Теория случайных процессов (1042226), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Тогда согласно (13.1)"#XP (B) = πi (t) 1 −λij ∆t + o (∆t) ,(13.3)j6=iгдеPλij ∆t + o (∆t) есть вероятность того, что за время ∆tj6=iсистема вышла из состояния i;XP (C) =πj (t) λji ∆t + o (∆t) .j6=iДалее, согласно (13.2)πi (t + ∆t) = P (A) = P (B) + P (C) == πi (t) 1 −Xj6=iλij ∆t + o (∆t) +(13.4)90Разд. 3. Непрерывные цепи Маркова+Xj6=iπj (t) λji ∆t + o (∆t) + πi (t) λii ∆t − πi (t) λii ∆t == πi (t) − πi (t)NXλij ∆t +j=1NXπj (t) λji ∆t + o (∆t) . (13.5)j=1Отсюдаπi (t + ∆t) − πi (t)=∆t= −πi (t)NXλij +j=1NXj=1πj (t) λji +o (∆t)(13.6)∆tи после перехода к пределу при ∆t → 0 получаем систему уравнений Колмогороваπ̇i (t) = −NXj=1λij πi (t) +NXλji πj (t) ,i = 1, 2, ... , N ,(13.7)j=1причем для любого t (в том числе t = 0) должно выполнятьсянормировочное условиеNXπi (t) = 1.(13.8)i=1Система уравнений (13.7) составляется на основе графа состояний, размеченного значениями интенсивности λij ПП событий.Назовем потоком вероятности (ПВ), переводящим систему i → j , произведениеπi (t) λij .(13.9)Тогда система (13.7) составляется по следующему мнемоническому правилу: производная вероятности любого состоянияравна сумме ПВ, переводящих систему в это состояние, минуссумма ПВ, выводящих систему из этого состояния.Пример 13.1.
Техническое устройство (ТУ) может находиться в одном из двух состояний: 1 — ТУ работает, 2 —ТУ находится в ремонте. На ТУ в первом состоянии действуетПП отказов с интенсивностью λ, переводящий ТУ в состояние 2; на ТУ во втором состоянии действует ПП восстановлений с интенсивностью µ, переводящий ТУ в состояние 1.Лекция 13. Дифференциально-разностные уравнения Колмогорова91ГС представлен на рис. 31. Составить систему уравнений Колмогорова, считая, что в начальный момент времени (t = 0) ТУработает.λ12µРис. 31Воспользуемся мнемоническим правилом. Для состояния 1суммарный ПВ, переводящий ТУ в это состояние, есть µπ2 (t),а выводящий из этого состояния есть λπ1 (t), следовательно,π̇1 (t) = µπ2 (t) − λπ1 (t) .(13.10)Для состояния 2 суммарный ПВ, переводящий ТУ в это состояние, есть λπ1 (t), а выводящий из этого состояния есть µπ2 (t);следовательно,π̇2 (t) = λπ1 (t) − µπ2 (t) .(13.11)Начальное условие:π 1 (0 ) = 1 .Нормировочное условие:π1 (t) + π2 (t) = 1.(13.12)Отбрасывая уравнение (13.11) и добавляя (13.12), окончательнополучим систему уравнений Колмогорова в виде(π̇1 (t) = µπ2 (t) − λπ1 (t) ,(13.13)π1 (t) + π2 (t) = 1, π1 (0) = 1,которая ниже будет решена.Поскольку в НЦМ переход i → j происходит под воздействием ПП событий с интенсивностью λij , постольку время пребывания системы в i-м состоянии перед переходом в j -е равнодлительности интервала времени между соседними событиямиэтого потока и согласно (12.10) есть СВ, распределенная по экспоненциальному закону с параметром λij .Преобразование ЛапласаДля решения систем дифференциально-разностных уравнений с постоянными коэффициентами широко используется92Разд.
3. Непрерывные цепи Марковапреобразование Лапласа. Назовем неотрицательную функцию l (t),t > 0, оригиналом, а ее преобразование по Лапласу — функцию∞ZL (x) = l (t)e−xt dt(13.14)0— изображением (образом). Все основные пары «оригинал ↔изображение» содержатся в табл. 13.1.Преобразование Лапласа всегда существует, если l (t) растетне быстрее показательной функции, т. е. если существует числоc, такое, чтоZτlim l (t) ect dt < ∞.τ →∞0Рассмотрим основные свойства преобразования Лапласа. Начнемс фундаментального преобразования: если l (t) = Aeαt , t > 0,α > 0, то∞∞ZZAαt −xtL (x) = Ae e dt = A e−(x−α)t dt =, x > α;x−α00в частности, при α = 0: A ↔A.xОбоснование варианта 2:!∞Z XnnXli (t) →li (t) e−xt dt =i=10i=1=n ZXli (t) e−xt dt =интегрированиепо частям∞i=1 0nXLi (x) ,i=1Обоснование варианта 1:l˙ (t) →∞Z0l̇ (t)e−xtdt =∞Ze−xtdl (t) =0= −l (0) + x∞Z0=l (t)e−xt dt = xL(x) − l (0) .Лекция 13.
Дифференциально-разностные уравнения КолмогороваТ а б л и ц а 13.1Преобразования Лапласаl(t)Вариантdl(t)dtnXli (t)12i=134nX5L(x)xL(x) − l(0)nXcc/xcl(t)cL(x)eαi t1pn (x)p′ (αi )i=1 nnX eαi t1+pn (0)αi p′n (αi )61xpn (x)i=1nX7i=1g (αi ) αi tep′n (αi )lim l(t)8t→∞lim l(t)9Li (x)i=1t→0g (x)pn (x)lim xL(x)x→0lim xL(x)x→∞10l (t/c)cL (cx)11l (t − c)e−cx L (x)12e−ct l (t)L (x + c)13tl (t)−dL (x)dxВ таблице приняты обозначения:nYpn (x) =(x − αi ) , αi 6= αj ∀ i 6= j ,i=1g (x) = x + βm−1 xm−1 + ... + β1 x + β0 ,mm < n.9394Разд.
3. Непрерывные цепи МарковаОбоснование варианта 5 проведем для n = 2. Предварительнонайдемp2 (x) = (x − α1 ) (x − α2 ) = x2 − (α1 + α2 ) x + α1 α2 ⇒(α1 − α2 при x = α1 ,⇒ p2′ (x) = 2x − (α1 + α2 ) ⇒ p′2 (x) |x=αi =α2 − α1 при x = α2 .Рассмотрим оригинал и далее воспользуемся этими результатамии фундаментальным свойством2Xeα 1 teα i teα 2 t=+⇒p2′ (t)α1 − α2 α2 − α1i=1⇒11+=(α1 − α2 ) (x − α1 ) (α2 − α1 ) (x − α2 )=11=, ч.
т. д.(x − α1 ) (x − α2 )p2 (x)Обоснование варианта 6 также проведем для n = 2. Оригиналимеет видeα 1 teα 2 t1++=p2 (0) α1 p2′ (α1 ) α2 p2′ (α2 )=eα 1 teα 2 t1++.α1 α2 α1 (α1 − α2 ) α2 (α2 − α1 )Воспользуемся фундаментальным преобразованием,изображение каждого слагаемого и суммы в целом:найдем11⇒,α1 α2xα1 α2eα 1 t1,⇒α1 (α1 − α2 )α1 (α1 − α2 ) (x − α1 )eα 2 t1⇒;α2 (α2 − α1 )α2 (α2 − α1 ) (x − α2 )тогда изображение суммы после приведения к общему знамена1телю примет требуемый вид.xp2 (x)Лекция 13.
Дифференциально-разностные уравнения Колмогорова95Решение системы уравнений Колмогорова методом ЛапласаМетод Лапласа включает три этапа:• переход от дифференциально-разностных уравнений относительно πi (t) к линейным алгебраическим уравнениям относительно изображений Li = Li (x). Изображением системы 13.7и 13.8 являетсяnnPPxL−π(0)=−λL+λji Lj , i = 1, 2, ... , n, (13.15)iiijij=1j=1nPLi = 1/x,(13.16)i=1причем одно из уравнений (13.15) исключается;• определение Li путем решения системы (13.15), (13.16);• обратный переход от изображений Li к оригиналам πi (t).Все переходы выполняются с помощью таблицы преобразований Лапласа.Пример 13.2 (продолжение примера 13.1).Найдем решение системы уравнений (13.13). Используя формулы 1–4 из табл. 13.1, получим систему уравнений в изображениях(xL1 (x) − π1 (0) = −λL1 (x) + µL2 (x),(13.17)L1 (x) + L2 (x) = 1/x.Из первого уравнения найдем, с учетом равенства π1 (0) = 1,L2 (x) =(x + λ) L1 (x) − 1µ(13.18)и подставим во второе:L1 (x) +(x + λ) L1 (x) − 1= 1/x ⇒µx+µ⇒ L1 (x) == hλ + µ = −αi =x (x + λ + µ)µ1+.
(13.19)=x (x − α) x − α96Разд. 3. Непрерывные цепи МарковаДля каждого слагаемого из правой части (13.19) найдем оригиналы:µ→ hформулы 4 и 6 из табл. 13.1i ⇒x (x − α)i1eαtµ h⇒µ+=1 − e−(λ+µ)t ,−ααλ+µ1→ hформула 5 из табл. 13.1i ⇒ eαt = e−(λ+µ)t .x−αОтсюда следует (формула 2 из табл. 13.1), чтоµλ −(λ+µ)t+e⇒λ+µ λ+µλ ⇒ π2 (t) = 1 − π1 (t) =1 − e−(λ+µ)t .λ+µL1 (x) → π1 (t) =(13.20)(13.21)Графики функций πi (t) представлены на рис. 32. Здесь женанесены асимптотыµλπ1 = lim π1 (t) =и π2 = 1 − π1 =.t→∞λ+µλ+µ1π2π2 (t)0,5π1 (t)π1−1λ−µln, λ>µλ+µ2λРис. 32Финальные вероятности состоянийВо многих случаях, когда СП длится достаточно долго, возникает вопрос о предельном поведении вероятностей состоянийπi (t) при t → ∞. Его решение для НЦМ аналогично решениюЛекция 13. Дифференциально-разностные уравнения Колмогорова97для ДЦМ, а именно: если число состояний конечно и имеетсяединственный КЭ по параметру интенсивности, то существуютфинальные вероятности состоянийπi = lim πi (t) > 0.t→∞(13.22)Это означает, что с течением времени в системе устанавливаетсяпредельный стационарный режим, когда система переходит изсостояния в состояние, но вероятности состояний как функциивремени остаются неизменными.
В стационарном режиме i-яфинальная вероятность может быть истолкована как среднееотносительное время пребывания системы в i-м состоянии.Система, для которой существуют финальные вероятности, и соответствующий СП называются эргодическими.Существуют три способа вычисления финальных вероятностей состояний:• по определению согласно (13.22);• путем решения системы линейных алгебраических уравнений, которая строится по системе уравнений Колмогорова (13.7),(13.8), если в последней положить πi (t) = πi , π̇i (t) = 0, и имеетвидNNPPλij πi =λji πj , i = 1, 2, ... , N ,(13.23) j=1j=1NPπi = 1.(13.24)i=1Заметим, что система (13.23) может быть построена по мнемоническому правилу, которое является следствием мнемонического правила построения системы уравнений Колмогорова:в стационарном режиме для каждого состояния i суммаNPλji πj всех входящих потоков вероятности равна суммеj=1NPλij πi всех выходящих потоков;j=1• наконец, третий способ определения финальных вероятностей состояний основан на формуле 8 из табл.
13.1, согласнокоторойπi = lim πi (t) = lim xLi (x) .t→∞4 Г.А. Соколовx→098Разд. 3. Непрерывные цепи МарковаПример 13.3 (продолжение примеров 13.1 и 13.2).Найдем финальные вероятности состояний.Первый способ — см. пример 13.2.Второй способ — полагая в системе (13.13) πi (t) = πi ,π̇i (t) = 0 или используя мнемоническое правило, получим(µπ2 = λπ1µλ⇒ π1 =, π2 =.λ+µλ+µπ1 + π2 = 1Третий способ — согласно (13.19):xL1 (x) =x+µµλ−−−→ π1 =⇒ π2 = 1 − π1 =.x + λ + µ x→0λ+µλ+µПример 13.4. Жизненный цикл студента включает как минимум три состояния: занятия (i=1), развлечения (i = 2) и сон(i = 3) с переходами 1 → 2 → 3 → 1 → ... .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
