Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Компоненты тензора напряжения изображены на рис. 1Х.1.1. Главное свойство тензора напряжений. Для выявления главного свойства тензора напряжений обратимся к задаче о вычислении момента сил, действующих на объем тела. Как известно, момент силы определяется формулой М=[Е.), или в координатной форме Мм=Е;х,— Р,хь Иначе говоря, момент силы выражается тензором второго порядка. Пусть в написанных выше формулах Р~ — компоненты силы, приходящейся на единицу объема.
Тогда Мм есть компонента тензора момента силы, приходящаяся на единицу объема, а Ммй)7 — компонента тензора в элементе объема б)7. Компонента момента силы, действующей на весь объем, ~ Ми,с()7=~ (Г,х,— Е„х;) с()7. У 397 Тензор напряжения. Если в свободном теле представить себе плоскость, отделяющую одну часть тела от другой, то через эту плоскость действуют силы сцепления частей тела. Эти силы взаимно компенсируют друг друга и определяются только внутренней природой тела.
Однако если тело деформировано, то равновесие внутренних сил нарушается и сумма сил, действующих внутри тела, не равна нулю, а должна компенсироваться суммой тех сил, которые возникают вследствие воздействия со стороны внешних тел. Пусть в элементе объема тела действует сила с компонентой Е;Ю. Полная объемная сила, когда воздействий нет, выражается интегралом ~ Р; с(1' = О. Если со стороны внешних тел к данному объему )7 тела приложены силы, то этот интеграл не будет равен нулю и должен преобразоваться к силам, действующим через поверхность, ограничивающую объем )7: Учитывая выра>кение для Р, через компоненту тензора напряжения, получаем ~ д(„др=~( — ""'.,— — "" х.) у= д Р ! дхл дх; ~ дх> — (оихх — о„х,) др — ~ ~ои — — ом — ') с(Ч. 3 ~ дх> ' дх> ) 'Р Первый интеграл с помощью теоремы Остроградского — Гаусса преоб- разуем в интеграл по поверхности.
Второй интеграл, используя соотдхл ( 1 ПРи (=)г, ношение —" = б, = ' представим в виде ~ 0 при !~А, (о ~„, — 1„~ШУ = ~ (>;,— „)6„~У. ,.) дхл дх> ~ > ' дхх >' Поскольку нескомпенсированные вращательные моменты могут действовать через поверхность тела, то интеграл, который не приводится к интегралу по поверхности, должен быть равен нулю: ~ (ом — ом) бгл сИ/ = О. Отсюда следует (1Х .1.8) ом = ом. Соотношение (1Х.1.8) выражает главное свойство тензора напряжения: тензор напрявкений симметричен относительно диагональных членов. Условия равновесия.
Если на поверхность тела не действуют внешние тела, а внутри действуют объемные силы, то условие равновесия = — Ркь дхл (1 Х .1.9) Если на тело действуют внешние силы р,г(1, то они должны быть уравновешены силами внутреннего напряжения так, чтобы (р; — омпл) дг = О, или р = г'мпь (1Х.1.10) Наконец, условие динамического равновесия получается на основании принципа Даламбера, если объемную силу Р, в (1Х.!.9) заменить эффективной объемной силой: д~и; Рь> Р др Тогда из уравнения (1Х.!.9) следует уравнение движения при деформировании: (1ХД Д1) 898 Деформация и механическая работа.
При деформировании тела внешние силы производят работу. Работа деформирования бии совершаемая под действием внутренних сил Р~йг', записывается как произведение силы на деформацию: Р, ди, и"к'. Работа, произведенная во всем объеме тела, представляет собой сумму всех элементарных работ деформирования: Г1 г)иА7 = ~ 1— 'Ди,й'г' = Г дам дхх дх 1ам ии') г)г ~ ам д'. Г д Г д дхх $ В полученном выражении работы первый интеграл приводится к интегралу по поверхности д — (ам г)и~) Л~ = ~ ам г)и~ пх гч', а второй преобразуется к виду о;,— й)и;) АР = ~ амА — Ю д Р ди, дхл ' д ' дхх и = ~ а,„б ~ - ( —,"' + ди" ~ ~ Л' = ~ ам г)и; Таким образом, работа сил упругости во всем объеме тела равна А — ~ апти;пью — ~опции, Л~.
Полученное выражение должно быть справедливо для любых объемов. Необходимо считать, что при увеличении объема до бесконечности работа должна оставаться конечной величиной. Вследствие затухания любого действия в бесконечно удаленной точке полагаем, что первый интеграл равен нулю. Таким образом, работа деформированного тела ~ 6А Ю = — ~ амбим и 1I.
У Отсюда работа, отнесенная к единице объема, 6А = — ом зим. (1Х.1.12) Термодинамические потенциалы деформированного тела. Будем иметь в виду, что в качестве обобщенных сил принимаем компоненты тензора напряжения х;,=ом, а в качестве обобщенных термодинамических координат — компоненты тензора деформации. Поэтому функции, записанные на основе (1Х.1.9) с учетом (1Х.!.12), являются термодинамическими функциями единицы объема. В табл.!Х.1.1 приведены формулы термодинамических потенциалов и уравнений состояния для изотропного твердого тела.
399 Таблица 1Х.11 Термодннамнческнй потенпнал Г!рнращенне Урааненяе состояння Внутренняя энергия единицы объема ди = Т да — и мбцм Теплояан функция единицы объема дЬ = Тда лги,а дога Термодинамический потенциал Гиббса дя = — адт+ юа дога ~ =1о+ бггм+ —,— —, Ые+ —,- —, бп1й+ . 11Х.!.13) д! ! о"! , ! да! =О ди„ Зная термодинамический потенциал, можно получить уравнение состояния. Обычно явных выражений для термодинамических потенциалов не существует, поэтому составить уравнение состояния, пользуясь табл.
1Х.1.1, на первый взгляд невозможно. Однако в линейной теории упругости дело значительно упрощается, поскольку все изменения параметров принимаются малыми. На основании этого можно получить приближенные выражения термодинамических потенциалов при разложении той или иной функции по малым параметрам. Тогда для твердого тела можно найти восемь линейных уравнений состояния; 4 механических и 4 калорических. Закон Гука. Механические уравнения состояния твердого тела в линейном приближении известны как различные формы закона Гука.
Простейшая форма закона Гука, широко применяемая в технических приложениях, относится к однородной деформации стержней. Для выявления многообразных видов упругих волн необходимо иметь ясное представление о линейных уравнениях состояния в общем виде. Рассмотрим изотермическую деформацию упругого тела. При ней изменение свободной энергии единицы объема выражается функцией компонент тензора деформации и ее можно представить в виде степенного ряда по малым приращениям этих компонент: Опустив первый член в (И11.5.!3), как несущественную постоянную, находим 6) =- — бам+ —, .
бам+.... 1 дага г 1 дзота ! 2 диаи =о 3 ди)им. =о И ига= (! Х.!.14) Согласно (!Х.!.14), механическое уравнение состояния получаем в виде д! ! дтм 'г 1 ! дзига ! Здесь )о — удельная свободная энергия при нулевых деформациях; ди)!дии. — производные, взятые при значениях независимых переменных, равных нулю. Из сравнения коэффициентов разложения с механическим уравнением состояния, составленным на основе свободной энергии, видно, что первый коэффициент д(!дигь является компонентой тензора напряжения.
Однако он взят при нулевой деформации. Поэтому второе слагаемое рассматриваемого ряда равно нулю. Следующие слагаемые преобразуются так, как показано ниже: 1 дз! ! дога ! дг! 1 туга!а 2 ди)зыи о 2 диг„) 3! ди)а ЗТ ди!А г,"га= га Ограничившись линейными членами, запишем наиболее простое механическое уравнение состояния, называемое законом Гукщ дам ага = — — 6 им. дим и..—..о . И- Приращение тепзора деформации можно выразить через приращение диагональных членов, поэтому в правой части этой формулы выделим отделыю сумму диагональных членов тепзора деформации. В результате закон Гука принимает вид ам = ) и и 6;и+ 2рим, (1Х.1.15) где )ь и р — модули упругости () и р — первый и второй коэффициента Ламе); бм = 1 при ! = )г и бм =- О при ! ~ гг.
Уравнению (! Х.!.15) можно придать форму, в которой четко разделены сдвиговая и объемная деформации. Одной из возможных форм такого рода является выражение 1 ам = 26(ига — — бгаигг ~+ Кбмип, (1Х.!.15) где 6 и К вЂ” модули упругости.
Постоянную б нззывают модулем сдвига, поскольку для деформаций без изме пения объема могут существовать только сдвиговые напряжения: ага =-20ига (им=о при г= А). Если деформация тела не сопровогкдается сдвигом, то для изотропного тела (ид = и„=, и„) получаем 3 ом = 2д ( игг — — игг)+ А Зим =- ЗАид, т. е. имеем чистое расширение или сжатие: им=ад!(3/г)=р/ЗА. 401 При этом относительное изменение объема а(л р Зи!с у А' Коэффициент К называют иэотерлшческим лсадулем объемнод стлругости. Между постоянными Ламе и модулями о и К существует связь: 2 О-ш К=Х+ — р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
