Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 67

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 67)

Подсчет полного числа форм колебаний для сферического объема показывает, что для высоких частот различных мод колебаний, лежащих между 1 и ~+А!, число собственных колебаний пропорционально квадрату частоты: ЛУ= — ", 1'Л1. (ЧП.4.12) ! уч' Решение волнового уравнения ЛЧс = †, д, должно удовлетворять сс д~'- комплексному граничному условию. Поэтому решение будем искать в форме комплексной периодической функции; Ч'=(Ф вЂ” !Ч~) е — Ф вЂ” л»~, 4!' = (Ф вЂ” )Ч") е — ! и" — дч '. (т'11.5.3) При подстановке решения (711.5.3) в волновое уравнение получаем для действительной и мнимой частей амплитуды: бФ=б ~ Ф вЂ” дс Ч" с' сс (Ч!1.5.

4) Граничные условия (711.5.2) приводят к уравнениям: дФ дс — = рбхФ вЂ” рссх г', дЧ дп — = рбхЧ" + рвхФ. (Ъ'11.5.5) дЧ вЂ” рхссФ. дс бФ+ —,Ф= О, (Ч1!,5.6) (711.5. 7) дав — 0 дй Заменяя сс/с волновым числом й, получаем: ЛФ+ й'Ф = 0 ЛЧ'+ йсЧс = — Ф с — = 0 д — — — рсхйФ.

(Ъ"11.5.8) (711.5. 9) Для нахождения формул коэффициента затухания б воспользуемся формулой Грина ~ (Ф ЛЧ' — Ч' ЛФ) с(Ъ' = су (Ф д — Ч' у ) с(З. (И1.5.10) С этой целью подставим в (И1.5.10) значения лапласианов и производных по нормали на поверхности. Тогда после преобразований найдем ~ хФс д5 25= рс' (ЧП.5.11) ~ь Шсд Ограничимся приближением первого порядка. Иными словами, будем считать, что величины б, х и амплитуды функций Ф и Ч'(<! (малы). В этом случае уравнения (711.5.4) и (1711.5.5) приводятся к линейным: Известно, что волновые функции для прямоугольного помещения без учета затухания имеют вид ![с = А соз — соз — 'соз —.

сллх ллу рлг тхр тпр х у х При наличии затухания на стенках эти функции должны быть дополнены экспоненциальным множителем. Таким образом, амплитуда отдельной плоской волны должна уменьшаться со временем по экспоненциальному закону с коэффициентом затухания б „: с)стар=А „,е р соз — "соз — соз — о ! сплх ллу рлг Плотность энергии звукового поля пропорциональна квадрату — га „! амплитуды, поэтому 8 „р Кое р .

Сопоставляя это выражение с формулой плотности энергии диффузного поля статистической теории с (Л!.2.10) [8=нее [ ' ')4' ~, получаем с ~ хФ' с15 Х 5;а! — = 26 „р — — ргз Отсюда коэффициент поглощения по волновой теории ! 1 4)с 25 'т (атпр) = —, УЗ!а! =2б„„р — — — 4рс ',' . (Л1,5.12) — с = т.р с~5! = Ё . Согласно статистической теории, коэффициент поглощения зави- сит только от свойств покрытия. Волновая теория показывает, что коэффициент поглощения поверхности зависит не только от физи- ческой природы материала, но н от типа волны.

Проведем вычисление коэффициента поглощения ( ил!ар > для трех видов волн. Коэффициенты дли х-, у- н г-осевых волн. Для х-осевой волны (--- сплх1 Ф в,=А,х сов — ! предположим, что каждая стенка имеет известные значения тоо — тоо х проводимостей хус, ххо ххс, хую хгм ххсх. Обозначив площадки стенок 5хо, 5хс, 5у,, 5у,, 5,, 5,с, получим [см, (Л1.6.12)[. с с с,с х у х х с)с хФэ с!5 =1 ) (х„+х с,) А' соэз с[х с[у+1 ( (х„+ху! ) Аз м Х б о х о й ! снях глих Х соа' — сСх с[а+ ~ (х,о+ххсх) А' созе — сСу сСг, о сх су сх у „сллх Фв сС)с = ~ ~ ~ А ища созе — с)х с[у ссг, 'о о о 1! =1 !уст 5= ~ 51 =2 (сх!„+!хсзр+ 1~1,).

367 Интегралы, входящие в выражения $хграАБ и ~ Особу, сводятся к типу л С О, если йс теСса ~ сов(йсх) сов (уах) с(х = (пс2, если ус =Уз поэтому су щх Ажоо ~ (х о+х с ) Аосоосоза — хллс(у= 2 (иго+и» г) ""= оо Ааааа — (хго+хгс) 2 х о=хо»С»Су хгс хгс»С»Су' Аналогично, с с, а . А .( х,с ) Амза своа — сух»СУ = 2 (хуо+хус ) у г у у о о (куа + йус). Что касается третьего интеграла, то здесь надо брать значения соз(лслхсС ) на стенках х=О и х=С . В результате получаем: з лсссС» Атаа ~ ) ~ хна поза — + х...„сова — г) »СУ с(з » о о а 9 = Ааааа (иго+и»с,) Сну»= Ааоа (ига+и»с) х„а — — хг,(у(г, х„с=к„с,СУС,.

Интеграл по объему, стоящий в знаменателе, с с г у г , снях а Аж»во ~ ~ ~ своа — »Схбуба= — Аосоо С»!УС», 2 ооо Таким образом, 8рс с' ! «ожао)= а ( 2 сага+ 2 х»с+ 2 хуо+х»с) ° х Каждая стенка вносит свой вклад в коэффициент поглощения. Этот вклад пропорционален полной проводимости стенки. Однако те стенки помещения, по которым скользит волновал поверхность, вызывают меньшее поглощение при равных проводимостях, чем те, на которые волновой фронт набегает прямо. Л$ожно было бы так исе подробно произвести вычисление у- и а-осевых волн.

Однако в этом нет необходимости, так как результат легко записать сразу: 8рс с'1 ! (ого~а>= ~~ ( 2 ига+ 2 хгс+аауо+хсл+ 2 х»а+ 2 х»с) ~я (2 га 8рс с' ~со»од)= ( иго+и»с+ 2 хуа+ 2 хус) г =кз ( где с; Зс — полная поверхность стен и потолков помещения; х — проводимость стен. 368 Коэффициент поглощения для тангеициальиых волн. В этом случае для волн следует вычислить коэффициенты тлх ллу тлх рлг Атл, соз — соз, Атер соз —" соз — ' 1у с, ' ллу рлг АО соз — соз— лр Двукратные интегралы в числителе (»1П.5.12) дают: «„ Су Атло тлх ллу ) кга+хм,) созе 1 соз' 1 «(х«(У+ О О «г «г г (~ « -,— „,,» ' — г — ' *г,». О ШЛХ ЛЛУ уу о тлх ллх + ~ ~ (Хг, +Х,«„)»(у«(г СОЗΠ— СОЗЗ вЂ” «(у «(г 1, о о Г! .

! = А»лле [ 2 иго+ 2 хг(+Кур+Му«+ йуг+ху« А»л»р 1 1 ! «рл»орх «(о 2 х О+хм + луг+ ху«+ 2 5 Аглр 1. +хго+хх«)+ (йге+кг«+хуо+х»»«+ 2 хгг+ 2 хгг). Интеграл по объему для »Этлг-волны к г шлх ллу 1х(у(г Атлзсозз — 'созз — «(х «(у»(г =— 4 оо о После определения всех элементов формулы (711,5.!О) нетрудно получить коэффициенты л для всех трех касательных волн: 8рс 1' ! Ятло ~8 ( 2 х„г+ 2 хм+кур+хи«+хго+хгг), 8с1 ! ! «гтгр=ле ! йго+хг«+ 2 йуо+ 2 ху«+йхг+ хх«) лг~~=~у ~И~О+и «+х~о+хщ+ 2 хм+ — йш) .

369 Эффективность поглощения для тангенциальных волн отдельными поверхностями прямоугольного помещения зависит от ориентации волнового вектора по отношению к поверхности стены. Для тех поверхностей, где волновой вектор с нормалью к грани составляет угол 90', эффективность поглощения вдвое меньше, чем для всех других. Коэффициент поглощения для косых волн. Вычисление коэффициента поглотлх ллу рлг щения для волн 0» „= А л соз — соз — соз — косых по отношению к квжтлр= тлр х дой из грани, приводит к следующему результату: 8рс лтлр= и (хго+хг«+хго+хуг+хх«) Время реверберации для волн в прямоугольном помещении.

Выражение (1711.5.12) дает коэффициент поглощения для единицы площади поверхности. Чтобы найти время реверберации, необходимо знать полный коэффициент поглощения для того или иного типа волн. При наличии поглощения плотность энергии звукового поля уменьшается по закону е пр — — Жое рд отсюда следует, что стандартное время реверберации удовлетворяет уравнению 60 = !О !и — ' = 20бтпр( !д е = 4,34 2б„пр! тпр и определяется формулой 60 оо 4 84 26 Согласно (!711.5.12), с~5 2бтлр = атпр 4у ' откуда 60 4У 0,162 (орП.5.13) 4,34 са пр ВЯ а „, 1ьв Время реверберации для различных типов стоячих волн выражается формулами: 0,162 У тоо 8 0 с (х,о/2+ хос/2+ хро '2+ хо с!2 + х хо+ х к!) 0 162У !тло зрс (х,,)2+ х, р ) 2+ хро+ х, с+ х по+ хпо) ' тпр О, 162У зрс (х„+ х,с+ х,п, + хм+ хпо+ хпо) (1711.5.!4) 370 Они показывают, что если границы помещения вносят в поглощение энергии равный вклад, т.

е. проводимости всех стен примерно одинаковы, то затухание будет наибольшим для косых волн. Меньшее затухание свойственно касательным и осевым волнам. Случай косых волн соответствует диффузному полю. Формула времени реверберации для этих волн совпадает с классической формулой Сэбина. При низких частотах, где небольшое изменение частоты может вызывать резонансы на соседних формах колебаний, наблюдается резкое изменение времени реверберации в зависимости от изменения частоты.

На средних частотах кривая уровня интенсивности может иметь изломы и отклонения от прямой: сначала кривая спадает быстро (действие осевых волн); при высоких частотах, когда плотность спектра высока и преобладающая роль в затухании принадлежит косым стоячим волнам, затухание звука в широком диапазоне уровней (=30 дБ) имеет логарифмический характер. ГЛАВА Ч1И П0ГЛОЩВНИВ ЗВУК0ВЫХ ВОЛН В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ з 'Л11.1. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Поток импульса идеальной жидкости. Для изучения затухания волн в вязких и теплопроводных жидкостях необходимо напомнить некоторые законы гидродинамики.

Допустим, что имеется поток идеальной жидкости. Обозначим в элементе объема л(Р' плотность через р, скорость через ч. Весь объем жидкости, ограниченный проницаемой поверхностью 7, имеет импульс, определяемый интегралом по объему: ~ рчг7)7. Найдем изменение импульса в единицу времени: -- ~ ро;л()7. Поскольку объем $'з пе изменяется, то производную по времени можно внести под знак интеграла — ) ро;сП7= ~-- (рп~) л((7. Частная д(„) производная по времени от плотности импульса ргч с помощью уравнений непрерывности и Эйлера преобразуется к виду д д др (( ~) дх; (( (Ч111.

Характеристики

Список файлов книги