Теория случайных процессов (1042226), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Время пребыванияв каждом состоянии — экспоненциальное с параметрами 5, 1,1 соответственно. Определить вероятности состояний студентав произвольный момент времени t и при t → ∞, если в начальныймомент времени (t = 0) студент занимается.Если жизненный цикл студента моделируется НЦМ, тограф состояний, размеченный интенсивностями переходов, примет вид, представленный на рис. 33.152131Рис. 33По ГС (следуя мнемоническому правилу) составляем системууравнений Колмогороваπ̇1 (t) = π3 (t) − 5π1 (t), π̇2 (t) = 5π1 (t) − π2 (t),π̇3 (t) = π2 (t) − π3 (t),π 1 (0 ) = 1 .Лекция 13. Дифференциально-разностные уравнения Колмогорова99Исключаем первое уравнение и добавляем нормировочноеусловие:π̇2 (t) = 5π1 (t) − π2 (t), π̇ (t) = π (t) − π (t),323π1 (t) + π2 (t) + π3 (t) = 1,π 1 (0 ) = 1 .Переходим к изображениям:xL2 = 5L1 − L2 ,xL3 = L2 − L3 , L1 + L2 + L3 = 1 .xИз первого и второго уравнений соответственно находимL1 =(x + 1) L2,5L3 =L2x+1и подставляем в третье:(x + 1) L2L21+ L2 += ,5x+1xоткуда получаемL2 =5 (x + 1)5⇒ L3 =,xp2 (x)xp2 (x)гдеp2 (0) = 11;α = −2,38, α2 = −4,62, 1α1 и α2 — корни p2 (x);p2 (x) = x2 + 7x + 11 ⇒(p′2 (α1 ) = 2,24,′ p2 (x) = 2x + 7 ⇒p2′ (α2 ) = −2,24.С помощью табл.

13.1 переходим от изображений к оригиналам:4*100L2 =Разд. 3. Непрерывные цепи Маркова5 (x + 1)=x (x − α1 ) (x − α2 )11=5+⇒(x + 2,38) (x + 4,62) x (x + 2,38) (x + 4,62)⇒ hформулы 5 и 6i ⇒ π2 (t) =e−4,62t e−2,38t1e−2,38te−4,62t=5+=+++−2,242,2411 −2,24(−4,62) 2,24 (−2,38)hi= 5 0,09 + 0,26e−2,38t − 0,35e−4,62t ;аналогично5L3 =⇒x (x + 2,38) (x + 4,62)hi⇒ π3 (t) = 5 0,09 + 0,1e−4,62t − 0,187e−2,38t ;наконец, π1 (t) = 1 − π2 (t) − π3 (t).При t → ∞, очевидно, π2 (t) → π2 = 0,45; π3 (t) → π3 = 0,45;π1 (t) → π1 = 1 − π2 − π3 = 0,1.Замечание.

Полученные результаты свидетельствуют, что90 % своего времени студент тратит на сон и развлечения и только 10 % — на занятия. Реальны ли эти цифры?Лекция 14. Процессы гибели и размножения(общие сведения)Непрерывным процессом (цепью) гибели и размножения(ПГР) ξ (t) называют частный вид НЦМ, удовлетворяющий двумусловиям:• процесс S = {i} может принимать только значения i == 0, 1, 2, ...

, N 6 ∞;• состояния i изменяются либо на +1 (i → i + 1) под воздействием ПП размножения с интенсивностью λi , т. е.P {ξ (t + ∆t) = i + 1|ξ (t) = i} = λi ∆t + o (∆t) ,либо на −1 (i → i − 1) под воздействием ПП гибели с интенсивностью µi , т. е.P {ξ (t + ∆t) = i − 1|ξ (t) = i} = µi ∆t + o (∆t) .101Лекция 14. Процессы гибели и размноженияПГР имеет два частных случая: процесс чистого размножения(ПЧР), когда µi = 0 ∀ i, и процесс чистой гибели (ПЧГ), когдаλi = 0 ∀ i.Размеченные ГС и соответствующие им системыдифференциально-разностных уравнений являются исчерпывающим описанием указанных процессов: см. рис. 34 для ПГР, 35для ПЧР, 36 для ПЧГ и соответствующие формулы (14.1), (14.2)и (14.3).λ0λ110µ1λ22µ2λiλi−1ii−1µiµi−1λi+1i+1N(∞)µNµi+1Рис.

34π̇0 (t) = µ1 π1 (t) − λ0 π0 (t),.........................................π̇i (t) = λi−1 πi−1 (t) + µi+1 πi+1 (t) − (λi + µi ) πi (t),.........................................π̇N (t) = λN −1 πN −1 (t) − µN πN (t) , N < ∞,NPπi (t) = 1, π0 (0) = 1;(14.1)i=0λ00λ11λ22λiλi−1i−1iλi+1i+1λN−1N(∞)Рис. 35π̇0 (t) = −λ0 π0 (t),........................π̇i (t) = λi−1 πi−1 (t) − λi πi (t),........................π̇N (t) = λN −1 πN −1 (t);(14.2)102Разд. 3. Непрерывные цепи Маркова021µ1µ2ii−1µi−1µii+1µi+1NµNРис. 36π̇N (t) = −µN πN (t), ........................π̇i (t) = µi+1 πi+1 (t) − µi πi (t),........................ π̇ (t) = µ π (t).0(14.3)1 1Термины «гибель» и «размножение» имеют биологическоепроисхождение: рассматривалась популяция (множество) индивидуумов, способных как к увеличению своей численности(только к увеличению), так и к ее снижению (только к снижению).

При увеличении говорилось о рождении нового членапопуляции, при снижении — о гибели члена популяции. Дляизучения эволюции популяций в общем случае были предложеныПГР, в частных случаях — ПЧР и ПЧГ соответственно.В экономических приложениях ПГР широко используютсякак математические модели функционирования разнообразныхсистем (хозяйств). Предполагается, что в рамках этих системизделия могут производиться по законам ПП размножения, номогут и списываться (в силу старения, выхода из строя) позаконам ПП гибели.ПГР используются также как математические модели огромного класса систем обслуживания (СО), функционирующих вовремени в условиях неопределенности.

Термин СО понимаетсяв самом широком смысле — это и парикмахерская, и магазин,и поликлиника, и служба скорой помощи, и служба движенияназемного, морского или воздушного транспорта, и служба снабжения потребителей товарами, и любая организация, занимающаяся производством, эксплуатацией или ремонтом каких-либоизделий.Общим для всех этих СО является наличие случайного потока клиентов, покупателей, пациентов и т. п. Все они называются требованиями (заявками). Количество требований, поступивших и находящихся в СО, называют состоянием системыи обозначают малыми латинскими буквами i, j , k , ...

. Поток требований, поступающих в систему, будем считать простейшимЛекция 14. Процессы гибели и размножения103с интенсивностью, зависящей в общем случае от состояния λi .Эти входящие потоки являются потоками размножения.Второй общий элемент всех СО — это количество обслуживающих приборов m = 1, 2, ... . Обслуживающими приборами являются и парикмахеры, и кассовые аппараты, и мастера по ремонтуотказавших изделий, и бригады скорой помощи, и ЭВМ. Потокиобслуженных требований также будем считать простейшими, нос интенсивностью µi .

Эти выходящие потоки являются потокамигибели.Из сказанного следует, что длительность интервала временимежду двумя поступившими (обслуженными) требованиями естьСВ, подчиненная экспоненциальному ЗР с параметром λi (µi ).СО могут существенно отличаться друг от друга организацией как процесса поступления требований, так и процесса ихобслуживания. Так, количество источников поступающих требований, количество обслуживающих приборов, время ожиданияобслуживания, время пребывания требований в системе и т. п.могут быть как конечными, так и бесконечными.Всюду в дальнейшем при рассмотрении конкретных системи задач мы будем пользоваться формальным языком ПГР наряду с содержательным языком экономических систем, системобслуживания, т. е. языком хозяйств, парикмахерских, ремонтных мастерских и т.

п.Пример 14.1. Рассмотрим СО, состоящую из основного прибора, находящегося в рабочем режиме, и дублирующего прибора,находящегося в холодном резерве (т. е. он отключен и в этомсостоянии из строя выйти не может). Если основной приборвыходит из строя, то он начинает восстанавливаться, а вместонего мгновенно включается в работу дублирующий прибор. Длительность безотказной работы основного прибора имеет экспоненциальный ЗР с параметром λ = 1, длительность восстановления также имеет экспоненциальный ЗР с параметром ν = 1.Найти ЗР времени безотказной работы системы, если ее отказнаступает при отказе обоих приборов.Решение.

Функционирование СО моделируется ПГР с тремясостояниями i = 0, 1, 2, где i — число отказавших приборов.Размеченный ГС см. на рис. 37. Здесь λ0 = λ1 = λ, ν = µ1 ,µ2 = 0.104Разд. 3. Непрерывные цепи Марковаν=1021λ=1λ=1Рис. 37Система уравнений Колмогорова имеет видπ̇0 (t) = π1 (t) − π0 (t), π̇1 (t) = π (t0 ) − 2π1 (t), π̇2 (t) = π1 (t),π0 (0) = 1.Заменяем второе уравнение нормировочным условиемπ̇0 (t) = π1 (t) − π0 (t), π̇2 (t) = π1 (t),π0 (t) + π1 (t) + π2 (t) = 1,π 0 (0 ) = 1и решаем систему методом Лапласа.

Линейная система уравнений в изображениях имеет видxL0 − 1 = L1 − L0 ,xL2 = L1 , L0 + L1 + L2 = 1 .xИз первых двух уравнений находим соответственно:L0 =L1 + 1,x+1L2 =L1xи подставляем в третье:L1 + 1L1111+ L1 +,= ⇒ L1 =⇒ L2 =x+1xxp2 (x)xp2 (x)гдеp2 (x) = x2 + 3x + 1 = (x + 0,38) (x + 2,62) ⇒⇒ p′2 (x) = 2x + 3 ⇒ p′2 (−0,38) = 2,24,Лекция 14. Процессы гибели и размножения105p2′ (−2,62) = −2,24 ⇒ p2 (0) = 1.Далее переходим от изображений к оригиналам и получаем π1 (t) = 0,446 e−0,38t + e−2,62t , π (t) = 1 − 0,17e−0,38t − 0,17e−2,62t2⇒⇒ π1 (t) + π0 (t) = 1 − π2 (t) = 1,17e−0,38t + 0,17e−2,62t— распределение времени безотказной работы СО.Финальные вероятности состояний равны π1 = π0 = 0, π2 == 1, что и следовало ожидать.Пример 14.2.

Этот пример отличается от предыдущего лишьтем, что резервный прибор находится в рабочем состоянии (горячее резервирование). ГС представлен на рис. 38, т. е. λ0 = 2λ,λ1 = λ = 1, µ1 = ν = 1, µ2 = 0.ν=12102λ = 2λ=1Рис. 38Составляем систему уравнений Колмогороваπ̇0 (t) = π1 (t) − 2π0 (t), π̇1 (t) = 2π0 (t) − 2π1 (t), π̇2 (t) = π1 (t),π0 (0) = 1.Заменяем второе уравнение нормировочным условиемπ̇0 (t) = π1 (t) − 2π0 (t), π̇2 (t) = π1 (t), π0 (t) + π1 (t) + π2 (t) = 1,π 0 (0 ) = 1106Разд. 3. Непрерывные цепи Марковаи решаем систему методом Лапласа.

Линейная система в изображениях принимает видxL0 − 1 = L1 − 2L0 ,xL2 = L1 , L0 + L1 + L2 = 1 .xИз первых двух уравнений находим:L1 + 1L1, L2 =x+2xи подставляем в третье, из которого получаемL0 =L1 (x) =2,p2 (x)L2 (x) =2,xp2 (x)гдеp2 (x) = x2 + 4x + 2 = (x + 3,41) (x + 2,82) ⇒⇒ p′2 (x) = 2x + 4 ⇒ p′2 (−3,41) = −2,82,p2′ (−2,82) = 2,82 ⇒ p2 (0) = 2.Переходим от изображений к оригиналам: π1 (t) = 0,71 e−0,59t − e−3,41t ,⇒ π (t) = 1 + 0,21e−3,41t − 1,2e−0,59t2⇒ π0 (t) + π1 (t) = 1 − π2 (t) = 1,2e−0,59t − 0,21e−3,41t— распределение времени безотказной работы.При t → ∞:π1 (t) → π1 = 0,π2 (t) → π2 = 1,π0 (t) → π0 = 0.Обратите внимание, что при t=1 0,81 для горячего резерва,π0 (t) + π1 (t) = 0,66 для холодного резерва.Лекция 15. Процессы чистого размножения107Лекция 15. Процессы чистого размножения(построение вероятностей состояний)Рассмотрим процесс производства изделий (автомашин, холодильников и т.

Характеристики

Список файлов книги