Теория случайных процессов (1042226), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Введение в теорию вероятностей и ее приложения.М.: Мир, 1964.СБОРНИК ЗАДАЧНастоящий «Сборник» продолжает лекционную часть семестрового курса по случайным процессам для экономистов. В немиспользуются обозначения, терминология, методология решения,наконец, тематическая последовательность материала, принятаяв лекциях.
Первый параграф «Сборника» соответствует первому параграфу лекций. Параграфы 2–4 «Сборника» охватываютматериал, посвященный в лекциях дискретным цепям Марковас доходами и без доходов; наконец, в §§5–7 предлагаются задачи,относящиеся к непрерывным цепям Маркова и их экономическому приложению.Часть задач имеют достаточно подробные решения; дляостальных, как правило, дается или ответ, или подсказка. Многие задачи заимствованы из тех руководств, которые перечислены в списках литературы разделов, без «персональных» ссылок.По мнению автора, примеры и задачи, содержащиеся в обеихчастях настоящего пособия, обеспечивают в полном объеме проведение аудиторных и домашних занятий, а также выполнениекурсовых работ.§ 1. Элементарные случайные функции (процессы)1.1.
СП имеет вид ξ (t) = c, где c — неслучайная величина.Найти МО, D и КВФ; является ли СП стационарным?Ответ: M ξ (t) = c, Dξ (t) = Kξ (t, t′ ) = 0; СП стационарен.1.2. СП имеет вид ξ (t) = α, где α ∈ N m, σ 2 . Найти МО,D, КВФ; является ли СП стационарным?Ответ: M ξ(t) = m, Dξ(t) = Kξ (t, t′ ) = σ 2 ; CП стационарен.1.3. СП ξ (t) представляет собой неслучайную функцию f (t).Найти МО, D, КВФ, является ли СП стационарным?Ответ: M ξ (t) = f (t) , Dξ (t) = Kξ (t, t′ ) = 0; СП стационарен, если f (t) = const, и нестационарен в противном случае.§ 1. Элементарные случайные функции (процессы)1.4. СП имеет вид ξ (t) = f (t) +nP135αi ϕi (t), где f (t) иi=1ϕi (t) — неслучайные функции, а αi — независимые СВ с M αi == 0 и Dαi = σi2 .
Найти МО, D и КВФ.nPОтвет: M ξ (t) = f (t), Dξ (t) =σi2 ϕ2i (t), Kξ (t, t′ ) ==nPi=1i=1σi2 ϕi (t) ϕi (t′ ).1.5. Найти МО, D, КВФ и ВКВФ СП ξ (t) = a (t) ξ + b (t)и η (t) = c (t) ξ + d(t), где a (t), b (t), c (t), d (t) — неслучайныефункции, ξ — СВ с математическим ожиданием m и дисперсией σ 2 .Решение.M ξ (t) = a (t) m + b (t) ,M η (t) = c (t) m + d (t) ,Dξ(t) = a2 (t) σ 2 , Dη (t) = c2 (t) σ 2 ,Kξ t, t′ = cov a (t) ξ + b(t), c t′ η + d t′ = = cov a (t) ξ , a t′ ξ = a (t) a t′ σ 2 ,Kξη t, t′ = cov a (t) ξ + b (t) , c t′ ξ + d t′ = = cov a (t) ξ , c t′ ξ = a (t) c t′ σ 2 .1.6. Пусть ξ (t) = α1 cos ω1 t + α2 sin ω1 t и η (t) = β1 cos ω2 t ++ β2 sin ω2 t — два СП, где α1 , α2 , β1 , β2 — СВ с МО, равныминулю, дисперсиями, равными соответственно Dαi = 1, Dβi = 4,и корреляционной матрицей, равнойα1α11β1 0,5α2β2α2β1β20,511−0,5−0,5 .1Найти ВКВФ и вычислить ее значение при t = 0, t′ = 1.136Сборник задачРешение.Kξη t, t′ = cov α1 cos ω1 t + α2 sin ω1 t, β1 cos ω2 t′ + β2 sin ω2 t′ == cos ω1 t cos ω2 t cov (α1 , β1 ) + cos ω1 t sin ω2 t′ cov (α1 , β2 ) ++ sin ω1 t cos ω2 t′ cov (α2 , β1 ) + sin ω1 t sin ω2 t′ cov (α2 , β2 ) == cos ω1 t cos ω2 t′ · 0,5 · 1 · 2 + sin ω1 t sin ω2 t′ · (−0,5) · 1 · 2 == cos ω1 t + ω2 t′ ;Kξη t, t′ = cos ω1 t + ω2 t′ |t=0,t′ =1 = cos ω2 .1.7.
СП имеет вид ξ (t) = α cos (ωt − β) , где α ∈ N 0, σ 2 ,β ∈ R (0, 2π) — независимые СВ, ω > 0 — неслучайный параметр.Найти МО, D, КВФ; является ли СП стационарным?Решение.ξ (t) = α cos (ωt − β) = α (cos ωt cos β + sin ωt sin β) == hU = α cos β , V = α sin βi = U cos ωt + V sin ωt.DНайдем характеристики СВ U и V : предварительноM cos β = M sin β = 0,=2Zπ0M sin2 β = M cos2 β =11cos2 x dx =2π4π2Zπ(1 + cos 2x) dx =0M sin β cos β = M2π1= ,4π2E1sin 2β = 0 ⇒2⇒ M U = M αM cos β = 0 ⇒ hаналогичноi ⇒ M V = 0 ⇒⇒ DU = M (α cos β)2 = M α2 M cos2 β = σ 2 M cos2 β =⇒ hаналогичноi ⇒ DV = M (α sin β)2 =σ2⇒2σ2⇒2⇒ cov (U , V ) = M U V = M α2 sin β cos β = σ 2 M sin β cos β = 0 ⇒⇒ hСВ U и V некоррелированыi ⇒ Dξ (t) =§ 1. Элементарные случайные функции (процессы)137σ2⇒ Kξ t, t′ =2= cov U cos ωt + V sin ωt, U cos ωt′ + V sin ωt′ == cov U cos ωt, U cos ωt′ + cov V sin ωt, V sin ωt′ == cos2 ωtDU + sin2 ωtDV == DU cos ωt cos ωt′ + DV sin ωt sin ωt′ =σ2cos ω(t′ − t) ⇒2⇒ СП ξ (t) стационарен.1.8.
Рассмотрим СП ξ (t) =NPi=0αi cos (ωi t − βi ), αi ∈ N 0, σi2 ,βi ∈ R (0, 2π), i = 0, 1, 2, ... , n — независимые СВ. Найти МО, D,КВФ; является ли СП стационарным?Решение. Согласно примеру 1.7 СП ηi (t) = Ui cos ωi t ++ Vi sin ωi t имеет некоррелированные СВ Ui и Vi c нулевыми МО,σ2σ2дисперсиями, равными, и КВФ Kηi (t, t′ ) = i cos ωi (t′ − t).22Следовательно, СП ξ (t) как сумма некоррелированных СПимеетnXM ξ (t) =M ηi (t) = 0,i=0Dξ (t) =nXnDηi (t) =i=0Kξ t, t′ =nXi=0 1Kηi t, t′ =2и является стационарным процессом.1.9. СП η (t) =nP1X 2σi ,2i=0nXi=0σi2 cos ωi t′ − tai ξi (t) + b, ξi (t) — стационарные некорре-i=0лированные СП с M ξi (t) = mi , Dξi (t) = σi2 , Kξi (τ ), где ai , b —неслучайные числа.
Найти числовые характеристики СП η (t);является ли он стационарным?nnPPОтвет: M η (t) =ai mi , Kη (τ ) =a2i Kξi (τ ), η (t) — стационарный СП.i=1i=0138Сборник задач1.10. СП η (t) =nQξi (t), ξi (t) — независимые стационарныеi=1СП с M ξi (t) = mi и КВФ Kξi (τ ), i = 1, 2, ... , n. Найти характеристики СП η (t).nnQQmi , Kη (τ ) =Kξi (τ ), η (t) — стациоОтвет: M η (t) =i=1нарный СП.i=11.11. Показать, что СП ξ (t) = cos (t + ϕ) и η (t) = sin (t + ϕ),где ϕ ∈ R (0, 2π), стационарны и взаимно стационарны.Решение.1M ξ (t) =2π2Zπ1cos (t + x)dx = 0, M η (t) =2π02Zπsin (t + x)dx = 0,0Kξ t, t′ = M ξ˙ (t) ξ˙ t′ = M cos(t + ϕ) cos t′ + ϕ =1M [cos t′ − t + cos t + t′ + 2ϕ ] =2′= t − t = τ , M cos t + t′ + 2ϕ = 0 ===Kξ (τ )111= cos τ ,cos τ ⇒ Dξ (t) = cos 0 = ⇒ r (τ ) =222Kξ (0)Аналогично определяютсяKξη 11Kη t, t′ = cos τ ⇒ Dη (t) = ⇒ r (τ ) = cos τ ,22t, t′ = M ξ˙ (t) η̇ t′ = M cos (t + ϕ) sin t′ + ϕ ===1M [sin t′ − t + sin t′ + t + 2π ] =21 112 sin τsin t′ − t = sin τ ⇒ rξη (τ ) = q= sin τ.221 1·2 2Таким образом, СП ξ (t) и η (t) стационарны и взаимно стационарны.§ 1.
Элементарные случайные функции (процессы)1391.12. Найти числовые характеристики СП η (t) = ξ1 cos ωt ++ ξ2 sin ωt, где независимые СВ ξ1 и ξ2 подчинены стандартномунормальному закону, а ω — неслучайный параметр.Решение.′M η (t) = M ξ1 cos ωt + M ξ2 sin ωt = 0,Dη (t) = Dξ1 cos2 ωt + Dξ2 sin2 ωt = 1,K t, t = cov[ξ1 cos ωt + ξ2 sin ωt, ξ1 cos ωt′ + ξ2 sin ωt′ ] == cov ξ1 cos ωt, ξ1 cos ωt′ + cov ξ2 sin ωt, ξ2 sin ωt′ == cos ωt cos ωt′ + sin ωt sin ωt′ = cos ω t′ − t = rη t, t′ .21.13. Пусть ξ (t) — стационарный СП с КВФ Kξ (τ ) = ae−bτ ,где a > 0, b > 0 — константы.
Найти КВФ СП η (t) = cξ (t), гдеc > 0 — константа.2Ответ: K (t, t′ ) = ac2 e−bτ .1.14. Являются ли стационарными СП ξ (t) и η (t) = ξ˙ (t),если ξ (t) = t + α sin t + β cos t, где НОР СВ α и β имеют нулевыематематические ожидания?Решение. M ξ (t) = t ⇒ СП ξ (t) не является стационарным,ξ˙ (t) = α sin t + β cos t ⇒ M ξ˙ (t) = 0 ⇒⇒ Kξ̇ t, t′ = cov α sin t + β cos t, α sin t′ + β cos t′ == cov α sin t, α sin t′ + cov β cos t, β cos t′ == σα2 sin t sin t′ + σβ2 cos t cos t′ == hσα = σβ = σi = σ 2 cos t′ − t ⇒ СП ξ̇ (t) стационарен.1.15.
Являются ли СП ξ (t) = −α sin t + β cos t и η (t) == α cos t + β sin t стационарными и взаимно стационарными, еслиα и β — некоррелированные СВ с нулевыми математическимиожиданиями и единичными дисперсиями.Решение.Kξ t, t′ = cov −α sin t + β cos t, −α sin t′ + β cos t == cov −α sin t, −α sin t′ + cov β cos t, β cos t′ =140Сборник задач= sin t sin t′ Dα + cos t cos t′ Dβ = cos t′ − t ⇒ hаналогичноi ⇒⇒ Kη t, t′ = cos t′ − t ⇒ оба СП стационарны;Kξη t, t′ = cov −α sin t + β cos t, α cos t′ + β sin t′ == cov −α sin t, α cos t′ + +cov β cos t, β sin t′ == − sin t cos t′ + cos t sin t′ = sin t′ − t ⇒⇒ СП взаимно стационарны.1.16.
Найти числовые характеристики СП η (t) = ξ (t) + ϕ (t)и γ (t) = ξ (t) ϕ (t) , если ξ (t) — СП, а ϕ (t) — детерминированнаяфункция.Решение.M η (t) = mξ (t) + ϕ (t) ,M γ (t) = mξ (t) ϕ (t) ,Kη t, t′ = cov ξ (t) + ϕ (t) , ξ t′ + ϕ t′ =Kγ= cov ξ (t) , ξ t′ = Kξ t, t′ ,t, t′ = cov ξ (t) ϕ (t) , ξ t′ ϕ t′ = ϕ (t) ϕ t′ Kξ t, t′ ,Kηγ t, t′ = cov ξ (t) + ϕ (t) , ξ t′ ϕ t′ == cov ξ (t) , ξ t′ ϕ t′ = ϕ t′ Kξ t, t′ .1.17. Определить числовые характеристики СП η (t) == a (t) ξ (t) + b (t) , если a(t) и b(t) — детерминированныефункции, а Kξ (t, t′ ) и mξ (t) заданы.1.18. Определить КВФ СП ξ (t) =nPi=1(αi cos it + βi sin it), ес-ли αi и βi — независимые СВ, M αi = M βi ∀ i, Dαi = Dβi = σi2∀ i.
Является ли СП ξ (t) стационарным?nPОтвет: Kξ (t, t′ ) =σi2 cos i (t′ − t) .i=1§ 2. Построение дискретных марковских моделей1411.19. Найти числовые характеристики СП ξ (t) = e(α+β)t ,если (α, β) ∈ N N m1 , m2 , σ12 , σ22 , r .1.20. Найти числовые характеристики СП ξ (t) = αt (1 + αt),если α ∈ R(0, 1).1.21. Найти числовые характеристики СП ξ (t) = α2 cos 2t ++ β sin t, если (α, β) ∈ N N (0, 0, 1, 1, 0) .1.22.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
