Теория случайных процессов (1042226), страница 14
Текст из файла (страница 14)
п.) на заводе. Пусть СП ξ (t) есть число изделий,произведенных к моменту t, если ξ (0) = 0. Предположим, что поток производимых изделий – простейший с параметром λi . Требуется найти одномерный ЗР СП ξ (t), а также M ξ (t) и Dξ (t).Указанный процесс моделируется процессом чистого размножения. Его размеченный ГС представлен на рис. 35, а системауравнений Колмогорова (14.2) имеет видπ̇0 (t) = −λ0 π0 (t), ........................(15.1)π̇i (t) = λi−1 πi−1 (t) − λi πi (t) ,........................ π̇ (t) = λNN −1 πN −1 (t)с начальным условием π0 (0) = 1.Решением 0-го уравнения с учетом начального условия являетсяπ0 (t) = e−λ0 t .(15.2)Рассмотрим i-е уравнение, 1 6 i 6 N − 1, и найдем его решениеметодом вариации произвольной постоянной.
Для однородногоуравненияπ̇i (t) = −λi πi (t)имеемπi (t) = ci e−λi t ⇒ hполагаем ci = ci (t)i ⇒ πi (t) = ci (t) e−λi t ⇒⇒ π̇i (t) = ċi (t) e−λi t − ci (t) λi e−λi t ⇒ (15.3)⇒ hподставляем в исходное ДРУi ⇒⇒ ċi (t) e−λi t − ci (t) λi e−λi t = λi−1 πi−1 (t) − λi ci (t) e−λi t ⇒⇒ ċi (t) = λi−1 πi−1 (t) eλi t ⇒ hинтегрируем от 0 до ti ⇒Zt⇒ ci (t) − ci (0) = λi−1 πi−1 (τ )eλi τ dτ ⇒0⇒ hподставляем в (15.3)i ⇒108Разд. 3. Непрерывные цепи МарковаZt⇒ πi (t) = [ci (0) + λi−1 πi−1 (τ ) eλi τ dτ ]e−λi t ⇒0⇒ hс учетом начального условия πi (0) = ci (0) = 0для i > 1 получаем рекуррентную формулуi ⇒⇒ πi (t) = e−λi tZtλi−1 πi−1 (τ ) eλi τ dτ , (15.4)0что совместно с (15.2) позволяет последовательно найтиπ0 (t) , π1 (t) , ..., πN −1 (t).
Если N < ∞, тоπN (t) = 1 −N−1Xπi (t).(15.5)i=0Рассмотрим три частных случая ПЧР, допускающих решениев явном виде.ПЧР с интенсивностью λi = λ(пуассоновский ПЧР)ГС представлен на рис. 39.λ0λ1λ2λi−1λiλNi+1Рис. 39Найдем решение системы (14.2) в этом частном случае. Согласно (15.2)π0 (t) = e−λt , t > 0 ⇒ZtD− λt⇒ воспользуемся (15.4): πi (t) = eλπi−1 (τ )eλτ dτ ,0полагая последовательно i = 1, 2, ... N⇒ π1 (t) = e−λtZt0λe−λτ eλτ dτ = λte−λt ,E⇒t>0⇒109Лекция 15.
Процессы чистого размножения⇒ π2 (t) = e− λtZtλ2 τ e−λτ eλτ dτ =(λt) 2 −λte ,2t > 0, ... , ⇒0⇒ πi (t) =(λt) i −λte ,i!t > 0,i > 0.Итак, ПЧР (с постоянной интенсивностью λ) в момент t естьслучайное число рождений ξ (t) в интервале (0, t), подчиненноеЗР Пуассона с параметром λt. Отсюда следует, что:NP−1• πN (t) = 1 −πi (t), если N < ∞;i=0• M ξ(t) = Dξ (t) = λt;• длительность интервала времени между соседними рождениями есть СВ, подчиненная экспоненциальному ЗР с параметром λ;• длительность интервала времени, содержащего (k + 1) рождений, есть СВ, подчиненная ЗР Эрланга с параметрами (λt, k).ПЧР с интенсивностью λi = iλ, i > 1( геометрический ПЧР)ГС представлен на рис.
40.λ12λ2(i − 1)λi−1iλii+1(N − 1)λNРис. 40Найдем решение системы (14.2), которая в этом частномслучае принимает видπ̇1 (t) = λπ1 (t) , ............................π̇i (t) = (i − 1) λπi−1 (t) − iλπi (t) ,............................π̇N (t) = (N − 1)λπN −1 (t) .µ110Разд. 3. Непрерывные цепи МарковаРешение первого уравнения:Dπ1 (t) = e−λt , t > 0 ⇒ далее воспользуемся (15.4):−iλtπi (t) = (i − 1) λeZtπi−1 (τ ) eiλτ dτ ,0Eполагая последовательно i = 2, 3, ... ⇒⇒ π2 (t) = λe−2λtZt0⇒ π3 (t) = 2λee−λτ e2λτ dτ = e−λt 1 − e−λt ,−3λtZt0t > 0 ⇒ ...
⇒ πi (t) = et>0⇒2e2λτ 1 − e−λτ dτ = e−λt 1 − e−λt ,−λti−11 − e−λt,t > 0,1 6 i 6 N − 1.Итак, ПЧР (с интенсивностью λi = iλ) в момент t естьслучайное число ξ (t) рождений в интервале (0, t), подчиненноегеометрическому ЗР с вероятностью успеха p = e−λt . Отсюдаследует, что:11−pλt 1 − eλt ,• M ξ (t) = = eλt , Dξ (t) ==epp2• πN (t) = 1 −NP−1πi (t).i=1ПЧР с интенсивностью λi = (N − i) λ, 0 6 i 6 N(биномиальный ПЧР)ГС представлен на рис. 41.01Nλ2(N − 1)λi−1i(N −i+1)λ (N −i)λРис.
41Ni+1λ111Лекция 15. Процессы чистого размноженияНайдем решение системы (14.2), которая в этом частномслучае принимает вид π̇0 (t) = −N λπ0 (t), ...................................π̇i (t) = (N − i + 1) πi−1 (t) − (N − i) πi (t),...................................π̇N (t) = λπN −1 (t).Решение нулевого уравнения:Dπ0 (t) = e−N λt , t > 0 ⇒ далее воспользуемся (15.4):−(N−i)λtπi (t) = eZt(N − i + 1)λπi−1 (τ ) e(N−i)λτ dτ ,i > 1,0полагая последовательно i = 1, 2, ...⇒ π1 (t) = e−(N −1)λtZtEN λe−N λτ e(N −1)λτ dτ =0= N λe−(N −1)λtZt0e−λτ dτ = N e−(N −1)λt 1 − e−λt =N −111 − e−λt e−λt⇒ π2 (t) == CN=e−(N −2)λtZt0N (N − 1) λe−(N −1)λτ 1 − e−λτ e(N −2)λτ dτ == N (N − 1) λe−(N −2)λtZt0e−λτ 1 − e−λτ dτ =1 − λτ1 −2λτ t−(N −2)λt= N (N − 1) λe− e+ e=λ2λ01−(N −2)λt 1 −2λt− λt= N (N − 1) ee−e− +1 =22⇒112Разд.
3. Непрерывные цепи Маркова2 N −22e−λt= CN1 − e−λt⇒ ... ⇒i N −ii1 − e − λte−λt, 0 6 i 6 N , t > 0.⇒ πi (t) = CN(15.6)Итак, ПЧР (с интенсивностью λi = (N − i) λ) в момент t естьслучайное число ξ (t) рождений в интервале (0, t), подчиненное биномиальному ЗР с вероятностью успеха p = 1 − e−λt .Отсюда следует, чтоM ξ (t) = N p = N 1 − e−λt ,Dξ (t) = N p (1 − p) = N e−λt 1 − e−λt .Приведем примеры по надежности экономических систем,аналогичные рассмотренным в лекции 14.Пример 15.1. Рассмотрим систему, состоящую из одногоосновного прибора и (N − 1) эквивалентных ему, находящихся в холодном резерве. Время безотказной работы основногоприбора подчинено экспоненциальному закону с параметром λ.Как только основной прибор откажет, ему на смену в работувключается один из резервных.
Система откажет, как толькооткажут все N приборов. Пусть i — состояние, состоящее в том,что в системе отказали i приборов, i = 1, 2, ... , N . При t = 0система находится в состоянии i = 0. Требуется определить вероятность πi (t), i = 0, 1, 2, ... , N , каждого состояния в момент t.Очевидно, функционирование системы моделируется ПЧР(λt)i −λtс (N + 1) состояниями и λi = λ.
В этом случае πi (t) =e ,i!N−1Xi = 0, 1, ... , N − 1, πN (t) = 1 −πi (t).i=0Пример 15.2. Этот пример отличается от предыдущего одним: все резервные приборы находятся в том же состоянии,что и основной. В этом случае функционирование системытакже моделируется ПЧР с (N + 1) состояниями, но интенсивности вычисляются сложнее. Если отказало i приборов, тоостальные (N − i) продолжают работать; следовательно, на нихвоздействует поток отказов с интенсивностью λi = (N − i) λ,Лекция 16.
Процессы чистой гибели113i = 0, 1, 2, ... , N − 1, λN = 0. Мы получаем биномиальный процесс чистого размножения с вероятностями состоянийi N −iiπi (t) = CN1 − e−λte−λt, i = 0, 1, 2, ... , N.Лекция 16. Процессы чистой гибели(построение вероятностей состояний)Рассмотрим процесс эксплуатации изделий (станков, автомашин, инструментов и т. п.) в некотором хозяйстве. Пусть СП ξ (t)есть число изделий, находящихся в эксплуатации к моменту t,причем ξ (0) = N и ξ (t) принимает значения i = N , N − 1, ... , 0.Предположим, что новые изделия в хозяйство не поступают, астарые выходят из строя и списываются по законам простейшегопотока с параметром µi .
Требуется найти ЗР СП ξ(t), а такжеего математическое ожидание и дисперсию.Изложенный процесс моделируется ПЧГ. Его РГС представлен на рис. 36, а соответствующая система уравнений Колмогорова (14.3) имеет видπ̇N (t) = −µN πN (t), ........................(16.1)π̇i (t) = µi+1 πi+1 (t) − µi πi (t), ........................ π̇ (t) = µ π (t)1 10с начальным условием πN (0) = 1.Решением N -го уравнения с учетом начального условия являетсяπN (t) = e−µN t , t > 0.(16.2)Рассмотрим i-е уравнение, 1 6 i 6 N − 1, и воспользуемсядля его решения методом вариации произвольной постоянной.Для однородного уравнения π̇i (t) = −µi πi (t) решение имеет видπi (t) = ci e−µi t ⇒⇒ hполагаем ci = ci (t)i ⇒ πi (t) = ci (t) e−µi t ⇒ π̇i (t) == ċi (t) e−µi t − µi ci (t) e−µi t ⇒ hподставляем в исходное ДРУi ⇒⇒ ċi (t) e−µi t − µi ci (t) e−µi t = µi+1 πi+1 (t) − µi ci (t) e−µi t ⇒114Разд.
3. Непрерывные цепи Маркова⇒ ċi (t) = µi+1 eµi t πi+1 (t) ⇒ hинтегрируем от 0 до ti ⇒Zt⇒ ci (t) − ci (0) = µi+1 πi+1 (τ ) eµi τ dτ ⇒0⇒ hподставляем ci (t) в формулу для πi (t)i ⇒Zt⇒ πi (t) = [ci (0) + µi+1 πi+1 (τ ) eµt τ dτ ]e−µi t ⇒0⇒ hс учетом начального условия πi (0) = ci (0) = 0для 1 6 i 6 N − 1 получаем рекуррентную формулуi ⇒⇒ πi (t) = e−µi tZtµi+1 πi+1 (τ ) eµi τ dτ , (16.3)0что совместно с (16.2) позволяет последовательно найтиπN (t) , πN −1 (t) , ...
, π1 (t), а такжеNXπ0 (t) = 1 −πi (t),i=1M ξ (t) =NXiπi (t),Dξ (t) =i=1NXi=1i2 πi (t) − [M ξ (t)]2 .(16.4)Рассмотрим три частных случая ПЧГ, допускающих решениев явном виде.ПЧГ с интенсивностью µi = µ, 1 6 i 6 N( пуассоновский ПЧГ)ГС представлен на рис. 42.01µ2µii−1µµNi+1µµРис. 42Найдем решение системы (14.3) в этом частном случае. Решение N -го уравнения согласно (16.2) имеет вид115Лекция 16. Процессы чистой гибелиπN (t) = e−µt ,Dt > 0 ⇒ далее воспользуемся (16.3):−µtπi (t) = eZtµπi+1 (t)eµτ dτ ,0Eполагая последовательно i = N − 1, N − 2, ... , 1 ⇒⇒ πN −1 (t) = e⇒ πN −2 (t) = e−µt−µtZtZtµe−µτ eµτ dτ = µte−µt ,t>0⇒0µe−µτ(µt)2 −µtµτ e dτ =e⇒ ...
⇒2µτ0⇒ πi (t) = πN −(N −i) (t) =π0 (t) = 1 −NX(µt)N −i −µte ,(N − i)!1 6 i 6 N;πi (t).(16.5)i=1Итак, ПЧГ (с интенсивностью µi = µ) в момент t есть случайноечисло оставшихся в живых индивидуумов, подчиненное аналогу ЗР Пуассона с параметром µt, при этом случайное числопогибших индивидуумов η (t) = N − ξ (t) имеет ЗР Пуассона,соответствующий его общепринятому определению:P {η (t) = j} = P {N − ξ (t) = j} = P {ξ (t) = N − j} == πN −j (t) =(µt)j −µte .j!Отсюда следует, что M ξ (t) = N − µt, Dξ (t) = µt.ПЧГ с интенсивностью µi = iµ, 1 6 i 6 N(биномиальный ПЧГ)ГС представлен на рис. 43.01µ2ii−12µiµРис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
