Теория случайных процессов (1042226), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Даны два СП ξ1 (t) = α1 cos2 ω1 t + α2 sin2 ω2 t и ξ2 (t) == β1 cos2 ω2 t + β2 sin2 ω2 t, где СВ αi , βi имеют нулевые математические ожидания, единичные дисперсии и коэффициентыкорреляции, равные 0,5, i = j = 1,r (αi , βj ) = −0,5, i = j = 2,ij = 2.0,1.23. Пусть ξ (t) и η (t)некоррелированные СП с2′′mξ (t) = t2 , Kξ t, t′ = ea(t+t ) ; mη (t) = 1, Kη t, t′ = eb(t −t) .Найти КВФ СП γ (t) = ξ (t) + tη (t) + cos t.1.24.

Пусть ξ (t) и η (t) −некоррелированные СП с2′mξ (t) = t, 5Kξ t, t′ = tt′ ; mη (t) = −t, Kη t, t′ = tt′ ea (t+t ) .Найти МО и КВФ СП γ (t) = t2 [ξ (t) + η (t)]. Как изменится КВФСП γ (t), если СП ξ (t) и η (t) — коррелированные с ВКВФ(1 − |t′ − t|, |t′ − t| < 1,′Kξη t, t =0,|t′ − t| > 1?§ 2. Построение дискретных марковских моделейВо всех задачах этого параграфа требуется построить ГСи МВП, а также финальные ВВС и МВП.2.1.

Рассмотрим производственную линию, где каждаяединица выпускаемой продукции с вероятностью p является142Сборник задачбракованной. Процедура контроля качества изделий состоит издвух этапов. На первом проверяется каждое изделие, пока непоявятся a годных изделий подряд. Тогда реализуется второйэтап контроля, который состоит в следующем. Из каждых bпоследующих изделий наугад выбирается одно и проверяется.Если оно будет годным, то второй этап повторяется, в противномслучае контроль осуществляется по правилам первого этапа.Решение. Введем в рассмотрение два состояния: i = 1 (i = 2)соответствует первому (второму) этапу контроля. Тогда РГСпримет вид, представленный на рис. 56. Эта цепь является неприводимой регулярной с МВПP =1 − (1 − p)a (1 − p)a1−1−pb1−pb1−(1−p)a1−(1−p)a12.1(1−p)b11− (1−p)bРис.

56Строим неподвижный для матрицы P стохастический вектор π в результате решения системы уравнений πP = π ,NP⇒ hв данном случаеi ⇒πi = 1i=1 π (1 − p)a + π 1 − p = π ,122b⇒⇒ hиз первого уравненияi ⇒π1 + π2 = 11−pb π ⇒ hиз нормировочного условияi ⇒⇒ π1 =(1 − p)a 21−143§ 2. Построение дискретных марковских моделей−11−p1−b + 1⇒ π2 =  ⇒ hфинальный ВВСi ⇒(1 − p)a−1 −1 1−p1−p1−p1− 1 − b  1 − b b + 1⇒ π =+1, aa (1 − p)a⇒(1 − p)(1 − p)ππ⇒ hфинальная МВПi Π =!.2.2. Рассматривается процесс перекладывания игральной кости с одной грани равновероятно на любую из четырех соседних.Решение.

Пусть номер грани есть состояние дискретной модели этого процесса (N = 6). Для каждой грани соседнимиявляются четыре грани, отличные от противоположной, т. е. дляпервой — отличные от шестой, для второй — отличные от пятой,наконец, для третьей — отличные от четвертой (рис. 57). Следовательно, моделирующая цепь имеет ГС, представленный нарис. 58, и МВП с элементами(0, i = j , j = 7 − i, 1 6 i, j 6 6;pij =1 /4иначе.Цепь является неприводимой регулярной с бистохастическойМВП ⇒ π = 1/4 ∀ i.121253436Рис.

57Рис. 58144Сборник задач2.3. Вычислительный центр (ВЦ) состоит из трех идентичных ЭВМ. Каждая из них с вероятностью p = 0,2 выходит изстроя и восстанавливается с вероятностью q = 0,7. В процессесвоего функционирования ВЦ может оказаться в одном из четырех состояний i ∈ {0, 1, 2, 3}, где i — число работающих ЭВМ.На одном и том же шаге одни ЭВМ могут выйти из строя,а другие — восстановиться.Ответ: ГС — см. рис. 59, вероятности перехода равныp2jp1jp3,j== C33−j p3−j (1 − p)j ,j = 0, 1, 2, 3;p2 (1 − q),j = 0,(1 − q)C21 p(1 − p) + p2 q ,(1 − p)(1 −q)2+qC21 p(1(1 − q)2 q ,j = 1,− p),p(1 − q)2 , (1 − p)(1 − q)2 + pC 1 q(1 − q),2=1 q(1 − q) + pq 2 ,(1−p)C22(1 − p)q ,p0j = C3j q j (1 − q)3−j ,j = 2,j = 3;j = 0,j = 1,j = 2,j = 3;j = 0, 1, 2, 3.0132Рис.

592.4. Имеются два набора по три монеты. В первом наборевсе монеты имеют вероятность выпадения герба p1 , во втором —p2 . Бросается один набор; если выпало хотя бы два герба, тов следующий раз бросается тот же набор, в противном случае —другой.§ 2. Построение дискретных марковских моделей145Решение. Моделирующая цепь имеет четыре состояния:i = 1 (i = 3), если выпало менее 2Г (двух гербов) при бросании первого (второго) набора;i = 1 (i = 4), если выпало не менее 2Г при бросании первого(второго) набора.На рис.

60 приведен ГС ⇒ цепь является неприводимойрегулярной.1234Рис. 60Для построения МВП найдем вероятности введенных вышесобытий:1XC3i p1i (1 − p1 )3−i ,P1 = P {i = 1} =i=03XC3i p1i (1 − p1 )3−i , P2 = P {i = 2} =i=21XP=P{i=3}=C3i p2i (1 − p2 )3−i ,3i=03XC3i p2i (1 − p2 )3−i ; P4 = P {i = 4} =i=2тогда для МВП получим00P3 1 − P3 P1 1 − P1 00P = P1 1 − P1 0000P3 1 − P3.146Сборник задачНеподвижный вектор легко получить из системы уравнений:1π,=11 − P1 1 − P32++P1P3(π2 + π3 )P1 = π1 , (π2 + π3 )(1 − P1 ) = π2 ,1 − P1π1 ,⇒ π2 = P1 (π1 + π4 )P3 = π3 ,π3 = π1 ,π1 + π2 + π3 + π4 = 11 − P3 π4 =π1 .P32.5.

Подбрасывается правильная монета (Г — герб, Ц —цифра) и рассматриваются исходы (Г,Г), (Г,Ц), (Ц,Г), (Ц,Ц)в двух последовательных опытах. Если в (n, n + 1)-х опытахимел место, например, исход (Г,Ц), то в (n + 1, n + 2)-х опытахвозможны лишь исходы (Ц,Ц) или (Ц,Г), аналогично и в другихслучаях.Ответ: РГС представлен на рис. 61.1/21/2Ö1/21/21/2ÖÖ1/21/21/2ÖРис. 612.6.

Семь школьников играют в мяч: первый бросает еговторому, второй — наугад третьему или седьмому, третий —наугад первому, второму или седьмому, четвертый — первому,пятый — наугад одному из первых четырех, шестой — наугадвторому или седьмому, наконец, седьмой — наугад одному изигроков с четным номером.147§ 2. Построение дискретных марковских моделей2.7. Модель восполнения запасов. Рассматривается система,в которой запасается товар с целью удовлетворения случайногоспроса, имеющего распределение, представленное в табл. 2.1.Т а б л и ц а 2.1x012345p (x)0,050,150,250,250,200,10В исходном состоянии запас равен 5 и расходуется на протяжении шага в соответствии со спросом.

К началу каждого шагазапас восполняется до исходного уровня.Ответ: см.Öрис. 62.ÖÖÖ0,05110,1540,1051110,250,250,201320Рис. 622.8. Рассматривается игра двух лиц M (с капиталом в mставок) и K (с капиталом в k ставок). На каждом шаге игры Mвыигрывает одну ставку с вероятностью p и проигрывает с вероятностью q = p − 1. Текущее состояние игры i = 0, 1, 2, ... m ++ k равно текущему капиталу игрока M . Игра продолжается досостояния i = 0 (разорение M ) или i = m + k (разорение K ).Задача имеет ряд вариантов (табл.

2.2).Т а б л и ц а 2.2№ вариантаmkp1230,52140,63410,5148Сборник задачОтвет (для варианта 1): РГС — см.10 0 0 0ÖÖÖ 0,616 0 0 0 0Ö 0,360 0 0 0 0Π= 0,190 0 0 0 0 0,076 0 0 0 000 0 0 010,40рис. 63, матрица00,384 0,640 .0,810 0,924 10,610,41250,40,60,4340,60,6Рис. 632.9. Система обслуживания.

Клиенты поступают в системуобслуживания в моменты времени 0,1,2,. . . и обслуживаютсяодним мастером по очереди. За один шаг обслуживается одинклиент. Если в системе находится i клиентов, то на очередномшаге в систему поступит j новых клиентов с условной вероятностью, заданной табл. 2.3.Т а б л и ц а 2.3PPPP jPPiP012345000,20,20,30,20,1100,30,40,20,120,10,40,30,230,20,50,340,50,551,0ÖÖÖÖ149§ 2. Построение дискретных марковских моделейОтвет: РГС — см. рис.

64.0,300,10,20,210,20,3540,50,10,10,210,420,20,30,30,530,40,20,5Рис. 642.10. Мобильность профессий при смене поколений. Рассмотрим шесть вузов: технический, металлургический, педагогический, нефтяной, физический и экономический. Дети выпускников педагогического и нефтяного институтов с вероятностью 1поступают в те же учебные заведения. 60 % детей металлургов идут по стопам своих родителей, остальные предпочитаюттехнический вуз. Только 19 % детей выпускников последнегостремятся получить высшее техническое образование, остальныесчитают более перспективными, причем в равной мере, нефтяной,физический и экономический институты.

50 % детей как физиков, так и экономистов сохраняют преемственность профессий,остальные уже подали заявления в экономический и педагогический вузы соответственно.2.11. Некий коммивояжер (К) совершает деловые поездки изгорода 0 по следующим маршрутам. Прежде всего, из города 0он посещает либо город 1, либо 2; из города 1 путь К лежитлибо в город 3, либо в 4; из города 2 К едет либо в город 4,либо в 5; из городов 3, 4, 5 К возвращается в город 0. При этомпоездки 0 ⇒ 2, 1 ⇒ 3, 2 ⇒ 4, осуществляются в том случае, еслипри бросании двух, четырех или шести монет выпадают два, триили четыре герба соответственно.Второй вариант этой задачи отличается от первого незначительно: из городов 3 и 5 К возвращается в город 0 через город 4.Ответ: для первого варианта задачи моделирующая цепь —неразложимая циклическая, для второго варианта — неразложимая регулярная.150Сборник задач2.12. У профессора имеются пять излюбленных вопросов,один из которых он задает на каждом экзамене.

Если в прошлыйраз он задал вопрос 1 или 2, то в этот раз он не задает этивопросы, а бросает две игральные кости: если выпадет хотя быодна единица, то он задает вопрос 3, если же выпадут четныецифры, то вопрос 4.Если в прошлый раз профессор задал один из вопросов 3, 4,5, то в этот раз он снова бросает две игральные кости и задаетвопрос 1, еслиÖ сумма выпавших цифр — четная.ÖÖ второй вариант задачи, когда профессор задаетВозможенÖвопрос, выбранныйнаугад из множества возможных.Ответ: МВП для первого и второго вариантов имеют видсоответственно11/36 9/36 16/361 /3 1 /3 1 /311/36 9/36 16/36 1 /3 1 /3 1 /3 , . 1 /2 1 /2 1 /2 1 /21 /2 1 /21 /2 1 /22.13.

A и B играют в шахматы несколько партий. A выигрывает одну партию с вероятностью p и проигрывает с вероятностью q = p − 1. Игра продолжается до тех пор, пока один изигроков не выиграет две партии.Ответ: РГС представлен на рис. 65.0-0pq1-00-1qpqp1-10-2q2-0p112-11-211Рис. 65ÖÖÖÖ151§ 2. Построение дискретных марковских моделей2.14.

Характеристики

Список файлов книги