Теория случайных процессов (1042226), страница 19
Текст из файла (страница 19)
На поверхности пруда плавают шесть листьев с номерами 1,2,. . ., 6. На i-м листе сидит лягушка и раз в минуту перепрыгивает на другой лист. С внутренних листов (2, 3, 4, 5) онаперепрыгивает на соседние i − 1 или i + 1 с равными вероятностями. С внешних (i = 1, 6) она перепрыгивает на один из листовпротивоположной четности также с равными вероятностями.Ответ: РГС – см. рис. 66.1/211/221/331/21/31/31/361/21/31/251/31/21/241/2Рис.
662.15. Идет борьба трех конкурентов A, B , C . A устраняет любого из своих противниковс вероятностью 2/3, B — с вероятностью 1/2, C — с вероятностью 1/3. Каждый конкурент пытается устранить наиболее сильного (в смысле этих вероятностей)противника. Все эти попытки онипроизводят одновременно. Побежденный конкурент выбывает издальнейшей борьбы.Подсказка: под состояниемпроцесса борьбы можно пониматьмножество действующих конкурентов: ∅, A, B , C , (A, B ), (A, C ),(B , C ) (A, B , C ).Ответ: рис.
67.∅ABA, CCB, CA, B , CРис. 672.16. Рассматривается система с N возможными состояниями. Из состояния i возможен переход в одно из состояний jпротивоположной четности с вероятностью, пропорциональнойномеру j .152Сборник задачПодсказка: pij = cj , c = Xj 6N −1j , где сумма беретсяпо четным j , если i — нечетное число, и наоборот.2.17. Задача о разборчивой невесте.
Невеста знакомится последовательно с N женихами. Познакомившись с i-м женихом,она с вероятностью pi выходит замуж, т. е. переходит в (N + 1)-eсостояние, а с вероятностью qi = 1 − pi навсегда отвергаетего предложение и знакомится с (i + 1)-м, если i 6 N − 1. Разводи повторное замужество считаются аморальными. Если невестаотвергает предложение N -гоq1q2q3q4жениха, то она переходит32451в (N + 2)-е состояние «вечной свободы».
Задача имеетдва варианта:p2 p3 p4 p5p1q56N = 5,N = 5, pi = i/(N + 1),i = 1, 2, ... N.71pi = 0,5 ∀ i;1Рис. 68Ответ: рис. 68.2.18. Напитки на завтрак. Некий человек пьет на завтракодин из следующих напитков: кефир, молоко, чай, какао, кофе,сок. Он не пьет один и тот же напиток два дня подряд; болеетого, на следующий день после молока он не пьет ни кефир, нисок, после кофе для него запретны чай, кефир и молоко, послесока — кефир. Один из возможных напитков он выбирает наугад.Решение.
Если под состоянием моделирующей цепи пониматьтип утреннего напитка, то ее МВП примет видi\j1234561230 1 /5 1 /500 1 /31 /5 1 /5 00000 1 /4 1 /441 /51 /31 /51 /21 /4561 /5 1 /51 /3 0 .1 /5 1 /5 0 1 /2 1 /4 0Возможен второй вариант этой задачи. Множество напитков разбивается на три группы: (1), (2,3,4), (5,6). После напитков первой§ 2. Построение дискретных марковских моделей153группы человек пьет один из напитков второй, после второй —третьей, после третьей — один из напитков первой группы.Ответ для первого варианта: рис. 69.213654Рис.
692.19. В двух урнах размещены N черных и N белых шаровтак, что каждая содержит N шаров. Шары перенумерованы.Из каждой урны наугад извлекают по одному шару и меняютих местами. Состоянием в моделирующей ДЦМ является числобелых шаров в первой урне.Решение. Найдем условные вероятности pjk следующих событий: в первой урне после перекладывания оказалось k белыхшаров, если до перекладывания в этой урне находилось j белыхшаров 0 6 j , k 6 N . Пусть (j , N − j) — состав белых и черныхшаров в первой урне, тогда во второй урне состав имеет вид(N − j , j).
Возможны три результата перекладывания шаров:• в первой урне j → j + 1, что возможно в единственномслучае, когда из второй урны в первую переложили белый шар,а из первой во вторую черный, тогдаN −j 2pi,j+1 =;N• в первой урне j → j − 1, что возможно также в единственном случае, когда из второй урны в первую переложили черныйшар, а из первой во вторую белый, тогда 2jpi,j−1 =;N• в первой урне j → j . Вероятность этого события проще всего найти как вероятность противоположного события(j → j + 1) ∪ (j → j − 1), т. е.154Сборник задачpj ,j = 1 −jN2−N −jN2=2j(N − j),N2j = 0, 1, 2, ...
N.Полагая N = 5,получим так называемый процесс случайногоблуждания с отражающими экранами. ГС представлен на рис.70, а МВП имеет видj\k02P = 341500123450100001/25 8/25 16/2500004/25 12/25 9/2500009/25 12/25 4/25 000016/25 8/25 1/250000101324.5Рис. 70Данная цепь является неприводимой регулярной; финальныйВВС (неподвижный вектор матрицы P ) определяется из системыуравнений1/25 · π1 = π0 , π0 + 8/25 · π1 + 4/25 · π2 = π1 , 16/25 · π + 12/25 · π + 9/25 · π = π ,12324/25·π+8/25·π+π=π,44351/25 · π4 = π5 ,π0 + π1 + π2 + π3 + π4 + π5 = 1.2.20.
N шаров один за другим наугад размещаются по N урнам. Пусть i — число занятых урн после размещения очередногошара, i = 0, 1, 2, ... N .Решение. Найдем вероятности перехода i → j . Из состояния i возможны переходы, во-первых, в состояние i + 1, если§ 2. Построение дискретных марковских моделей155очередной шар попал в пустую урну, и, во-вторых, в состояние i,если очередной шар попал в занятую урну. Очевидно,N −ii, i = 0, 1, 2, ... N − 1; pi,i = , i = 0, 1, 2, ... N.NNРГС представлен на рис. 71, цепь является моноэргодическойпоглощающей.pi,i+1 =1/N1012/NN2N −1N1N −2NРис. 712.21. В урне содержатся два неокрашенных шара. В последовательные моменты времени t0 < t1 < t2 < ... извлекается одиншар, окрашивается в белый или черный цвет и возвращаетсяв урну.
Если шар не был окрашен, то выбор цвета случаен, еслиже был окрашен, то цвет меняется.Подсказка:• принять за состояние моделирующей цепи тройку чисел(x, y , z), где x, y , z — числа неокрашенных, белых и черныхшаров соответственно, x + y + z = 2;• из состояний (0,0,2) и (0,2,0) возможен переход тольков состояние (0,1,1) с вероятностью 1;• из состояния (0,1,1) возможны переходы только в состояния(0,0,2) и (0,2,0) с вероятностями 1/2;• из состояния (1,1,0) возможны переходы в состояния (0,2,0)и (0,1,1) с вероятностями 1/4 и в состояние (1,0,1) с вероятностью 1/2 и т. д.2.22. В урне содержатся M белых и N черных шаров.
Изнее наугад извлекаются n шаров и отбрасываются. Экспериментпродолжается снова и снова, пока в урне не останется менее nшаров. Рассмотреть два варианта: M = 5, N = 3, n = 2; M = 8,N = 5, n = 3.Подсказка:• в качестве состояния моделирующей цепи принять составшаров в урне после очередного извлечения;• для определения вероятностей перехода из состоянияв состояние воспользоваться формулой гипергеометрическогораспределения, согласно которой вероятность извлечь m белых156Сборник задачи (n − m) черных шаров из урны, содержащей S шаров, в томC m C n−mчисле T белых, равна T nS−T .CS2.23. В двух урнах 1 и 2 размещены N шаров.
На каждомшаге рассматриваемого процесса наугад выбирается один шар.Этот шар помещается в урну 1 с вероятностью p или в урну 2с вероятностью q = 1 − p.Решение. Под состоянием моделирующей цепи будем понимать i — число шаров в урне 1, 0 6 i 6 N .
Пусть в урнах 1 и 2размещено соответственно i и (N − i) шаров. Чтобы осуществитьN −iпереход i → i + 1, нужно с вероятностьювыбрать шарNиз урны 2 и с вероятностью p поместить его в урну 1⇒ pi,i+1 =iN −i=p. Чтобы перейти i → i − 1, нужно с вероятностьюNNвыбрать шар из урны 1 и с вероятностью q поместить его в урнуiq . Тогда2 ⇒ pi,i−1 =NiN −iiN −ipi,i = 1 − pi,i−1 − pi,i+1 = 1 − q −p=p+q.NNNNДля N = 5 РГС представлен на рис. 72. Моделирующая цепьявляется неприводимой регулярной.1q5q2q510p14p+ q554p54q53q5233p523p+ q5532p+ q552p5q41p55p41p+ q55Рис.
722.24. В двух урнах 1 и 2 размещены N шаров. На каждомшаге рассматриваемого процесса бросается монета с вероятностью выпадения герба p. При выпадении Г извлекается шар изурны 1, в противном случае шар извлекается из урны 2. Затемснова бросается та же монета и при выпадении Г извлеченныйшар помещается в урну с четным числом шаров, в противномслучае — в урну с нечетным числом шаров.Подсказка:• состояние i = число шаров в урне 1, 0 6 i 6 N , при i = 0, Nпроцесс перекладывания шаров обрывается;157§ 2. Построение дискретных марковских моделей• pi,i+1 =pi,i =((pq ,q2,i четно,i нечетно;pi,i−1 =(pq ,i четно,p2 ,i нечетно;p2 + q 2 , i четно,2pq ,i нечетно.2.25. В двух урнах 1 и 2 размещены N шаров.
На каждомшаге рассматриваемого процесса выбирается урна 1 с вероятностью p1 = i/N или урна 2 с вероятностью p2 = (N − i)/N , где i(N − i) — число шаров в урне 1 (в урне 2). Из выбранной урнынаугад извлекается шар и помещается в одну из этих урн с темиже вероятностями.Решение. Пусть i = число шаров в урне 1 = состояниемоделирующей цепи (0 6 i 6 N ), найдем вероятности переходовi → j . Чтобы перейти i → i + 1, нужно выбрать урну 2 (с вероятностью p2 ) и извлеченный из нее шар положить в урну 1i(N − i)(с вероятностью p1 ) ⇒ pi,i+1 = p1 p2 =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
