Теория случайных процессов (1042226), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Следствием мнемонического правила построения системы ДРУ по ГС (лекция 13)является мнемоническое правило построения системы (17.2):для любого состояния входящий и выходящий потоки вероятностей равны.123Лекция 17. Стационарные режимы cистем обслуживанияПереходя к решению, введем обозначенияzi = −λi πi + µi+1 πi+1 ,0 6 i 6 N − 1,(17.3)и запишем в этих обозначениях систему (17.2):z0 = 0, ........zi−1 = zi ,........zN −1 = 0 .Отсюда следует zi = 0, 0 6 i 6 N − 1, или, что эквивалентно,zi−1 = 0,1 6 i 6 N ⇒ hвозвращаемся к (17.3)i ⇒ λi−1 πi−1 = µi πi , 1 6 i 6 N ,NP⇒⇒πi = 1i=0⇒ πi =λi−1λi−1 λi−2πi−1 =·π= ... =µiµi µi−1 i−2i=Y λk−1λi−1 λi−2 ... λi−i,π0 ⇒ πi = π0µi µi−1 ... µi−(i−1)µk1 6 i 6 N , (17.4)k=1где вероятность π0 определяется из нормировочного условияπ0 +NXi=1πi = π0 + π0N YiXλk−1=1⇒µki=1 k=1⇒ π0 =iN YXλk−11+µki=1 k=1Если N → ∞, то получаем очевидный аналог (17.5)!−1∞ YiXλk−1π0 = 1 +.µk!−1.
(17.5)(17.6)i=1 k=1Из формул (17.4) и (17.5), т. е. при конечном N , следует,что финальные вероятности состояний всегда существуют,124Разд. 3. Непрерывные цепи Марковаа из формул (17.4) и (17.6), т. е. при N → ∞, следует, чтофинальные вероятности состояний существуют, если ряд в (17.6)сходится, а он сходится всегда, когдаλk−16 α < 1,µk(17.7)т. е. всегда, когда начиная с некоторого k и для всех последующих интенсивность потока размножения меньше интенсивности потока гибели.Признаки классификации систем обслуживанияИз многочисленных признаков классификации СО мы остановимся лишь на четырех:• интенсивность простейшего входящего потока требований,• интенсивность простейшего потока обслуженных требований,• число обслуживающих приборов (канальность),• количество требований в системе.Далее рассматриваются четыре варианта возможных значений интенсивности входящего потока требований:• λi = λ ∀ i — постоянная интенсивность (неограниченныйпоток), (M − i) λ, 0 6 i 6 M ,• λi =— ограниченный поток (M0, i > Mисточников требований),• λi = iλ — интенсивность пропорциональна номеру состояния,const• λi =— интенсивность обратно пропорциональна ноi+1меру состояния (переполняющий поток).Число обслуживающих приборов может принимать три значения:• m = 1 — одноканальная система„• 1 < m < ∞ — m-канальная система,• m = ∞ — ∞-канальная система (для каждого вновь поступившего требования найдется свободный прибор).Предположение, состоящее в том, что поток требований, обслуженных каждым прибором, является простейшим с интенсивностью µ, имеет ряд следствий.
Во-первых, время обслуживаниятребований каждым прибором подчинено экспоненциальному125Лекция 17. Стационарные режимы cистем обслуживаниязакону с параметром µ; во-вторых, интенсивность µi обслуживания равна µ для одноканальной системы, iµ для ∞-канальнойсистемы, наконец, для m-канальной системы(iµ, 1 6 i 6 m,µi =(17.8)mµ, i > m.Количество требований в системе ограничивается числом K(K > m). Разность K − m интерпретируется как число местдля ожидающих обслуживания (ограничение на длину очереди).При K = m количество требований в системе ограничивается числом обслуживаюших приборов (система с потерями),при K = ∞ число требований в системе неограничено.
(K + 1)-етребование, поступающее в систему, не обслуживается и теряется. Формально это ограничение задается следующим назначением интенсивности входящего потока требований:(λ, i 6 K − 1,(17.9)λi =0, i > K.11 классов систем обслуживания (N → ∞)1. Система Эрланга (одноканальная система с неограниченным входящим потоком) — рис.
45.λλ10µλ2µλλii−1µµλi+1µµРис. 45λi = λ,(17.4) ⇒=i > 0;µi = µ,i > 1;K = ∞.λk−1λ= = ρ ⇒ πi = π0 ρi , i > 1 ⇒ (17.6) ⇒µkµ!−1∞Xi⇒ π0 = 1 +ρ= hρ < 1i =11−ρ− 1i=1= 1 − ρ ⇒ πi = (1 − ρ) ρ,i = 0, 1, 2, ... . (17.10)126Разд. 3. Непрерывные цепи МарковаМы получили исключительное геометрическое распределениес вероятностью успеха 1 − ρ, следовательно,ρρM ξ (∞) =, Dξ(∞) =.1−ρ(1 − ρ)22. Одноканальная система с переполняющим входящим потоком — рис. 46.cc/2102µc/(i + 1)c/iii−1µµi+1µРис. 46cλi =, i > 0; µi = µ > 1;i+1λc/kc(17.4) ⇒ k−1 ==⇒ πi =µkµkµK = ∞.iYc1= π0= π0 (c/µ)i , i = 0, 1, 2, ... ⇒kµi!k=1∞ iX1 −1c⇒= e−c/µ ⇒< ∞, (17.6) ⇒ π0 = 1 +µµi!DcEi=1 ic1 −c/µ⇒ πi =e,µ i!i = 0, 1, 2, ...
. (17.11)Получено распределение Пуассона с параметром c/µ; следовательно,cM ξ (∞) = Dξ (∞) = .µ3. ∞-канальная система с неограниченным входящим потоком — рис. 47.λ0λ1µλ2ii−1iµ2µРис. 47λλi+1(i + 1)µ127Лекция 17. Стационарные режимы cистем обслуживанияλi = λ,i > 0;µi = iµ,i > 1.iDλEYλk−1λλρi(17.4) ⇒=⇒= ρ ⇒ πi = π0= π0 ⇒µkkµµkµi!k=1⇒ h(17.6) , ρ < 1i ⇒ π0 =⇒ πi =∞ iXρ1+i=1ρi −ρe ,i!i!!−1= e−ρ ⇒i = 0, 1, 2, ... . (17.12)λПолучено распределение Пуассона с параметром ρ = ; следоваµтельно,λM ξ (∞) = Dξ (∞) = .µ4. m-канальная система с неограниченным входящим потоком — рис. 48.λλ10µλ2m−1m−22µλλλ(m−1)µmmµm+1mµРис. 48λi = λ,i = 0, 1, 2, ... ;µi =(iµ,0 6 i 6 m,im,i > m;K = ∞.Значения πi следует разбить на две части, соответствующиеi ∈ {0, 1, 2, ...
, m} и i ∈ {m + 1, m + 2, ... }.Пусть i 6 m, тогда согласно (17.4) получимDλEY λλk−1λρi=⇒= ρ ⇒ πi = π0= π0 .µkkµµkµi!i(17.13)k=1Пусть i > m, тогда согласно (17.4)mYρλλk−1ρ==⇒ πi = π0µkmµmkk=1iYρρi= π0,mm!mi−mk=m+1(17.14)128Разд. 3. Непрерывные цепи Марковагде согласно (17.6) π0 =mXρi1+i=1i!∞X+i=m+1ρim!mi−m− 1.5. Одноканальная система с ограниченным входящим потоком — рис. 49.Mλ(M −1)λ10µλ2λ2M −1M −2µµMµРис. 49λi =((M − i) λ,0,0 6 i 6 M,i > M;µi = µ,1 6 i 6 M.DλE= ρ ⇒ πi =Воспользуемся (17.4) и (17.6):λk−1µk (M − k + 1) λ ,µ=0, k > M16k6M⇒µiiYY(M − k + 1) λ= π0= π0(M − k + 1) ρ =µk=1k=1= π0 ρi M (M − 1) (M − 2) ... (M − i + 1) == π0 ρiM (M − 1) (M − 2) ... (M − i + 1) (M − i) ...
1=(M − i) (M − i − 1) ... 1= π0 ρiM!,(M − i)!где1 6 i 6 M ⇒ πi = 0,π0 =MXi=0i > M,M!ρ(M − i)!i!−1. (17.15)Лекция 17. Стационарные режимы cистем обслуживания1296. Одноканальная система с ограничением K на число требований, находящихся в системе (K > m = 1) — рис. 50.λλ10λ2µλλK−1K−2µµµKµРис.
50λi =(0,i > K,λ,0 6 i < K;µi = µ,1 6 i 6 K.Cогласно (17.4) и (17.6)λDλEλk−1 , 1 6 k 6 K ,µ=⇒=ρ<1 ⇒µkµ0, k > Ki π0 Q ρ = π0 ρi , 1 6 i 6 K ,⇒ πi =⇒k=10, i > KKX⇒ π0 =i=0ρi!−1=1−ρ. (17.16)1 − ρK+17. m-канальная система с неограниченным входящим потокоми с потерями — рис. 51.λ0λ1µλ2λλm−22µm−1(m−1)µmmµРис. 51λi =(λ,0 6 i 6 m − 1,0,i > m;5 Г.А. Соколовµi = iµ,1 6 i 6 m;K = m.130Разд. 3. Непрерывные цепи МарковаСогласно (17.4) и (17.6)λk−1µk λ , 1 6 k 6 m,DλEkµ=⇒=ρ ⇒µ0, k > miYρρi= π0 , 1 6 i 6 m ⇒ (17.17)ki!k=1!−1mXρii > m ⇒ π0 =⇒ формулы Эрланга.i!⇒ πi = π0⇒ πi = 0,i=08. ∞-канальная система с ограниченным входящим потоком(с M источниками требований) — рис.
52.Mλ0(M −1)λ1µλ2λ2M −2M −1(M −1)µ2µMMµРис. 52λi =((M − i) λ,0,0 6 i 6 M − 1,i > M;µi =(iµ,0,1 6 i 6 M,i > M;K = M = m.Согласно (17.4) и (17.6)λk−1=µk(M −k+1)λ,kµ0,k>M1 6 k 6 M,⇒DλµE=ρ ⇒iYM −k+1M −1 M −2 M −i+1iπi = π0ρ = π0 ρ M·...=k23ik=1131Лекция 17. Стационарные режимы cистем обслуживания= π0ρi M (M − 1) ... (M − i + 1) (M − i) (M − i − 1) ...1·=i!(M − i) (M − i − 1) ...1= π0 ρiM!i i= π0 CMρ,i! (M − i)!⇒ πi = 0,MXi > M ⇒ π0 =16i6M ⇒i iCMρi=0!−1= (1 + ρ)−M .(17.18)9. m-канальная система с ограниченным входящим потоком(с M источниками требований) и ограничением K на числотребований, находящихся в системе — рис. 53.M λ (M −1)λ01µ2m−22µm−1(m−1)µ(M −K+1)λ(M −m)λ(M −m+2)λmmµm+1KK−1mµmµРис.
53M > K > m;λi =((M − i) λ,0,0 6 i 6 K − 1,i > K;µi =(iµ,mµ,0 6 i 6 m,m < i 6 K.Разобьем множество значений i на два подмножества:[{0 6 i 6 m} {m + 1 6 i 6 K}.Пусть 0 6 i 6 m, тогда согласно примеру 8 при M = mλk−1(M − K + 1)λi i=⇒ πi = π0 CMρ;µkkµпусть m + 1 6 i 6 K , тогда согласно (17.4) и (17.7)DλEλk−1(M − k + 1) λ=⇒=ρ ⇒µkmµµiimYYYλk−1λk−1⇒ πi = π0= π0=µkµkk=15*k=m+1 k=1(17.19)132Разд. 3. Непрерывные цепи Маркова=mDYEλk−1i im m= CMρ |i=m = CMρ=µkk=1=m mπ0 CMρiYM −k+1ρ=mk=m+1=mπ0 CMiYρi(M − k + 1) =mi−mk=m+1m= π0 CMρi(M − m) (M − m − 1) ...
(M − i + 1) =mi−mm= π0 CMρi(M − m)!i!i i·= π0 CMρ. (17.20)i−mm(M − i)!m!mi−mИз нормировочного условия получаемπ0 =mXKXi iCMρ +i=m+1i=0i!i iCMρm!mi−m!−1.Два частных случая класса 910. m-канальная система с ограниченным входящим потокоми с потерями M > K = m (рис. 54).Mλ01µ(M −m+2)λ (M −m+1)λ(M −1)λ2m−22µm−1(m−1)µmmµРис. 54В этом случае из двух формул (17.19) и (17.20) остаетсятолько первая и мы получаем распределение Энгсета:i ρiCMπi = P,mk ρkCMk=0i = 0, 1, 2, ... , m.(17.21)133Литература11.
m-канальная система с ограниченным входящим потоком,при этом число требований в системе не должно превышать M ,т. е. M = K > m — рис. 55.Mλ0(M −1)λ1µ2λ(M −m)λmm−1mµ2µm+1MM −1mµmµРис. 55Формулы (17.19), (17.20) остаются в силе, ноπ0 =mXi=0i iCMρ +MXi=m+1i!i iCMρm!mi−m!−1.Литература1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов иее инженерные приложения.
— М: Наука. 1991.2. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов иих приложения. — М.: Наука, 1969.3. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массовогообслуживания. — М.: Наука, 1987.4. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. — М.: Машиностроение, 1979.5. Саати Т. Элементы теории массового обслуживания и ееприложения. М.: Советское радио, 1965.6. Феллер В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
