Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 71
Текст из файла (страница 71)
В зависимости от того, какие переменные приняты независимымн, релаксацнонная сила ~р выражается производной от соответствующего термодинамического потенциала по параметру Ь: р (, р, ~) = — ( —,',.")... Ф (Т р ь)= — (,~~) дй г,р' (И И.5.2) р (,, ~)=-(Я->... р(т,р ь)= — ® Так как при ~=~"' релаксационная сила равна нулю, то из (7111.5.2) следует, что равновесные состояния соответствуют минимуму термодинамических потенциалов. В дальнейшем изложение будем вести, используя понятия обобщенных сил Х и У и обобщенных координат х и у. В этой форме обозначим любой из термодинамических потенциалов символом обобщенного термодинамического потенциала Л(х, у, ~) так, что формулы (УП1.5.1) запишем в виде одной — применительно к обобщенным термодинамическим величинам Л.
(х, у, ь)= — Хб(х — У((у — ЧЩ, где Х= —.~ — ); У= — ( — „), Ч'= — ( — „„) — обобщенные силы; х, у и ~ — обобщенные координаты. Для облегчения изучения, материала приводим табл. УП1.6.1 значений обобщенных величин и обобщенного термодинамического потенциала для простой термодинамической системы. Т а б л и и а и'П! 6.1. Обобщенные величины Обобщенные величины простой термодинамической системы в (Н!11, б.и Т Р Рйв 1(Т Р й) Р Т Р)Р' Чт м(и, Р, 1) Р Т 1(Р Чт а( Р 1) у — Х Р вЂ” 1/Р а(Т,Р, Р Учитывая (ЧП1.6.2), получаем формулу линейного приближения для релаксационной силы: Ч"=Я)"' (6~ — 6~«).
(У1П.6.4) 385 13 Л, Ф. Лепендин Разложим релаксационную силу в ряд Тейлора по обобщенным координатам и ограничимся линейными членами: = н'+( — ';)' "+(-',")' "+(Т)' Имея в виду, что равновесное значение Чт(1) = О, получаем Чт=( д ) ((х+( д ) ((у+( д ) б(в, (нП1.6.2) Для равновесных процессов Ч" =О, поэтому — "'' „, "' + '~= дЧ' ((11 Г (дчт(дх)(11(ух+(дчт/ду)(11 ((у 1 +6~((~=О. дг,), „(дч (дй)(о Отсюда изменение бь(" при равновесных процессах равно (дЧ !дх)(1!в дх+(дчт1ду)(11 ау (дчт/д1) (11 „ соотношения: о(о) К(оо) К< о) с<о) о)о = о о)о то = — то (ЧП! б 10) с< ) )Г(о) о = .<о) $ р где с<, ), ср< ) и К< ' — теплоемкости и адиабатнческий модуль упругости при высоких частотах (о)))о)о); с,, с и К, — теплоемкости <о) <о) <о) и адиабатнческий модуль упругости при низких частотах (о) (( о)о).
При распространении звука параметр ь« ) периодически изменяется около своего среднего значения . То же самое относится и к не- равновесному значению этого параметра. Изменения ~ и ~<н выражают формулами: 6Ь = 6ЬоЕ-д'<, 6Ь< = 6«.Н Е-)"'. (И1!.б.!1) Подставляя эти выражения в линейное уравнение релаксации (Ъ'П1.6.6), получаем 61о =, (И11.6.
12) т. е. между 6ЦО и бь, имеется сдвиг фаз, определяемый произведе- нием частоты колебаний и времени релаксации т„„ <! уш.т. РелАксАции теРмодинлмических Величин Основнв<е свойства чистых жидкостей определяют следующими термодинамическими величинами: 1) изотермическим и адиабатическим модулями упругости К, р ( ), Кг р ( — ), (И11.7.1) 2) теплоемкостями при постоянном объеме и постоянном давлении Со=(д~), СР— — (дт); (о)11!.7.2) 3) термическими коэффициентами объема и давления а') = — ( — ), а<р) — ( ) .
())П 1.7.3) 4) коэффициентами сдвиговой и объемной вязкости 5) коэффициентом теплопроводности дТ<дх ' 38? Исследуем эти величины с точки зрения неравновесной термодинамики. Поскольку независимые переменные являются функциями параметра неравновесности ~, то каждый из перечисленных коэффициентов может иметь как равновесные, так и неравновесные значения.
Неравновесные значения указанных величин соответствуют процессам, протекающим в условиях нарушенного статистического равновесия; их будем обозначать обычными символами этих величин, равновесные— индексом, поставленным вверху справа от символа, обозначающего ту или иную величину. Например, неравновесное значение адиабатического модуля обозначим К„равновесное К, . гг) Найдем формулу объемной вязкости для периодического процесса изменения плотности: Р (!) = Ре+Ьреl". Из уравнения непрерывности др)д!+рог(!то=О получаем !юбр = — р, г(!у ч или г)!ут = — )ю — .
бр Ро Тогда с учетом (У!11.7.6) приводим ()7!!1.7.4) к виду (А!11.7.6) Принимая во внимание (Ч!!1.7.1), получаем [К Кгг)! (П11.7.7) 388 Таким образом, коэффициент объемной вязкости $ равен нулю, если К, =К~~~, т. е. при равновесных процессах. Термодинамические коэффициенты определяются первыми производными от термодинамических сил или потенциалов по термодинамическим координатам. Поскольку термодинамические координаты являются функциями параметра ~, то Воспользовавшись ()г!11.6.12), получим После алгебраического преобразования производная (дХудх)„ определяется формулой Сумма двух первых членов выражает полную производную Х с учетом равновесного значения параметра Г Чге~).
Обозначим зту величину (дХ/дх)е Производная от обобщенной термодинамической силы Х, взятая при постоянных значениях координаты у и параметра (, соответствует тому числовому ее значению в акустической волне, которая может наблюдаться при мгновенных изменениях состояния, т. е. при бесконечно больших частотах. Обозначим эту производную прн помощи символа со; (дл" ~ (дХ)1 ! Таким образом, дифференцирование термодинамической величины Х по независимой переменной с учетом параметра неравновесности приводит к следующему комплексному выражению: ( дх )э 1+!сота [( дх )а + ! " э( дх ) ~' (Ч1!1 7 8) Выражение (ЧП!.7.9) является математической формулировкой закона релаксации производной обобщенной силы по независимой переменной х при постоянной другой независимой переменной.
Разумеется, производные (дХ?дх)ю (дХ(дх)а и п можно записать, используя обобщенный термодинамический потенциал Е: Ж,(х, у, Е) = — Хс(х — Уг(у — Ч" с(ь, где Х = — (г(Цг(х)а, г', У = — (дЕ!ду)„, г( Ч'= — (дЬ/дь)„х. Следовательно, равновесная производная (дХ)дх)а' и относительное значение мгновенной производной п выражаются вторыми производными от термодипамического потенциала. Формулу производной по независимой переменной можно применить в случае, если в качестве функции Х взять любую термодинамическую функцию независимых переменных х, у и ь.
В частности, ее можно записать для обобщенного термодинамического потенциала: дЕ ! (дЕ!дх)ы~ — (1 + рпп), дх га 1+)ьт (Ч111.?.10) (дЕ(дх)1~1 где и= (дЕ(дх)~~ Применим (Ч1П.7.9) длн вывода частотной зависимости комплексных упругих модулей, теплоемкостей и термических коэффициентов в веществе, имеющем частоту релаксации ю„. Комплексный адиабатический модуль упругости получают из (Ч1П.7.9) при замене обобщенной силы Х давлением р, обобщенной Далее, назовем величину ьз' = 1(т,, а частотой релаксации при условии, когда восстановление равновесия происходит при постоянных значениях независимых переменных к и йт В этом случае ют, з — — ю?!) представляет собой безразмерную частоту колебаний.
Кроме (дХгдх)1ю! аюыбржруу — ",=рагу (дХ)дх) юз (ЧП1.7.8) к виду дХ 1 (дХ!дх)„'" =,+.." (!+! .). (Ч1! 1.7.9) координаты х плотностью р, обобщенной координаты у энтропией з: „, 1+>тп (7111.7. 11) 1+/т ' где т = а/аоо — частота звуковой волны, отнесенная к частоте релаксации; п= К, )К, — отношение мгновенного модуля к модулю рав<а > <о> новесного процесса . Аналогично получаем формулу для комплексного изотермического модуля упругости: Кг=КУ 1+>т ' Здесь т = а/ао г и и = К<г )(Кт. Преобразуем коэффициент объемной вязкости (><И!.7.7) с помощью выражения (о>111.7.11): тК,"' (и — 1) $о= (!<1!1.7,12) <с > <о> о о где т=а!ао; п=К, (К, =с !со.
Подобно получаем формулы комплексной теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении: с, = с„ ' „, !+>тп 1+>т (— и = с<по>1с<о>, т = а<а ~; о о о1' с*= с"' (1+ >тп) ! -(-1'т (— и = с< '>7с<о>, т = аут'). п и' о)' (>11 П.7,13) Точно так же получают комплексные выражения для коэффициента объемного расширения и термического коэффициента давления: * '>д~1' о (1 ' ) (— и = со<о>оа<'>, т = а/а'). по'о) Ф УНЬЗ. ЗАВИСИМОСТЬ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОТ ЧАСТОТЫ с<ля выяснения физического смысла действительной и мнимой частей модулей и термических коэффициентов необходимо вспомнить назначение этих величин.
Модуль упругости дает первое приближение для вычисления дополнительного давления в случае, если плотность получает неболь- шое приращение бо: бр=К ор Ро где К,!ро — квадрат фазовой скорости распространения звука. Адиабатический модуль является комплексной величиной, следовательно, квадрат фазовой скорости распространения звука — также комплексная величина. Однако физический смысл квадрата скорости распространения имеет только ее действительная часть: с' = Ке (с') * = Ке — = с;' ро о 1»-то (ЧП!.8.1) п — 1 !» оп' При и — 1< 1 со) =лт п — 1 то+ 1 (ЧП1.8.2) Рассмотрим физическое содержание комплексной объемной вязкости. Предположим, что вклад в поглощение звука релаксационных процессов определяется только реальной частью комплексного выражения коэффициента объемной вязкости (ЧП1.7.12): то ооорос! 1 л — 1 о л — 1 2росоо ~ 2роао ооо то+ 1 асо ап+ 1 ' Коэффициент поглощения на длину волны равен а — 1 а)о = Па!в то+1 ' т.
е. получаем формулу (ЧП1.8.2). Мнимая часть комплексного коэф- фициента поглощения дает добавление к волновому числу: Таким образом, фазовая скорость с учетом поправки на влияние объемной вязкости определяется из формулы ! с'=Со о 1 — то (п — !))(! ».~ао) т'(п — 1) - Г т'(л — 1) Так как и — 1«"1, то 1 — =ф' 1 —, Квадратско- 2 (1+то) ~7 1-ото рости звука 1 , / ап(п — 1) 1 и 1+пал с =со 1 о( 1))(!+ о) со(1+ 1 „)=со 1», . (Ч111.8.3) 391 Таким образом, при одиночном релаксационном процессе имеется зависимость фазовой скорости от частогы. Мнимая часть квадрата фазовой скорости сама по себе лишена физического смысла.
Однако отношение мнимой части к действительной в первом приближении дает коэффощиент поглощения на длину волны. В данном случае это тот вклад в общий коэффициент поглощения, который вносит релаксационный процесс: Формула (ИП.8.3) полностью совпадает с (И11.8.1). Значит, коэффициент объемной вязкости можно рассматривать как макроскопический параметр релаксационных процессов, происходящих в веществе под действием упругих волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
