Главная » Просмотр файлов » Теория случайных процессов

Теория случайных процессов (1042226), страница 16

Файл №1042226 Теория случайных процессов (Теория случайных процессов) 16 страницаТеория случайных процессов (1042226) страница 162017-12-27СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Следствием мнемонического правила построения системы ДРУ по ГС (лекция 13)является мнемоническое правило построения системы (17.2):для любого состояния входящий и выходящий потоки вероятностей равны.123Лекция 17. Стационарные режимы cистем обслуживанияПереходя к решению, введем обозначенияzi = −λi πi + µi+1 πi+1 ,0 6 i 6 N − 1,(17.3)и запишем в этих обозначениях систему (17.2):z0 = 0, ........zi−1 = zi ,........zN −1 = 0 .Отсюда следует zi = 0, 0 6 i 6 N − 1, или, что эквивалентно,zi−1 = 0,1 6 i 6 N ⇒ hвозвращаемся к (17.3)i ⇒ λi−1 πi−1 = µi πi , 1 6 i 6 N ,NP⇒⇒πi = 1i=0⇒ πi =λi−1λi−1 λi−2πi−1 =·π= ... =µiµi µi−1 i−2i=Y λk−1λi−1 λi−2 ... λi−i,π0 ⇒ πi = π0µi µi−1 ... µi−(i−1)µk1 6 i 6 N , (17.4)k=1где вероятность π0 определяется из нормировочного условияπ0 +NXi=1πi = π0 + π0N YiXλk−1=1⇒µki=1 k=1⇒ π0 =iN YXλk−11+µki=1 k=1Если N → ∞, то получаем очевидный аналог (17.5)!−1∞ YiXλk−1π0 = 1 +.µk!−1.

(17.5)(17.6)i=1 k=1Из формул (17.4) и (17.5), т. е. при конечном N , следует,что финальные вероятности состояний всегда существуют,124Разд. 3. Непрерывные цепи Марковаа из формул (17.4) и (17.6), т. е. при N → ∞, следует, чтофинальные вероятности состояний существуют, если ряд в (17.6)сходится, а он сходится всегда, когдаλk−16 α < 1,µk(17.7)т. е. всегда, когда начиная с некоторого k и для всех последующих интенсивность потока размножения меньше интенсивности потока гибели.Признаки классификации систем обслуживанияИз многочисленных признаков классификации СО мы остановимся лишь на четырех:• интенсивность простейшего входящего потока требований,• интенсивность простейшего потока обслуженных требований,• число обслуживающих приборов (канальность),• количество требований в системе.Далее рассматриваются четыре варианта возможных значений интенсивности входящего потока требований:• λi = λ ∀ i — постоянная интенсивность (неограниченныйпоток), (M − i) λ, 0 6 i 6 M ,• λi =— ограниченный поток (M0, i > Mисточников требований),• λi = iλ — интенсивность пропорциональна номеру состояния,const• λi =— интенсивность обратно пропорциональна ноi+1меру состояния (переполняющий поток).Число обслуживающих приборов может принимать три значения:• m = 1 — одноканальная система„• 1 < m < ∞ — m-канальная система,• m = ∞ — ∞-канальная система (для каждого вновь поступившего требования найдется свободный прибор).Предположение, состоящее в том, что поток требований, обслуженных каждым прибором, является простейшим с интенсивностью µ, имеет ряд следствий.

Во-первых, время обслуживаниятребований каждым прибором подчинено экспоненциальному125Лекция 17. Стационарные режимы cистем обслуживаниязакону с параметром µ; во-вторых, интенсивность µi обслуживания равна µ для одноканальной системы, iµ для ∞-канальнойсистемы, наконец, для m-канальной системы(iµ, 1 6 i 6 m,µi =(17.8)mµ, i > m.Количество требований в системе ограничивается числом K(K > m). Разность K − m интерпретируется как число местдля ожидающих обслуживания (ограничение на длину очереди).При K = m количество требований в системе ограничивается числом обслуживаюших приборов (система с потерями),при K = ∞ число требований в системе неограничено.

(K + 1)-етребование, поступающее в систему, не обслуживается и теряется. Формально это ограничение задается следующим назначением интенсивности входящего потока требований:(λ, i 6 K − 1,(17.9)λi =0, i > K.11 классов систем обслуживания (N → ∞)1. Система Эрланга (одноканальная система с неограниченным входящим потоком) — рис.

45.λλ10µλ2µλλii−1µµλi+1µµРис. 45λi = λ,(17.4) ⇒=i > 0;µi = µ,i > 1;K = ∞.λk−1λ= = ρ ⇒ πi = π0 ρi , i > 1 ⇒ (17.6) ⇒µkµ!−1∞Xi⇒ π0 = 1 +ρ= hρ < 1i =11−ρ− 1i=1= 1 − ρ ⇒ πi = (1 − ρ) ρ,i = 0, 1, 2, ... . (17.10)126Разд. 3. Непрерывные цепи МарковаМы получили исключительное геометрическое распределениес вероятностью успеха 1 − ρ, следовательно,ρρM ξ (∞) =, Dξ(∞) =.1−ρ(1 − ρ)22. Одноканальная система с переполняющим входящим потоком — рис. 46.cc/2102µc/(i + 1)c/iii−1µµi+1µРис. 46cλi =, i > 0; µi = µ > 1;i+1λc/kc(17.4) ⇒ k−1 ==⇒ πi =µkµkµK = ∞.iYc1= π0= π0 (c/µ)i , i = 0, 1, 2, ... ⇒kµi!k=1∞ iX1 −1c⇒= e−c/µ ⇒< ∞, (17.6) ⇒ π0 = 1 +µµi!DcEi=1 ic1 −c/µ⇒ πi =e,µ i!i = 0, 1, 2, ...

. (17.11)Получено распределение Пуассона с параметром c/µ; следовательно,cM ξ (∞) = Dξ (∞) = .µ3. ∞-канальная система с неограниченным входящим потоком — рис. 47.λ0λ1µλ2ii−1iµ2µРис. 47λλi+1(i + 1)µ127Лекция 17. Стационарные режимы cистем обслуживанияλi = λ,i > 0;µi = iµ,i > 1.iDλEYλk−1λλρi(17.4) ⇒=⇒= ρ ⇒ πi = π0= π0 ⇒µkkµµkµi!k=1⇒ h(17.6) , ρ < 1i ⇒ π0 =⇒ πi =∞ iXρ1+i=1ρi −ρe ,i!i!!−1= e−ρ ⇒i = 0, 1, 2, ... . (17.12)λПолучено распределение Пуассона с параметром ρ = ; следоваµтельно,λM ξ (∞) = Dξ (∞) = .µ4. m-канальная система с неограниченным входящим потоком — рис. 48.λλ10µλ2m−1m−22µλλλ(m−1)µmmµm+1mµРис. 48λi = λ,i = 0, 1, 2, ... ;µi =(iµ,0 6 i 6 m,im,i > m;K = ∞.Значения πi следует разбить на две части, соответствующиеi ∈ {0, 1, 2, ...

, m} и i ∈ {m + 1, m + 2, ... }.Пусть i 6 m, тогда согласно (17.4) получимDλEY λλk−1λρi=⇒= ρ ⇒ πi = π0= π0 .µkkµµkµi!i(17.13)k=1Пусть i > m, тогда согласно (17.4)mYρλλk−1ρ==⇒ πi = π0µkmµmkk=1iYρρi= π0,mm!mi−mk=m+1(17.14)128Разд. 3. Непрерывные цепи Марковагде согласно (17.6) π0 =mXρi1+i=1i!∞X+i=m+1ρim!mi−m− 1.5. Одноканальная система с ограниченным входящим потоком — рис. 49.Mλ(M −1)λ10µλ2λ2M −1M −2µµMµРис. 49λi =((M − i) λ,0,0 6 i 6 M,i > M;µi = µ,1 6 i 6 M.DλE= ρ ⇒ πi =Воспользуемся (17.4) и (17.6):λk−1µk (M − k + 1) λ ,µ=0, k > M16k6M⇒µiiYY(M − k + 1) λ= π0= π0(M − k + 1) ρ =µk=1k=1= π0 ρi M (M − 1) (M − 2) ... (M − i + 1) == π0 ρiM (M − 1) (M − 2) ... (M − i + 1) (M − i) ...

1=(M − i) (M − i − 1) ... 1= π0 ρiM!,(M − i)!где1 6 i 6 M ⇒ πi = 0,π0 =MXi=0i > M,M!ρ(M − i)!i!−1. (17.15)Лекция 17. Стационарные режимы cистем обслуживания1296. Одноканальная система с ограничением K на число требований, находящихся в системе (K > m = 1) — рис. 50.λλ10λ2µλλK−1K−2µµµKµРис.

50λi =(0,i > K,λ,0 6 i < K;µi = µ,1 6 i 6 K.Cогласно (17.4) и (17.6)λDλEλk−1  , 1 6 k 6 K ,µ=⇒=ρ<1 ⇒µkµ0, k > Ki π0 Q ρ = π0 ρi , 1 6 i 6 K ,⇒ πi =⇒k=10, i > KKX⇒ π0 =i=0ρi!−1=1−ρ. (17.16)1 − ρK+17. m-канальная система с неограниченным входящим потокоми с потерями — рис. 51.λ0λ1µλ2λλm−22µm−1(m−1)µmmµРис. 51λi =(λ,0 6 i 6 m − 1,0,i > m;5 Г.А. Соколовµi = iµ,1 6 i 6 m;K = m.130Разд. 3. Непрерывные цепи МарковаСогласно (17.4) и (17.6)λk−1µk λ , 1 6 k 6 m,DλEkµ=⇒=ρ ⇒µ0, k > miYρρi= π0 , 1 6 i 6 m ⇒ (17.17)ki!k=1!−1mXρii > m ⇒ π0 =⇒ формулы Эрланга.i!⇒ πi = π0⇒ πi = 0,i=08. ∞-канальная система с ограниченным входящим потоком(с M источниками требований) — рис.

52.Mλ0(M −1)λ1µλ2λ2M −2M −1(M −1)µ2µMMµРис. 52λi =((M − i) λ,0,0 6 i 6 M − 1,i > M;µi =(iµ,0,1 6 i 6 M,i > M;K = M = m.Согласно (17.4) и (17.6)λk−1=µk(M −k+1)λ,kµ0,k>M1 6 k 6 M,⇒DλµE=ρ ⇒iYM −k+1M −1 M −2 M −i+1iπi = π0ρ = π0 ρ M·...=k23ik=1131Лекция 17. Стационарные режимы cистем обслуживания= π0ρi M (M − 1) ... (M − i + 1) (M − i) (M − i − 1) ...1·=i!(M − i) (M − i − 1) ...1= π0 ρiM!i i= π0 CMρ,i! (M − i)!⇒ πi = 0,MXi > M ⇒ π0 =16i6M ⇒i iCMρi=0!−1= (1 + ρ)−M .(17.18)9. m-канальная система с ограниченным входящим потоком(с M источниками требований) и ограничением K на числотребований, находящихся в системе — рис. 53.M λ (M −1)λ01µ2m−22µm−1(m−1)µ(M −K+1)λ(M −m)λ(M −m+2)λmmµm+1KK−1mµmµРис.

53M > K > m;λi =((M − i) λ,0,0 6 i 6 K − 1,i > K;µi =(iµ,mµ,0 6 i 6 m,m < i 6 K.Разобьем множество значений i на два подмножества:[{0 6 i 6 m} {m + 1 6 i 6 K}.Пусть 0 6 i 6 m, тогда согласно примеру 8 при M = mλk−1(M − K + 1)λi i=⇒ πi = π0 CMρ;µkkµпусть m + 1 6 i 6 K , тогда согласно (17.4) и (17.7)DλEλk−1(M − k + 1) λ=⇒=ρ ⇒µkmµµiimYYYλk−1λk−1⇒ πi = π0= π0=µkµkk=15*k=m+1 k=1(17.19)132Разд. 3. Непрерывные цепи Маркова=mDYEλk−1i im m= CMρ |i=m = CMρ=µkk=1=m mπ0 CMρiYM −k+1ρ=mk=m+1=mπ0 CMiYρi(M − k + 1) =mi−mk=m+1m= π0 CMρi(M − m) (M − m − 1) ...

(M − i + 1) =mi−mm= π0 CMρi(M − m)!i!i i·= π0 CMρ. (17.20)i−mm(M − i)!m!mi−mИз нормировочного условия получаемπ0 =mXKXi iCMρ +i=m+1i=0i!i iCMρm!mi−m!−1.Два частных случая класса 910. m-канальная система с ограниченным входящим потокоми с потерями M > K = m (рис. 54).Mλ01µ(M −m+2)λ (M −m+1)λ(M −1)λ2m−22µm−1(m−1)µmmµРис. 54В этом случае из двух формул (17.19) и (17.20) остаетсятолько первая и мы получаем распределение Энгсета:i ρiCMπi = P,mk ρkCMk=0i = 0, 1, 2, ... , m.(17.21)133Литература11.

m-канальная система с ограниченным входящим потоком,при этом число требований в системе не должно превышать M ,т. е. M = K > m — рис. 55.Mλ0(M −1)λ1µ2λ(M −m)λmm−1mµ2µm+1MM −1mµmµРис. 55Формулы (17.19), (17.20) остаются в силе, ноπ0 =mXi=0i iCMρ +MXi=m+1i!i iCMρm!mi−m!−1.Литература1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов иее инженерные приложения.

— М: Наука. 1991.2. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов иих приложения. — М.: Наука, 1969.3. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массовогообслуживания. — М.: Наука, 1987.4. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. — М.: Машиностроение, 1979.5. Саати Т. Элементы теории массового обслуживания и ееприложения. М.: Советское радио, 1965.6. Феллер В.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,15 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6521
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее