1] г„„[0] ...
г„'„[т — !] — (7.13) а'[1], 0 г„„[т] г„,[т -- 1] ... г,„[0] ] ! ) [Рэ) ?еперь нетрудно видеть, чта уравнения (7.6) в (733) содержат ~дентг~чиые зрмитовы теплицевы автокоррсляциаиные матрицы. Выше в подразд. 3 8.! [см, в частности, уравнение (3 166)] тыла показана, что решения уравнений (7.6) к (7.13) доджи~» збладать свайствачи (7.14) аэ [й] = (а» [д])*, (7.!3) .де 1тйыт. Отсюда следует, чта лисперсия линеймого предска~ания вперед и назад илентичиы Коэффициенты линейного зредсказания назад булут просто комплексно-сопряжеинымп зеличинами коэффициентам линейного предсказания вперед, шгда оба фильтра предсказания имеют одну и ту же длину т.
Если фильтр линейнего предсказания отибки впереп явля- ется атбеливаюшвч филшром Ар-процесса,го фильтр линейно- го предсказания ошибки назад булст отбелваюшим фильтрам для аитикатзэльноа реализации Ар-процесс. 7,3.2. Алгоритм Ле исака Решение зрмитовых теплицевых ураннений (7.6) и (7.13) мож. но получить с помошью алгоритма Левинона, описанного в падразд 38.1. Если в соответствии с ггарыетрами, привелен- иымв а подразд. 3.8.1, положить 1[й]=г,.[], а [й]=аг [д] и р -рг... то решение для фильтра линейног прелсказаикя с М коэффициентами будет описываться слелуицим ре«урсввным соотношением: .,[!], т=1; д.
'а',[й',г,„[гп — Д].!.г „[з], т>1, г... — Ь ?р' д=я; ай[а]=Газ„,[й] «о' [т](а',[т — й]1*, ! ая =т — 1, (7!7) т 1, рг — рг (1 )от [гп]«) (?.18) где (ттыМ Единственное требуемое приэтом начальное ус- ловие имеет вид р[ †..„[0]. (7.19) Значения коэффициентов линейного предснзания назад получаю-ся нз значений коэффициентов линемого предсказания вперш посредством простой операции кошлексиого сопряжения Б приведенных выражениях для элемитав бали дабавле.
иы подстрочные индексы т или т — 1, с тсг чтобы указать поряпо«фильтра линейного предсказания. Ьметнч, с поьгощью алгоритма Левинсона автоматически получются все коэффи. циеиты линейнога предсказания с мииима.ънай дисперсией порядка от ! до М. Следовательно, возможа без добаво шых вычислительпь:х затрат получать все АР.м дели более низкого порядка 1 т~ эршаовв тсплипена матрица в урвненин (7.6) являетс пгложительио определенной мз рицей та полинам А' (з) 1-,' д,'а [й]г ", (? 20) в ю~ором в качестве коэффициентов исальзуются коэффи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
