Теория случайных процессов (1042226), страница 15
Текст из файла (страница 15)
43Ni+1(i+1)µNµ116Разд. 3. Непрерывные цепи МарковаНайдем решение системы (16.1) в этом частном случае:π̇N (t) = −N µπN (t),........................................ π̇i (t) = (i + 1) µπi+1 (t) − iµπi (t) , 1 6 i 6 N − 1,(16.6)........................................π̇0 (t) = µπ1 (t) ,π N (0 ) = 1 .Решение N -го уравнения с учетом начального условияπN (t) = e−N µt ,⇒Dt>0⇒(16.7)далее согласно (16.3):−iµtπi (t) = eZt(i + 1)µπi+1 (τ ) eiµτ dτ ,0полагая последовательно i = N − 1, N − 2, ...
, 1⇒ πN −1 (t) = e−(N −1)µtZtZt(16.8)E,⇒N µe(N −1)µτ e−N µτ dτ =0= e−(N −1)µt N µe−µτ dτ = e−(N −1)µt N 1 − e−µt =01= CNe−µt=e−(N −2)µtN −1Zt01 − e−µtN −(N −1),t > 0 ⇒ πN −2 (t) =(N − 1)µe(N −2)µτ N e−(N −1)µτ 1 − e−µτ dτ == N (N − 1) e−(N −2)µtZt02= CNe−µtN −2µe−µτ 1 − e−µτ dτ =1 − e−µtN −(N −2)⇒ ... ⇒117Лекция 16. Процессы чистой гибелиj⇒ πN −j (t) = CNe−µtN −ji⇒ πi (t) = CNe−µti1 − e−µtN −(N −j)1 − e−µtN −i,⇒ hi = N − ji ⇒0 6 i 6 N. (16.9)Итак, ПЧГ (с интенсивностью µi = iµ) в момент t есть случайное число ξ (t) оставшихся в живых индивидуумов, подчиненное биномиальному ЗР с вероятностью успеха e−µt , при этомслучайное число погибших к моменту t индивидуумов N − ξ (t)также подчиняется биномиальному ЗР, но с вероятностью успеха1 − e−µt .Отсюда следует, чтоM ξ (t) = N e−µt , Dξ (t) = N e−µt 1 − e−µt .ПЧГ с интенсивностью µi = (N − i) µ, 1 6 i 6 N − 1(геометрический ПЧГ)ГС представлен на рис. 44.01(N −1)µ2(N −2)µi−1(N −i)µiN −1i+1(N −i−1)µ1Рис. 44Найдем решение системы (14.3) в этом случае:π̇N −1 (t) = −µπN −1 (t),..................................... π̇i (t) = (N − i − 1) µπi+1 (t) − (N − i) µπi (t) ,i = 1, 2, ...
, N − 2,.....................................π̇0 (t) = (N − 1) µπ1 (t).Начальное условие πN −1 (0) = 1.Решение (N − 1)-го уравнения с учетом начального условия:118Разд. 3. Непрерывные цепи МарковаπN −1 (t) = e−µt ,t>0⇒−(N−i)µtπi (t) = eZtDдалее воспользуемся (16.3):(N − i − 1) µπi+1 (τ )e(N−i)µτ dτ ,0Eполагая последовательно i = N − 2, N − 3, ...
, 1 ⇒⇒ πN −2 (t) = e−2µtZtµe−µτ 2µτedτ = µe−2µt0=e−µt=e1−e−µt−µt1−e⇒ πN −3 (t) e−µt 2−3µtZt01 µτ te =µ02µe−µτ 1 − e−µτ e3µτ dτ =⇒ ... ⇒ πN −j (t) = e−µt 1 − e−µt⇒ hi = N − ji ⇒ πi (t) = e−µt 1 − e−µt1 6 i 6 N − 2 ⇒ π0 (t) = 1 −N −i−1N−1Xj−1⇒,πi (t). (16.10)i=1Итак, ПЧГ (с интенсивностью µi = (N − i) µ) в момент tесть случайное число ξ (t) оставшихся в живых индивидуумов,подчиненное аналогу геометрического ЗР с вероятностью успеха e−µt , при этом случайное число η (t) = N − ξ (t) погибшихиндивидуумов имеет стандартный геометрический ЗР с той жевероятностью успехаj−1P {η (t) = j} = e−µt 1 − e−µt, j > 1.Отсюда следует, что1 − e−µt= eµt eµt − 1 .−2µteОсновные результаты, полученные в настоящей лекции, представлены в табл. 16.1.Между формулами, относящимися к ПЧР, и формулами,относящимися к ПЧГ, существует тесная связь.
Эта связь обусловлена следующей их особенностью. Пусть количество состояний конечно (N < ∞), η (t) (ξ (t)) — случайное числоM ξ (t) = N − eµt ,Dξ (t) =119Лекция 16. Процессы чистой гибелиТ а б л и ц а 16.1Процесс чистого размножения(рис. 35)Процесс чистой гибели(рис.
36)Рекурентные формулыZtπi (t) = λi−1 e−λi t πi−1 (τ )eλi τ dτ ,Ztπi (t) = µi+1 e−µi t πi+1 (τ )eµi τ dτ ,00π0 (t) = eλ0 t , πN (t) = 1 −N−1Xπi (t) πN (t) = eµN t , π0 (t) = 1 −i=0NXПуассоновский ПЧРПуассоновский ПЧГλi = λ, i = 0, 1, ... , N − 1;µi = µ, i = 0, 1, ... , N ;(λt) −λte ,i!i = 0, 1, ... , N − 1;N−1XπN (t) = 1 −πi (t),iπi (t) =i=0πi (t)i=0(µt)N −i −µte ,(N − i)!i = N , N − 1, ... , 1;NXπ0 (t) = 1 −πi (t),πi (t) =i=0m = σ = λtm = N − µt, σ 2 = µtГеометрический ПЧРБиномиальный ПЧГλi = iλ, i = 1, ...
, N − 1;i−1πi (t) = e−λt 1 − e−λt,µi = iµ, i = 1, ... , N ;i N −iiπi (t) = CNe−µt1 − e−µt,i=1m = eλt , σ 2 = eλt eλt − 1m = N e−µt , σ 2 = N e−µt 1 − e−µtБиномиальный ПЧРГеометрический ПЧГλi = (N − i)λ, i = 0, 1, ... , N − 1;i N −iiπi (t) = CN1 − e−λte−λt,µi = (N − i)µ, i = 0, 1, ... , N − 1;N −i−1πi (t) = e−µt 1 − e−µt,σ 2 = N e−λt 1 − e−λti=0m = N − eµt , σ 2 = eµt eµt − 12i = 1, ... , N − 1;N−1XπN (t) = 1 −πi (t),i = 0, 1, ... , N ;m = N 1 − e−λt ,i = 0, 1, ...
, N ;i = N − 2, N − 1, ... , 1;N−1Xπ0 (t) = 1 −πi (t),120Разд. 3. Непрерывные цепи Марковаизделий, списанных (эксплуатируемых) к моменту t, тогда ξ (t) ++ η (t) = N , или в терминах номеров состояний i + j = N . Очевидно, СП увеличения числа списанных есть процесс их размножения, в то время как СП уменьшения числа эксплуатируемыхесть процесс их гибели; при этом, очевидно,ξ (t) + η (t) = N ⇒ i + j = N ⇒⇒ P {η (t) = j} = P {ξ(t) = N − j = i}.Отсюда следует процедура перехода от формул для ПЧР к формулам для ПЧГ и наоборот, основанная на правилах: λ ↔ µ,i ↔ N − j , j ↔ N − i.Так, например, формула для вероятности числа эксплуатируемых изделий преобразуется в формулу для вероятности числаразмножений списанных изделий:πi (t) =(µt)N −i −µte ,(N − i)!i = N , N − 1, ...
, 1 →→ πj (t) =(λt)j −λte ,j!j = 0, 1, ... , N − 1.Интенсивность гибели µj = (N − j) µ преобразуется по нашемуправилу в интенсивность размножения λi = iλ, что влечет в своюочередь преобразование вероятностейπj (t) = e−µt 1 − e−µtN −j−1,j = N − 2, ... , 1 →i−1→ πj (t) = e−λt 1 − e−λt,i = 1, 2, ... , N − 1.Рассмотрите третью пару вероятностей состояний самостоятельно!Пример 16.1. В примерах 15.1 и 15.2 рассматривались задачи анализа надежности резервированных систем, состоящихиз N приборов.
В качестве математической модели выхода ихиз строя был принят ПЧР ξ (t) числа отказавших приборов.Получены следующие формулы для вероятностей состояний:Лекция 17. Стационарные режимы cистем обслуживания121πi (t) = P {ξ (t) = i} =i (λt) e−λ,t 0 6 i 6 N − 1, если λi = λ,i!=iN −i iCN 1 − e−λt e−λt, 0 6 i 6 N , если λi = (N − i) λ.Если в этих примерах под состоянием понимать не число отказавших, а число эксплуатируемых приборов j = N − i, тов качестве математической модели следует принять процесс η (t)их чистой гибели, тогдаπj (t) = P {η (t) = j} =(µt)N −j −µte , 1 6 j 6 N , если µj = µ,(N − j)!=N −j j −µt jCN e1 − e−µt, если µj = jµ,где µ = λ, j = N − i.Лекция 17.
Процессы гибели и размножения.Стационарные режимы cистем обслуживанияФинальные вероятности состоянийВ лекциях 15 и 16 было установлено, что для вероятностейсостояний πi (t) ПЧР и ПЧГ в случае произвольных значенийинтенсивностей λi и µi существуют достаточно простые рекуррентные формулы, а в основных частных случаях эти функцииможно найти в явном виде. К сожалению, для построения вероятностей состояний ПГР в лучшем случае можно воспользоватьсяметодом Лапласа, а в худшем — численными методами. Однакодля процессов этого класса существуют весьма эффективныеметоды построения финальных вероятностей состояний, т. е.
вероятностей состояний в предельном стационарном режиме.Рассмотрим процесс производства и эксплуатации однотипных изделий (станков, автомашин, холодильников и т. п.). ПустьСП ξ (t) есть число изделий, произведенных и эксплуатируемыхк моменту t. Предположим, что новые изделия поступают, а старые списываются по законам ПП с интенсивностями λi и µiсоответственно.122Разд.
3. Непрерывные цепи МарковаТребуется найти финальные вероятности состояний в двухслучаях:• нет ограничений на число эксплуатируемых изделий,• число эксплуатируемых изделий не превышает N < ∞.Приступая к решению, необходимо прежде всего выяснить,существуют ли финальные вероятностиπi = lim πi (t) ,t→∞и если существуют, то найти способ их вычисления.Предположим, что искомые вероятности существуют. Воспользуемся РГС (рис.
34) и системой уравнений Колмогорова,с которыми мы познакомились в лекции 14:π̇0 (t) = µ1 π1 (t) − λ0 π0 (t),.........................................π̇i (t) = λi−1 πi−1 (t) + µi+1 πi+1 (t) − (λi + µi ) πi (t),(17.1)......................................... π̇N (t) = λN −1 πN −1 (t) − µN πN (t) , N < ∞,NPπ (t) = 1, π (0) = 1.i0i=0Полагая в (17.1) πi (t) = πi , π̇i (t) = 0 ∀ i, перейдем от ДРУ к линейным алгебраическим уравнениямµ1 π1 − λ0 π0 = 0,...............................λi−1 πi−1 + µi+1 πi+1 − (λi + µi ) πi = 0,(17.2)...............................λN −1 πN −1 − µN πN = 0,NPπi = 1.i=0относительно финальных вероятностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
