Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 43
Текст из файла (страница 43)
гг[р, р] где г„[ь Д вЂ” г;[1,7] элеьгеиты матрицы й„ яиеют форму корре- гг[г, 1]= л х [л — г]х[п и-г -г) х [йлг П вЂ” !)] к* [й], э=~ где 0(1 — (~Р Поскольку гг[г, 1! зависит толька ог разности (г — !), проггзвеление Х,"Х, дает теплицеву матрицу [см уран. пение (335)!. Воти г [г 7] потетить на лг то эти члены будут идентнчны смещенной оценке автокорреляционной последова- гзв цн е>=те(ег), (8.30) де теплицева УХ (р-1-1)-матрнца данных Т, определена в ,8 22), р.элементный вектор коэффициентов линейного предска. ,ания а,г определен в (8 23), а (А' — р)-элементный вектор ошигак е.з имеет теперь следующую структур)' 4 здесь в соответствии с (3.67) нормальные уравнения, мнннмн.
~ируюшие средний квадрат ошибки х р„'= ~, [е,'[и])'=(е')"е,' г прядка р, имеют следующий вид: Т"Т ' )лементы эрмитовой (рф!) Х (р, 1)-матрицы Й,=Т,"Т, имеют ип корреляционных форм ,[С Л = ~ , " [ - ] .[ -Л. (8.34) (8,31) (8 32) зольности г„[1 — 1] =гг[г,)](У; в этом случаенармальныеураансиия (827) бузу~ идентичны уравнениям Юла — Уолкера (632) Следовательно, аетокорреляцнавный метод линейного предсказания на основе наниеньшнх квгдратои эквивалентен методу Юла — Уо.ткера для оценнвания ааторегресснонных параметрое. з катарам используются смещенвые автокарреляцнониые оценки Применяемая в автокоррелнпионном методе обработка данных с помощью анна ухудшает разрашенне по сравнению с дртими рассматриваемыми здесь методами спектрального ацеггйгання на основе линейного предсказания (см., например, рнс ! 2) Поэтому автокорреляиманный метод редко применяется на ирактнье в случае коротких записей данных, так как др)гие ггетозы нанменьшик квадратов дают более качественные рефльтаты.
Соотношение между ошибками линейного предсказания впеед н каэффицяентами линейного предсказания для зозариаци энного (т. е без взвешинання) метода можно в краткой форме |апнсать в следующем виде где бмг, дшр. Элементы матрицы Рмвьовариациониам методе не могут быть записаны ьак функции разности (г — )), а зто означает, что произведение Т,"Тг не является теп.тицевон матрнцей. Оливка тот факт, что матрица й, является произведением теплниевых матриц, в е же обеспечивает возможность по.
строения быстрого алгоритма, аналогичного алгоритму Левггнсаг~а. Следовательно, решение нормальных уравнений (833) а случае коварпацнонного ьгетода может быть получено с поыогцью неьоторого алгоритяа, вы шслнтельная сложность кото. рога пропорциональна р' операциям, а ие р' операциям, «аторые потребовались бы прн испо чьзованни алгоритма Холеикого Са.
ответствующий быстрый а.тгоритм и программа ега машинной реализации СОТАР приведены н нриложеани 8.8. Заметям также, что необходимым, но недостаточным у лови м того, чтобы матрица ц„была невырожденнай, является условие Д) — ркжр нли р(У772 Отсюда следует.
чш выбранный порядок модели не должен превышать половины длины записи данных. К ковзрнацнониому методу мы еще вернемся в ш, 11 каь к составной части метода Прони Мазана показать (см. Кой [28]), что в слу. чае гзуссовскнх пронессов коаариацианный метод лает для ЛР- параметрОв оценку, приближающуюся к оценке максимального прапдоподобия. Используя тот же подход, катггрый быз использован нами для взвешенного и невзвешенного случаев, нетрудна показать. что в предззеенммнам случае матрицу нормальных уравнений й„ можно записать в виде следующего матричного произведения.
гй Хн(6 ч й =,' ] ( г,р Внй )т,"т =Х"Х вЂ” ОэО, (833) ='(т ) [,т '= ° г элементы каторога имеют форму г [г] 11= Л,' х'[и — г]х[п — 1], (8.36) где Омй гшр Метод предвзвешиваиия целесообразно использовать в процедурак линейного предсказания по методу наименьших нвадратаа, основанных на последователю|ай обработке данных Поэтому более подробно он будет рассмотрен в гл 9. Случаи взвешивания (автоааррелнпноннмй метод), отсутствия взвешивания (ковариацнонный метод) и прелвзвешивання могут быть также рзссмотрены и применительно ь оиенке ли. нейного предсказания назад та [6] = -.'3'. Оь[й] х [2 - р], (8.37) где а, ',й] — коэффициенты линейного предсказания назад но- ма гго 27! е'.— Х, г д» где вектор ошибки линейного предсказания паза,«е,» п а«~тор ьоэффиш!вигов данейко!о предсказания назад а„" определяются пыражениами (8 39) ° Х, — это, по прежнему, теплицева матраца данных, которая была определена выше вмражениеи (821) Средний квадрат ошибки лзнейно!а предсказания назад определяетсн выражением (8.41) Суммирование здесь выло.!няется в лиапазоне от ! до Л': р во взвешенном случае (автокорреляционный метод), от р ' ! до .Ч в незавешенном стучае (иавариациаиный иетод) и от ! до Х в случае предвзвешивання С помощью таге же подхода, который быд использован на«!и для линейного предсказания вперед, можно показать.
что во всех этих случаях нормальные уравнения для линейного предсказания наазд будут иметь форму (8.42) рядка р. Предсказание «назад» понимается алесь в том смысле, что резулыат предсказания для текущего отсчета данных янаяется взвешенной суммой р последующих отсчетов. Для конечного набора отсчетов данных параметры линейного предсказания назад, определяемые по методу наименьших квалрагов, в общем случае не идеити шы нараметраи линейного предсказания вперед. Ошибка линейного предс звания наззд определяется выра «вянем *»» [и] =.
х [и — р] — х» (и — р] = = з [я -.гг] -). д, а', [й] х [л — р — й]. (8.38) Если прелположнть, па л[п]=0 прн п<0 н п>Л, то составляющие ошибки лпнейного предсказания назад можно в краткой форме записать в виде следу!ожега матрично-векторного пронз- еедеяпя где матрица Р, равна Х»еХ, для взвешенного случая, Т зТ, для невзвешенного случая и определяется выражением (8 38) в случае предвзвешивания. Решения «прямых» и «обратных» нормальнык уравнений азаииосвязаны, так как в обоих случаях зтн уравнения содержат одну в ту же матргщу й». Поэтому быстрые алгорвтмы для ьовариацношюго и предвзвешенного методов будут одновременно реп!ать нормальные уравнения относительно коэффициентов линейного предсказания вперед и назад при всех промежуточных значениях порядка модели, а, следовательно, оба набора коэффициентов получаются здесь без дополнительных вы шслнтельных затрат Сдедует заиетнть что коэффяциеигы линейного предо! званая вперед в назад, определяемые с помогцью коварна!«ионного метода, не таран!ируют получение устойчивого фи.гьтра.
Однако это, вообще говоря, не приводит к каким-либо затруднениям, если их значения используются тольио для целей спектрального оценнвання. В действительности спектральные оценки, получаемые по оценкам авторегрессионных коэффициентов, определяемых с помощью ковариацвонного метода, обычно име!от меньшие искажения [33. 40], чем спектральные оценка, получаеиые с помощью методов, гарантцрующг!х устойчивость фйльтра линейного предсказания, напрамер с помощью звтокорреляционпога ь!стола Одна!«а если такой фильтр синтезнр)ется для канн«-либо др)т!гч пелен, то вопрос аб его устойчивости приобретает, естествен!ю, важное аначенпе. Одпн гз варнантон ковариационного метала был предложен 11нкнасоч и Скоттом (39].
В нх методе коэффициенты линейно~о предо«азання вперед н назад выбираются на основе взвешенных квадратов ошибок р', — —. ~', ы„[п] (е' [я] (Х р( —.- Е', [и] («'„[гг] (', (8 43) г где веса характеризуют знергпю отсчетов данных, испол»э«емых для формирования ошпбак предсказаипя в пределах онна ю [и]= 2; (х[й](' Быстрые аз«ориг !ы длз ьовзрнацпаннога метода с весамн общего ница пока ие получены. поэтом) до.!жни использоваться обычиме прщрамчы решен»я матричиык уравнений, а это означает, па аьшис.штельные затраты, необходимые длн решения соответствуюпш«нор«!альнык уравнений. будут в данном глуше пропорциональны величине р'.
гтг 8.5.2. Ко б и ровенные алгориг ы линейного предсназаии» вперед и назад В гл. 7 бы.ю показано, что для стационарного случайного процесса авторегресснонные коэффициенты линейно~о предшазанип вперед и навал представляют собой комплексно-сопряженные ве. личины, поэтому оншбку линейного прелскачанин назад можно записать в следуюшем виде: л» Р в е нав бр в д Так нак 7 — зто (рд-1) гг (рч-1). матрица отражения, то произвеленне х* [1] ... х" [Р-';1] ] х* [Р -г; 1] ...
х" [ — Р) (8.44) Вектор коэффицкентав линейного предсказание вр" в (845) определяется выражением з (Лг и) К (р-)-1).матрица данных Т,— выражением (822). е,'[л] =я[л — р] -1. л л,'[й]х[л — р — , 'Л]. Ф=~ Поскольку обз направленг.я предсказания обеспечивают получение одинаковой статистической информации. представляется целесообразным обьелнавть статисжши ошвбок линейного предсказания вперед и назад, с тем побы получгжь большее чнс.ю точен, в которых определяются ошибки. Сумиарный результат такой процедуры должен улучшать оценку авторегрсссионных параметров В невзвешенном случае (Л' — Р) ошибои линейно~о предсказания вперед и (Л' — р) огпибок линейного предсказания назад можно в краткой форме записюь в анде еле.гуюшеш матрично.векторного произведения. ГегЛ гТ ',7!Т се=(,еь'.) =(Т.)7(агз ' (885) Вектор ошибки е„имеет 2(Лà — Р) элементов и образован нз (Л' — р)-элементного вектора ошибки линеиного предсказания е,г и (лг — Р)-элементного вектора ошибки линейного предсказания назад е,', которые опрелеляюгс» следующими выраже.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
