Теория случайных процессов (1042226), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Чтобы перейтиN2i → i − 1, нужно выбрать урну 1 и извлеченный из нее шарположить в урну 2; очевидно,pi,i−1 = pi,i+1 ⇒ pi,i = 1 − pi,i+1 − pi,i+1 =i(N − i)i2 + (N − i)2=.N2N2На рис. 73 приведен (при N = 5) РГС процесса случайногоблуждания с поглощающими экранами. Цепь является полиэргодической поглощающей. Матрица поглощения имеет вид=1−2P =i\j0510,80,60,40,20,20,40,60,8324.В задачах 2.26–2.29 рассматривается блуждание пешеходапо улицам незнакомого города.

Он идет от перекрестка к перекрестку, где направление дальнейшего движения выбираетнаугад. Схемы городов представлены на рис. 74–77. Состоянием моделирующей цепи является номер перекрестка, которомуна ГС соответствует вершина. Каждому отрезку пути пешехода между соседними перекрестками на ГС соответствует дуга158Сборник задач4/256/251014/256/25326/2517/256/2513/254/254154/2513/2517/25Рис.

73с двумя стрелками на концах (что позволяет вдвое сократитьчисло дуг и тем самым значительно упростить граф без потериего информативности). Таким образом, ГС цепи, моделирующейпроцесс случайного блуждания пешехода по городским улицам,практически совпадает со схемой города.2.26. См. рис. 74.123546798Рис. 74Решение. МВП имеет видi\jP =123451 /3 1 /3 1 /311 /41 /42  1 /4 1 /4 1 /41 /4 1 /431 /41 /44  1 /41 /6 1 /6 1 /651 /41 /4671 /48967891 /41 /6 1 /61 /41 /41 /3 1 /31 /4 1 /41 /41 /41 /61 /41 /4 1 /41 /31 /4.Эта цепь является неприводимой и регулярной. Действительно,применяя алгоритм построения последовательности ЦП КЭ, получаем пересечение§ 2.

Построение дискретных марковских моделей159(1) → (2, 3, 4) → (1, 2, 3, 4, 5, 6, 9) →→ hпересечение с предшествующими множествамиi →→ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 9) → (1, 2, ... , 9) → (1, 2, ... , 9) ⇒⇒ (1, 2, 3, 4, 5, 6, 9) ⇒ hсовпадение с однимиз предшествующих множествi ⇒ hодин подклассi.2.27. См.

рис. 75.Рис. 752.28. См. рис. 76.Рис. 762.29. См. рис. 77.Рис. 77В задачах 2.30–2.33 рассматривается процесс случайногоблуждания мыши в лабиринте. Лабиринт представляет собойсовокупность ячеек — плоский аналог пчелиных сот, но в отличие от сот некоторые пары ячеек могут иметь односторонниеили двусторонние проходы. Посаженная в одну из ячеек, мышь160Сборник задачнаугад выбирает один из проходов (если он имеется) и перебегаетво вторую, из второй в третью ячейку и т. д.Лабиринт задается схемой (см.

рисунки к примерам), накоторой изображены N ячеек со стрелками, пересекающими теих смежные стенки, в которых существуют проходы.Процесс перемещения мыши моделируется ДЦМ. Ее ГС состоит из N вершин, взаимно однозначно соответствующих ячейкам лабиринта. Вершины i и j связаны дугой i → j , если изячейки i возможен переход в ячейку j . Вероятность переходаравна для всех j , для которых существует дуга i → j , pij == 1/ki , где ki — число дуг, исходящих из вершины i. Переходяк примерам, заметим, что схемы лабиринтов представлены нарис. 78, 80–82.2.30. См. рис. 78.451896372Рис. 78Данному лабиринту соответствует РГС на рис. 79.

Имеем полиэргодическую поглощаюшую цепь с четырьмя поглощающимисостояниями. МВП в канонической форме имеет видi\j11123411314P =1 /35  1 /36  1 /3 1 /371 /3 1 /381 /3 1 /329567891 /31 /31 /31 /31 /4 1 /4 1 /4 1 /4.161§ 2. Построение дискретных марковских моделей451896372Рис.

79Здесь:Sc = {1, 2, 3, 4},Sн = {5, 6, 7, 8, 9},T = {pij : i ∈ Sс , j ∈ Sс },R = {pij : i ∈ Sн , j ∈ Sc },Q = {pij : i ∈ Sн , j ∈ Sн },0 = {pij : i ∈ Sс , j ∈ Sн };i\j5R(n) −−−→ B =n→∞786910,4170,4170,4170,0830,2520,0830,4170,0830,0830,2530,0830,0830,4170,4170,2540,4170,0830,0830,4170,25,где T , R, Q, 0 — блоки МВП, B — матрица вероятностейпоглощения.2.31.

См. рис. 80.Рис. 806 Г.А. Соколов162Сборник задач2.32. См. рис. 81.Рис. 812.33. См. рис. 82.Рис. 82Следующие четыре задачи описаны Феллером и представляют собой частные случаи урновой модели Пойа: урна содержитb черных и r красных шаров. Из урны извлекается один шари возвращается обратно, причем в урну добавляется c шаровтого же и d шаров противоположного цвета. Затем снова производится случайное извлечение и повторяется тот же процесс.В результате получаем цепь ξn , n = 1, 2, ...

, где n — номеризвлечения. Эта цепь не обязана быть марковской. Например,пусть ξn = 1, если шар, извлеченный на n-м шаге, оказалсячерным, и ξn = 0 в противном случае, тогда:P {ξn = 1 | ξn−1 = 1, ξn−2 = 1} =b−2,b+r−2§ 3. Анализ структуры дискретных цепейP {ξn = 1 | ξn−1 = 1, ξn−2 = 0} =163b−2,b+r−2т. е. наша условная вероятность зависит от предпредыдущего шага, следовательно, цепь ξn не является марковской. В то же времяаналогичная проверка двумерной цепи (ξn , ηn ), n = 1, 2, ... , гдеξn (ηn ) — число черных (красных) шаров в урне после n-гоизвлечения, свидетельствует о ее марковости.

Читателю рекомендуется продолжить решение этого примера в рамках задачи2.34. Заметим, что во всех последующих задачах возможны ситуации, когда процесс извлечения шаров обрывается, это — когдазначение цепи ξn или ηn при некотором n становится равнымнулю или когда объем урны ограничен числом C и при некоторомn значение суммы ξn + ηn становится равным этому числу.2.34. b = r = 2, c = −1, d = 0.2.35. b = 2, r = 3, c = −1, d = 1 (модель миграции населения).2.36. b = 3, r = 5, c = 1, d = 0, C = 12 (модель эпидемии).2.37. b = 3, r = 5, c = 0, d = 1, C = 12 (модель службыбезопасности).§ 3. Анализ структуры и предельного поведениядискретных цепейДЦМ в данном параграфе задаются ГС без указания вероятностей перехода.

Для одних задач используется явная формапредставления ГС, для других — матрица смежности A = (aij )где aij = 1, если существует дуга i → j , и aij = 0 в противномслучае. По ГС следует выполнить полный структурный анализцепи, включая построение множества существенных состояний,их разбиение на КЭ и структурный анализ каждого КЭ, определение типа цепи и самостоятельный выбор МВП с ее записьюв канонической форме.Анализ предельного поведения цепи включает построениефинальной МВП, самостоятельный выбор вектора начальныхвероятностей и определение векторов вероятностей состояний.6*164Сборник задач3.1.3.2.1 2 3 4 5 6 7 8 9 1012111311 1411511 1 1 611 1781 9110111 11113.5.110101 11 1 11 111 11111 2 3 4 5 6 7 8 9 101 13141111 1 111 151 11611 718191 11023.6.1 2 3 4 5 6 7 8 9 101131415671181921 13.4.1 2 3 4 5 6 7 8 9 1031 45161 1 1171 111 81911021 2 3 4 5 6 7 8 9 10341 1516178 1923.3.1111111 11111 111134567892101 2 3 4 5 6 7 8 9 101 11 11 111 1 111 1 11111111 11 11165§ 3.

Анализ структуры дискретных цепей3.7.13.8.1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 131415 11 16781911021111 1 13.9.11111034567892101111 1111345678921 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1 1 11 11111 1111101111 1113.12.1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1111 11111111 1111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 113 141 111 1 1 11 516117181 1 911023.11.13.10.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 134111516718 1 1921111 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1012111314111111511161718191101166Сборник задач3.13.13.14.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111 131 1411511617892101 11 1111 11121 11 13 1 111 1 411 115161 1 1 171 1 11 1811191103.15.13.16.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111 1 1 111 1 11 111 11111 111 1134567 189210134567892103.17.134567892101 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1111111 11111 111113.18.1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011111111 1 11111111 11 1 11 11111 2 3 4 5 6 7 8 9 10111314 11115 111161 718191102167§ 3.

Анализ структуры дискретных цепей3.19.13.20.1 2 3 4 5 6 7 8 9 101111 13411 1115116111 171118 1191102111 1111 1 1 11 11 1 1 110134567892101 2 3 4 5 6 7 8 9 101111 1 1311 141 11151116117811 11 11 191 111023.23.13.22.1 2 3 4 5 6 7 8 9 1013415 161 1 178921 2 3 4 5 6 7 8 9 101 11314111151 11 16111 17181 911023.21.13.24.1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1111111111111 1 11 1 1111 2 3 4 5 6 7 8 9 10111 134156718192101111 1 11168Сборник задач3.25.13.26.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10113 1 1141 111151 1 161718191102123456789103.27.11101 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 11 11 111 11 1 11 11111 1 11111 111 1111 1111 11 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1113411 1 115111 161 17 1 111181191 1 1 1102Для задач 3.29–3.67 ГС задаются в явном виде.3.29.11 1 1 1 111 111 1 11 1 1 1 113.28.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 134 15 16171892169§ 3.

Характеристики

Список файлов книги