Теория случайных процессов (1042226), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Уравнения Колмогоровагде p2 (x) = x2 + 5x + 5 = (x + 3,62)(x + 1,38), т. е. корни функции p2 (x) равныa1 = −3,62;a2 = −1,38 ⇒ p2 (0) = 5 ⇒ p′2 (x) = 2x + 5 ⇒⇒ p′2 (a1 ) = −2,24,p′2 (a2 ) = 2,24.Используя табл. 13.1, переходим от изображений Li к оригиналам πi : −3,62t23ee−1,38tL1 =+⇒ π1 (t) = 2++p2 (x) xp2 (x)2,242,241e−3,62te−1,38t+3++=5 −2,24(−3,62) −2,24(−1,38)= 0,6 − 0,52e−3,62t + 0,57e−1,38t ;0,50,5L3 =+⇒ π3 (t) = 0,5p2 (x) xp2 (x)+ 0,5e−3,62t e−1,38t+−2,242,241e−3,62te−1,38t++5 −2,24(−3,62) 2,24(−1,38)+== 0,1 − 0,16e−3,62t + 0,06e−1,38t ;p2 (t) = 1 − p1 (t) − p3 (t) = 0,3 − 0,94e−3,62t − 0,64e−1,38t .Финальные вероятности состояний можно найти тремя способами. π1 = 0,6,а) π(t) −−−→π2 = 0,3,t→∞ π3 = 0,1.б) Полагая в системе уравнений Колмогорова π̇(t) = 0, πi (t) == πi ∀ i, получим2π2 − π1 = 0,π = 0,6, 10,5π2 − 1,5π3 = 0, ⇒π2 = 0,3, π +π +π =1 π = 0,1.1233186Сборник задачв) Используя свойства изображений, получим2(x + 1,5)−−→ π1 = 0,6, xL1 = p2 (x) −x→0⇒ π2 = 1 − π1 − π3 = 0,3.0,5(x+1) xL3 =−−−→ π3 = 0,1p2 (x)x→05.2.

См. рис. 84.1/312π2 ( 0 ) = 17/121 /41 /43Рис. 84Решение. По ГС, используя мнемоническое правило (лекция13), получаем систему уравнений Колмогорова:17π1 (t),π̇1 (t) = π2 (t) −31211π̇3 (t) = π2 (t) − π3 (t),44π1 (t) + π2 (t) + π3 (t) = 1, π2 (0) = 1.С помощью табл. 13.1 переходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно изображений Li = Li (x) инаходим ее решение:717L2 = 3 x +L1 ,xL1 = L2 −L1 ,123121 /4 L 11 /411⇒L3 ==,xL=L−L,323x + 1 /4xp2 (x)44 L 1 = x + 1 /4 ,L1 + L2 + L3 = 1/xxp2 (x)где187§ 5. Непрерывные цепи.

Уравнения Колмогороваp2 (x) = 3x2 +71695x+=3 x+x+⇒2151212⇒ a1 = −⇒ p2 (0) =95, a2 = −— корни полинома ⇒121215 ′7, p2 (x) = 6x + ⇒ p′2 (a1 ) = −1,162p′2 (a2 ) = 1.Возвращаемся вновь к табл. 13.1 и для изображений L1 и L3находим оригиналы:"#1 16e(−9/12)te(−5/12)tL3 ⇒ π3 (t) =++=4 15 −1(−9/12) 1(−5/12)= 0,27 + 0,33e(−9/12)t − 0,6e(−5/12)t ;L1 =1 /4+ 1p2 (x) ⇒xp2 (x)⇒ π1 (t) = 0,27 + 0,33e(−9/12)t − 0,6e(−5/12)t +e(−9/12)t e(−5/12)t+=−11= 0,27 − 0,67 e(−9/12)t + 0,4e(−5/12)t ⇒ π2 (t) = 1 − π1 (t) − π3 (t) == 0,46 + 0,34 e(−9/12)t + 0,20e(−5/12)t .Найдем финальные вероятности состояний тремя способами.π1 (t) −−−→ π1 = 0,27,t→∞π2 (t) −−−→ π2 = 0,46,а)t→∞ π3 (t) −−−→ π3 = 0,27.t→∞б) Положим в системе уравненийπi (t) = πi ∀ i и получим17π−π=0,1231211⇒π2 − π3 = 0,44 π +π +π =1123Колмогорова π̇(t) = 0,π1 = 0,27,π2 = 0,46,π3 = 0,27.188Сборник задачв) Согласно свойствам изображенийx + 1 /4xL1 =−−−→ π1 = 0,27,3(x+9/12)(x+5/12)x→0(x + 7/12)(x + 1/4)xL2 =−−−→ π2 = 0,46,(x+9/12)(x+5/12)x→01 /4 xL3 =−−−→ π = 0,27.(x + 9/12)(x + 5/12) x→0 35.3.

См. рис. 85.0,51123π1 ( 0 ) = 110,5Рис. 85Ответ:=L1 =(x + 1)(2x + 1),xp2 (x)x+1, p (x) = 2x2 + 6x + 3,xp2 (x) 2L2 =2x + 1,xp2 (x)L3 =π1 (t) = 1/3 + 0,622e−2,366t ++ 0,045e−0,634t ,π1 (0) = 1, π2 (t) = 1/3 − 0,455e−2,366t −− 0,122e−0,634t , π3 (t) = 1/3 − 0,167e−2,366t − 0,167e−0,634t .5.4. См.

рис. 86.21213π2 ( 0 ) = 120,5Рис. 86Ответ: L1 =2x + 1,5,xp2 (x)L2 =x2 + 2,5x + 1x+2, L3 =,xp2 (x)xp2 (x)p2 (x) = x2 + 5,5x + 4,5, π1 (t) = 1/3 − 0,476e−4,5t + 0,142e−t ,π2 (t) = 2/9 + 0,633e−4,5t + 0,144e−t , π2 (0) = 1, π3 (t) = 4/9 −− 0,157e−4,5t − 0,28e−t .§ 5. Непрерывные цепи. Уравнения Колмогорова1895.5. См. рис. 87.111012π1 ( 0 ) = 12Рис. 87x+2,xp2 (x)Ответ: L0 =(x + 2)(x + 1)x+1, L2 =,xp2 (x)xp2 (x)L1 =p2 (x) = x2 + 5x + 5, π0 (t) = 2/5 − 0,20e−3,62t − 0,18e−1,38t ,π1 (t) = 2/5 + 0,523e−3,62t + 0,057e−1,38t , π1 (0) = 1, π2 (t) = 1/5 −− 0,323e−3,62t + 0,123e−1,38t .5.6. См.

рис. 88.11/21012π1 ( 0 ) = 12Рис. 88(x + 2)(x + 2)(x + 1)x+1, L1 = 2, L2 =,xp2 (x)xp2 (x)xp2 (x)422p2 (x) = 2(x + 3)(x + 1,5), π0 (t) = − e−3t − e−1,5t , π1 (t) =9994 4 −3t 1 −1,5t1 2 −3t 1 −1,5t= + e + e, π1 (0) = 1, π2 (t) = − e+ e.9 999 99Ответ: L0 = 25.7. См. рис. 89.11/21213π1 ( 0 ) = 11Рис. 89Решение: Согласно мнемоническому правилу (лекция 13) составляем систему уравнений Колмогорова для первых двух состояний190Сборник задачπ̇1 (t) = −2 π1 (t), π1 (0) = 1,π̇2 (t) = 0,5 π3 (t) + π1 (t) − π2 (t),π1 (t) + π2 (t) + π3 (t) = 1.С помощью табл. 13.1 переходим к системе линейных алгебраических уравнений в изображениях1L=,1x+2xL,−1=−2L112(x + 1),xL2 = L1 − L2 + 0,5 L3 , ⇒ L2 =x(x + 2)(2x + 3)L1 + L2 + L3 = 1/x21L ==.3x(2x + 3)x(x + 1,5)Возвращаясь вновь к табл. 13.1, найдем оригиналы для изображений L1 и L3 :L1 :p1 (x) = x + 2 ⇒ p′1 (x) = 1 ⇒ a = −2 ⇒ π1 (t) = e−2t ,L3 :p1 (x) = x + 1,5 ⇒ p′1 (x) = 1 ⇒ a = −1,5 ⇒⇒ π3 (t) =Следовательно,2 1 − e−1,5t ;3π2 (t) = 1 − π1 (t) − π3 (t) = 1/3 − e−2t + 2/3 e−1,5t .Найдем финальные вероятности состояний тремя способами.π (t) → π1 = 0, 1а) При t → ∞ имеем:π2 (t) → π2 = 1/3, π (t) → π = 2/3.33б) Полагая в системе уравнений Колмогорова π̇(t) = 0, πi (t) == πi ∀ i, получим −2 πi = 0,0,5 π3 − π2 = 0 ⇒ π1 = 0, π2 = 1/3, π3 = 2/3, π + π + π = 1.123§ 5.

Непрерывные цепи. Уравнения Колмогорова191в) Аналогичные реэультаты можно получить с помощью изображений.5.8. См. рис. 90.101/21121/2π1 ( 0 ) = 11/2Рис. 90Ответ: L0 =2x + 14 x2 + 8 x + 38x2 + 21x + 7, L1 =, L2 =,xp2 (x)xp2 (x)x(2x + 1)p2 (x)p2 (x) = 4(x + 2,31)(x + 1,19),π0 (t) = 0,09 − 0,346 e−2,31t ++ 0,258 e−1,19t , π1 (t) = 0,273 + 0,568 e−2,31t + 0,16 e−1,19t ,π1 (0) = 1.5.9.

См. рис. 91.11211411π3 ( 0 ) = 13Рис. 91Решение. Система уравнений Колмогорова, составленнаяпо мнемоническому правилу (лекция 13) относительно состояний1, 2, 4 и дополненная нормировочным условием, имеет видπ̇1 (t) = π4 (t) − 2π1 (t), π̇2 (t) = π1 (t) − π2 (t),π̇4 (t) = π3 (t) − π4 (t),π1 (t) + π2 (t) + π3 (t) + π4 (t) = 1.192Сборник задачПереходим к системе линейных алгебраических уравнений относительно изображений:1+x,L1 =xp3 (x)xL1 = L4 − 2L1 ,1L =, xL2 = L1 − L2 , 2 xp3 (x)⇒xL4 = L3 − L4 ,(1 + x)2 (2 + x)L=,3xp(x)3L1 + L2 + L3 + L4 = 1/x,(1 + x)(2 + x) L4 =,xp3 (x)где p3 (x) = 1 + (1 + x)(x2 + 4x + 5) = x3 + 5x2 + 9x + 6.Из курса высшей алгебры известно, что полином третьейстепени с действительными (в нашем случае — целочисленными)коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень α,который является делителем свободного члена (в нашем случае — 6).

Непосредственной проверкой легко убедиться в том,что α = −2 иp3 (x) = (x + 2)(x2 + 3x + 3),причем квадратичный сомножитель не имеет действительныхкорней.При стандартном продолжении получаемp3 (0) = 6,p′3 (x) = 3x2 + 10x + 9 ⇒ p3 (−2) = 1и переходим к построению оригиналов по формулам табл. 13.1:L1 =11111e−2te−2t+⇒ π1 (t) = ++= + e−2t ,xp3 (x) p3 (x)6(−2)1162L2 =11 1⇒ π2 (t) = − e−2t ,xp3 (x)6 2x32++удобно сначала найти прообразыp3 (x) p3 (x) p3 (x)для каждого слагаемого, а затем сложить их.для L4 =§ 5.

Непрерывные цепи. Уравнения Колмогорова193Итак,x−2 −2t⇒e ,p3 (x)1 x3⇒ e−2t ,⇒p(x)13112e−2t⇒2+= − e−2txp3 (x)6 (−2)13⇒ L4 ⇒ π4 (t) =11⇒ π3 (t) = .33Найдем финальные вероятности состояний тремя способами. π1 (t) → π1 = 1/6, π2 (t) → π2 = 1/6,а) При t → ∞π3 (t) → π3 = 1/3,π4 (t) → π4 = 1/3.б) Положим в системе уравнений Колмогорова π̇(t) = 0,πi (t) = πi ∀ i, тогдаπ4 − 2π1 = 0, π − π = 0,1112⇒ π1 = π2 = , π3 = π4 = .63π3 − π4 = 0,π1 + π2 + π3 + π4 = 1в) Воспользуемся свойствами изображений:xL1 → π1 = 1/6, xL2 → π2 = 1/6,При x → 0xL3 → π3 = 1/3, xL4 → π4 = 1 .35.10. Рассматривается процесс работы ЭВМ. Потокотказов — простейший с интенсивностью λ. Неисправность7 Г.А. Соколов194Сборник задачобнаруживается по прошествии времени ∆, τ — время ремонта.∆ и τ имеют экспоненциальное распределение с параметрами νи µ соответственно.Ответ: если i = 0 (ЭВМ исправна и работает), то L0 =(x + ν)(x + µ)=; если i = 1 (ЭВМ неисправна, но это не обнаxp2 (x)l(x + µ)ружено), то L1 =; если i = 2 (ЭВМ ремонтируется), тоxp2 (x)νλL2 =, где p2 (x) = x2 + (ν + µ + λ)x + νµ + λµ + ν λ.xp2 (x)5.11.

Характеристики

Список файлов книги