Марпл - Цифровой спектральный анализ и его приложения (1044218), страница 51
Текст из файла (страница 51)
(9 8) Выр.женин (93) н (98) вместе образ)ют классический вдаптивныц алгоритм зааагльшцк средник язадлагоз (НСК) [17], в котором каждое обновлеаие во времени требует выполнения првмерно 2р операцвй сложения а умножешш Зачетны, чта выбор наиболее подходящцх значений р сопряжен в нем са значктельнымз трудностями. Есзн полаягить, что нходной процесс является гауссовская процессом с нулевым срелннм значением, то сходимость среднего значения вектора а, к вектору а, будет гарантираватьс» до тех пор, пока р будет иметь паложптельное значенае, лежащее в ннтервале ат 0 до 1)Д „ тле ) „ — мвксамалыгае собственное значенне матрацы й„ь В гл. 3 было заказано (см, выражение (3.81)) что след мач.
ркць1 равен сумме собственных знзченпй шой матрицы Поэтому ). „~12 й, „ и, следовательно, более точная граница для постоянной времени адаптации определяется условием 0(п( < !7'гг й, Эту границу определить легче, послолькт й„,— теплицева матрнца, в поэтому (г й, ~ =яр[0]. Оценку р[0], «аралтеризуюшую мощность отсчетов сигнала, получаем непосредст- 321 1 отсчетам данных согласно выраженню еднем, влн постоянная времени тр по Ьму собственному вектору следующим прнближенным вира(9.9) т„ш —.
4 рч аз «шарага видно, что скорость сходя мости аз висят как от посто. : н юй адаптацяи р, так н ат величины области существовання гвенных знзченай звтакарреляцканной матрицы. Таким обсхоэг тгогть ззвпсят от совместного влияния всех сабстй„, а, следовательно, время сходнмателяться наамепьшнм нз собственных (рн больп|ац относительном размахе .„.. Шш К..„ 77., З 1, Чта ХараКтвраа, НаПрИМЕр, асных шумовых аропегсов, время сходамостпмажет равнительно балыкам. попользуется градиентная оценка, то это прнводит о в адаптивном процессе собственнога шума, катояется как некоторое установившееся значение дисачной ошибка .тора параметроа а, пвчеяой ррп пжеп: к сходи ~ости.
эй дисперсии ш з чр п ю. ~ е..ча.гас.а ~ гнала, гленна по сравнению са .о1, т . этша а..гор.лма, Усреднение па времена 'оср . 'ошибок, порождаемой НСК.алгоритмам, бесвсч ьо. рченне оценки дисперсии белого шуца, неабодвман' я вычисления АР СПйй Одним нз первых, кто предажнл пспольэо ть этот метод ввторегрессяанно|а спектраль ого оценввання, был Гриффитс [8).
Как уже отмеча тось выше в равд 92 прк рассмотренна иллюстративного пРимера. в случае относнтельно короткях ззпнсей данных градиентный адаптивный НСК-алгорнтм по свопм карактернстнкам я скарастц сходнмости уступает РНК-алгорнт22 — 1Ззв 222 222 Р,„ = Х м "(е,. [п]К ( Р», и 0 )' Р (9,! Ц (9 14) где йр,мвг,,н=( О ) (9.12) мам Олвако он более функционально-усайчив (робастен) и менее чувствителен, чем РНК-алгоритмы к плохой численной обусловленности и эффектам, возннкаюши> нз-за конечной данны машинного слова.
Поэтому в тех при.ожениях, где данных достаточна и допустима более медленная сходимость, НСК-метод может оказаться вполне прнемлемымалгорнтмом последовательного спентрального оценнеания О.Ь. Рекурсивные автврегреееиоиные мнтовг наимвнынн» квадратов Для Оценнвания параметров АР-модели 1-го порндка по Рбто. чечной послеловательности данных х[Ц, , х(Л] необходимо ааписать уравнение лля ошибки лннейноггпредсказания вперед е,', а [а] = х (и]-(- д~ а ч (2]з(н — 2], (9.10) и решить его атяосительно набора парамтров а,,з[й], которые минимизируют сумму зкспоненциально взешенных квадратов ошибок ао всем имеющимся измеренным динмм вплоть до зременнбго индекса ДГ: где м — положительная действительная :калярная величина, удовлетворяющая условию 0<н(1 Это кспоненциальнос акко движется вдоль записи данных, создавая шг:еньшие изнеиения значений текущвь ошибок и очень сильв уменьша» значения более стармх ошибок, что позволяет отсаживать медленно изменяющиеся параметры снгналаз (песта«онарвых процессов) Диапазон сумммнрования в (9.1Ц прим-1 (см гл.
8разл.8.5) соответствует случаю предвзвешивзнчя,пснольку прв этом ис пользовалось допущение о там, что х[п]-0 прв п(0. Следуя той же процедуре минимиззцин, ноно гьаванной в равд 8 5 и приложении 8.С, моткно показать, что коффнцненты линейного предсказания/анторегрессин, которые ми~имизируют величину Пэ>, УДОВЛЕтЗОРЯЮт СЛЕДУЮЩЕМУ МатРНЧИО1У НОРМаЛЬНОМ> УРааненню: гДе (Р+1) Х (Р-1)-матРица йьа опРеделнетга выРажением К и=- ~ мч "х'[п]х((п], 9 18) =1 х (л) 1 цц=~ );.-')=(.) (х[п — р] ! и О,— РХ1-нуль-вектор. Решая уравнение (912), получаем ЗЕКтаР ЛИНЕОНОГО ПРЕДСКаэаина аг,а И МННИМаЛЬНУЮ СУММУ НааД. ратоа ошибок рг .и.
Заметим, что матрица йм* и вектор вара- метров ак» снабжены подстрочным индексом Ф, с тем чтобы указать, что онн определяются по всем отсчетам ланнмх вплоть .ю временного индекса М Можно и~казать (см. Равд. «Ззда. чи»), что компоненты вектоРа ама соответств>ют УстойчивомУ фильтру предсказания. если получен новый отсчет данныя х[гУ-~- Ц, то аппроксимацию по методу наименьших квадратов для всего набора кз Ъ'2-1 отсчетов данных можно записать в виде следующих матричных нормальнмх уравиенкй И.1 Кр,„= ю ы +' "ха [а]хг(п].
(9. 15) Алгоритм, который при получении нового отсчета данных х(й>ч-Ц пззвалнет пеРеходнть от вектоРа а, „ к акаь1, ве пРибегаЯ к Явному Решению уравнения (9Л4), называетсн рекурсивным алгоритмом наименьших квадратов (РНК). Ниже буд>т рассмотрены лва РНК-алгарнтна Колвчество вычислительных операций, требуемое традиционным РНК-алгоритмом на одно обновление во времени, пропорционально ведичине рц В новом быстром РНК.алгоритме используются особенности структуры нормальных уРавнений, что позволяет получить аналогичное решеаие с помопьыо значительно более зкономаой в вычнсаительном отно.
шенин процелуры, поскольку требуемое в этан случае количества вычислительных операций пропорционально величине р. Этот стрый РНК-алгоритм яадяется последовательным аналогом бы рых тгорнтмов блочной Обработки, Описанных в гл В. зш Гиа з З 324 йр,,— — й,ым "х',[л — 1]хг,[л — !]= =! хр [л] яр [и] (9.17) и г к= д, ми "х',[и — 1]х[л], =г г, т40, О] = ~ м л " ', х [л] [Д Зто позволяет записать раздельные уравнения для рви и ар,иг г Вр г и,а и — — — гр,,т, (9.18) (9.19) Используя определение Р,= 97'ьи н (9.20) получаем следующее решение для вектора ар,«р, соответствую.
щего временному индексу 7(.г 1: яр. к — — рл гр. ь ° з. Используя тождество г,.т т = мгр л -1. хр' ,[Л)] х[Л( 4-1], (9,22) справедливасть которого можно показать, анализируя определение (9.!7), получаем ар,и„ вЂ” Рз,(мг, р,-(- х,',[Лг] х [Лг 1]) =- Ри (~РЗС Рь г. -1 х [Л] [гр 4 1])— =Ри( Рй'-*вр, э.— к',,[Л]х[)У 41]). (9.23) «!спользуя далее тождество (9.24) (9.21) 9.4.1.
Классический рекурсивный алгоритм наименьших квадратов Традиг!ионный РНК-алгоритм [14) позволяет по мере поступления каждого нового отсчета данных гюлучать точное рекурсивное решение наименьших квадратов для коэффициентов линей. ного предсказания. Заметим, что матрицу йр,и можно записзть в виде следующего разложения: (9! ) =(' „ где справедливость которо~о нетрудно наказать, анпизируя апре.
де гение матрицы й„ .л . в (9.171 и выполняя в оответствни с ннм подстановку в уравнение 19 23), получаем ар „., а л — Р.хр,[Л'](х[,[К!ар,т,.э ['ф(])= == ар,,— е,' э [У ! 1! Р, х„', [Л ] = (9 25) =а и — е',, [Л' — 1]с (9.2б) где вектор с, .ч определяется выражением (9.27) снзлярнзя неличииа ег,[У - 11 — это осгагачлалгшибко фильтра, а ие оигибяа лредсказоииэ, так иак испольэуеся вектор параметров аиэ, а не вектор царнметрое анре| Различие между адаптивными РНК- и НСК.а.горитмами нетрудно видеть, сравнвваа уравнения обновлешз параметроз 1981 и (925) Эти уравнения идентичны н разлчаются лишь рп ол.ителямв, соответствующими адаптггвггыэг аэффициентач усиления.
В НСК-алгоритме агат коэффициент )анен 29 и яв..яегся лосгохииой скалярной величилол В РНК-з~гаритзге адапашный иоэффицаент Р, представляет собой измияющуюсз ао времени матрицу. Выражение, необходимое дл обнавленчя матрицы Ри ва времени, можно получить, примояя к выражению (924) ленцу об обращении матрицы (си. гг 3, выражеаие (3 33) ), чта даст (и-1-кг !Л1ри х' 11) 1' ' ы —.1,'.,'" ""'," ° 1 Используя (9 28), нетрудна показать, чта с, л = Р,т,»',, [ж]1(ы -г- х[, [М] Рл,х,', [М]), (9.29) поэтачу нравиеиие (928) мазепа записать в сллуюгцем упрощенном виде. (9ВО) Ри.--ы '1! — с алхг,[М])рк, Завершает этот РНК.алгоритм обновление ргршь выражение для которого получается нз вырзжений (9 19) и 922). Уравкения (9 26), (9 29) и (9 30) саставляютоснову базового РНК-алгоритма.
Их структура аналогична стукгуре уравне. вий лля фильтрз Калманэ, используемых в столстнческой тео. Рин Ул Равлеииа, ВектаР х,,[У] и матРица Ри- котаРые составлены из отсчетов данных, аналогичны каррелцнонному вектор> и к*рреляцноннай матрице в задаче калмновскай фильтрапин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
