Базров Б.М. - Основы технологии машиностроения (1042954), страница 65
Текст из файла (страница 65)
1.8.9. Схема движении вершины резца в координатной системе заготовки Е, ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ 353 Чтобы записать уравнение фактического движения точки М в системе Еи необходимо в правую часть уравнения (1.8.1) в качестве аргументов включить величины, характеризующие каждый блок схемы, приведенной на рис. 1.8.4. Согласно этой схеме, нарушение относительного движения является следствием дополнительных перемещений и поворотов координатных систем эквивалентной схемы (см. рис.
!.8.8). Чтобы уравнение движения (1.8,1) отражало перемещения и повороты координатных систем Е„Х, Е„эквивалентной схемы в неподвижной системе Еи следует в его правую часть включить характеристики, определяющие положение каждой координатной системы. Известно, что положение твердого тела в пространстве относительно неподвижной системы координат Х может быть определено с помощью шести параметров: трех угловых и трех линейных координат системы координат Е', жестко связанной с этим телом (рис. 1.8.10), Таким образом, положение детали в системе координат Х может быть определено с помощью радиус-вектора Р и матрицы углов поворотов: хо ~осе) у~(у о) ~сьо) Уо Рис.
1.8,10. Положение тела Е' в неподвижной системе координат Х 354 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ где х, у, г — координаты начала системы координат Г в системе Е; .Ц„еь Мо ь Мо е> — матрицы поворотов против часовой стрелки системы координат Е' соответственно на угол гр вокруг оси ОХ', на угол чг вокруг оси ОТ' и на угол О вокруг оси 02'. Введем в правую часть уравнения движения (1.8.1) параметры, определяющие положения каждой координатной системы эквивалентной схемы. Это выполняют с помощью формул перехода из одной системы координат в другую, В совокупности координатных систем эквивалентной схемы, где Ег = Еь Ен = Ег Е, = Ез и Е„= Е4 за неподвижную систему координат примем Ез (рис, 1.8.11).
Соединив начала координатных систем радиус- векторами, можно записать два векторных равенства; (1.8.2) )( = "ог + "о ~ + ' (1.8.3) м Рис. 1.8.11. Схема векторных связей координатных систем эквивалентной схемы ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ 355 Приравняв правые части равенств (1.8.2) и (1.8,3), получим уравнение радиус-вектора г, определяющее положение точки М в системе Х,: (1.8.4) г = гос + га гег го~ Пользуясь формуламн перехода из одной координатной системы в другую, найдем последовательно положение точки М в координатных системах Еп Хь Еь С этой целью запишем формулы перехода, лля чего найдем положение точки М координатной системы Г в системе Х (рис.
!.8.12) при их параллельном положении, Уравнения координат точки М в системе Х будут иметь следуюший вид: х = хо +х', у =ус+у' или Я=го+с'; х=гю+г', где х', у', г' — координаты точки М в системе Х', х„ум хе — координаты точки О' в системе Х, В обшем случае система Х' может быть непараллельна системе Е, тогда в формулу перехода должны быть включены углы ее поворотов. Пусть точка М задана в системе Х'; надо определить ее положение в системе Е.
Рис. 1.8.12. Схема определении положения точки М в координатной системе Е при параллельном расположении системы Е' 556 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ Пусть система Е' повернута в пространстве так, что ее оси будут непараллельны осям системы Е (рис. !.8.13, а), при этом начала систем Е и Е' совпадают. При повернутой системе Е' положение точки М в системе Е определяется радиус-вектором где М' — матрица поворота системы Е' в системе Е; г — радиус-вектор, определяющий положение точки М в системе Е', В этом случае формула перехода точки М из системы Е' в систему Е будет иметь вид х = сов(п')х'+ соя(с /')у'+соф 8')х'; у = сов(! /')х'+ саво ~у)у'+ сояц7)л'; (1.8,5) х = соя(8 7)х'+ сов(й/')у'+ соя(8 7)х', где соя(1 г), соя(~ 7),...,соа(88') — косинусы углов (направляюшие косинусы) между осями систем Е и Е', ~, 1,8 — единичные векторы.
Рис. 1.8.!3. Схема определения положения точки М в системе Е: а — общий случаИ, когда Е' повериуга вокруг трех осей ОХ, ОК 02; б — при повороте системы Е' вокруг оси ОХ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ 357 Влияние поворота системы Е' на положение точки М в системе Е отражено через направляюшие косинусы. С целью сокрашения записи введем обозначения направляюших косинусов через и;: соь(! !') = ип; соь(1 у') = и!г; соь(!' Е') = и!з; соь(/! ) = Из!', соь() /) =багз,' соь(/я ) =игз,' соь(зз !') = из!' соь(з! у ) = изг' соь(К )з') = изз Тогда формула перехода (1.8.5) будет иметь ии изг ии нг! "гг "гз "з! "зг "зз или г = М'г х = х'1 + у'О+ я'О; у =х'О+у'соьзр+г'(-ыпФ) г = х О + у ь!и ц>+ 2 сок!а, или х=х; у = у соя!а — з ыпза; г = у'ы)пзр+я'соьзр Матрица поворота системы Е' вокруг оси ОХ на угол зР имеет вид 1 О О О соя!а — ыпза О ь!и зл соя!а Мзкч) (!.Х.б) Запишем формулы перехода точки М из координатной системы Е' в координатную систему Е при последовательном повороте системы Е' вокруг осей ОХ, ОУ, 02 при условии, что начала координатных систем Е и Е' совпадают, На рис.
1.8.13, б показано положение системы Е' после се повороза вокруг оси ОХ на угол зр против часовой стрелки. Уравнения координат точки М в системе Е будут иметь следуюший вид; 388 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ Аналогичным образом можно записать матрицы поворотов системы Е' вокруг других осей. Уравнение координат точки М в системе Е, когда система Е' повернута на угол 1Р вокруг оси ОК. х = х сояч1 — г япйн У=у! г = -х'5!и 1Р + г'соя 1Р Отсюда соя ц1 Π— 51п ц/ О 1 О яп 1Р О соя 1Р (1.8.7) Уравнение координат точки М в системе Е, когда система Е' повернута на угол 0 вокруг оси Ог: х = х соя 9+ у (-51п 9) у = х'яп 0+ у'(соя О); г =г Отсюда со59 -яп9 О 51п 9 С050 О О О 1 (1,8.8) В обшем случае, когла система Е' повернута относительно системы Е и их начала не совпадают, радиус-вектор точки М,.
определяющий ее положение в системе Е, будет иметь следующее выражение: 8=ге + М где ге — радиус-вектор. опрсделяюший положение начала координат системы Г в системе Е. Пользуясь формулами перехода (1.8.5) — (1.8.8) из одной координатной системы в другую, запишем уравнение радиус-вектора р, определяющего положение точки М в координатной системе Е„эквивалентной схемы (см. рис. 1.8.11). ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ 359 С этой целью вернемся к равенству (1.8.4) и запишем значение )г с учетом поворотов координатных систем Еь 12, Е4 в системе Е,. Положение точки М в системе Е, (см.
рис. 1.8.11) определяется радиус-вектором Я, уравнение которого имеет вид г04 ™4го (1.8.9) Положение точки М в системе Е2 (рис. 1.8.14) определяется радиус- вектором г2, уравнение которого найдем следующим образом. Вначале запишем уравнение радиус-вектора Я, считая, что положение точки М в системе 12 известно, тогда г02 ™2'2 (1.8.10) Мзгз ~~ г02 откуда г2 ™2 ()4 '02) (1.8.11) Теперь найдем положение точки М в системе Е, (рис.
1,8.15); сс положение определяется радиус-вектором г. Сначала запишем уравнение Рие, 1.8.14. Схема определения положения точки М в системе Е, 360 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ Рис. !.8.!5. Схема определения положения точки М в системе?;, гг радиус-вектора г,, считая, что положение точки Мв системе Ег известно, тогда гг =г01 ем!г (1.8,12) или М|Р = гз — гон Подставим в выражение (1.8.12) значение г,: М,г = Мг ()с - гог) гщ В полученное выражение подставим значение )! М!Р=Мг (Мего+гас гаг) го~ (1.8.!3) Проведя преобразования, получим уравнение (1.8.13) следующего вида: 7 =М К(МЛ -Р— 7г)-уД (1.8.1 4) Уравнение (1.8.14) позволяет определить координаты точки получаемой поверхности детали.
Чтобы определить все точки поверхности, надо в (1.8.14) ввести параметры движения координатных систем в соответствии с кинематикой станка. Например, у токарного станка, эквивалентная схема которого показана на рис. !.8.8, в соответствии с его кинематической схемой координатная система Е имеет вращательное движение вокруг оси ОХ, а координатная система ń— поступательное движение вдоль оси ОХ„. С помощью уравнения (1.8.!4) можно учесть перемещения и пово- роты координатных систем эквивалентной схемы, вызванные действую- шими факторами, Учет факторов, порождающих погрешности обработки. Для учета влияния действующих факторов на погрешность обработки вначале необходимо ввести в полученное уравнение движения (1.8.14) перемещения опорных точек. ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ ФОРМИРОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ 361 В результате действия факторов (см.
рис. !.8.4) возникают погрешности обработки. которые можно выразить через перемещения опорных точек ко- ~ 3 ординатных систем. В свою очередь ! .-г х, I перемешсния опорных точек создают перемещения и повороты координат- с -У, ных систем. Поэтому сначала необходимо установить аналитические зави- к симости трех перемещений и трех поворотов координатной системы от пе- -у ремешения опорных точек.
Иными словами, в уравнение движения ! ! 8 !4! Рис. 1.8.16. Схема расположении опорных точек системы ', вместо г, и М, должны быть введены их функции от перемещений опорных точек. Эти зависимости находят из геометрических соотношений.
Например, выведем указанную зависимость для системы Х, (рис, 1.8.161, заданной в системе Е. Координаты опорных точек в системах Е~ и Х привелспы в табл. 1.8.1. Давая перемещения 1. опорным точкам в координатной системс " и направлении лишения ими соответствуюших степеней свободы, с помошью геометрических соотношений найдем значения отклонений шести Таблица 1 8.! збз млткмлтичкскок опислник злкономерносткй координат, определяющих новое положение коордииатиой системы Х~ в системе Е.
Для варианта расположения опорных точек (см. рис. 1.8.16) зависимости имеют следующий вид: «=Л,; у=Л,+хи!ба; х = Л, + хп !8ьй! <Р = Ль (х,; ~~ = а«с!8 Л,-Л, ~хм -хп! а=агс!8 з 4 (1.8.15) где Л1 — Лб — перемещения опорных точек. В уравнение движения вместо координат х, у, г, у,у, 0 радиус- векторов и матриц подставляют правые части зависимостей (!.8.15), связывающие перемещения опорных точек с шестью коорлииатами. Следует оговориться, что для другой схемы расположения опорных точек зависимости (!.8.15) будут другими. Теперь, чтобы ввести в уравнение движения фактор, порождающий отклоиеиия движеиия точки М в коордииатиой системе Х, (см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
