Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Постановка задачи в данном случае не отличается от той, которая решена в 8 П.4, однако необходимо найти звуковое поле внутри цилиндрической трубы. Рис. Н1.4.1 С математической точки зрения нужно решить уравнение (П.4.4) при граничном условии (П.З.5) и условии излучения ф(г, и),-— —,О. При проведении интегрального преобразования Фурье получим функцию +аг Р (», т) = ~ ф (г, н) егма с(н, Полагая, что Р(х, т) = А (т): ,(х), н используя граничное условие («/1.4.2), получаем 2оа а!и (т/г) т«'о а ("а) Искомая функция, удовлетворяющая условиям задачи, имеет вид 2оа Мп (т/г/ о а (х) 2оа Мп (т/г) оа (» )»/Н вЂ” тг) Р(х, т)— та« ; (хо) т ! Ы вЂ” то п ,', (о 1~ /га — гг) После обратного преобразования Фурье получаем 1 (' 2оа ап (тб) о а(» ! /го — та) «т ( (г/! 4 3) 2п .) ту»аг та (и)//га та) Несобственный интеграл («/!.4.3) можно преобразовать с помощью теории вычетов: ф( ) ' "' ' ' («/144) дота о ("г'от) т' -г где /тот= а// /г +( и ) = с а!/ 1 — ~ 2 / ) 1 («/1.4.5) / — частота колебаний; а, — корни уравнения: „=0; с — фазог/г а (пя) вая скорость в свободном пространстве.
Если не учитывать естественное затухание колебаний, то потенциал «р(», 3) при частотах, соответствующих /г, =О, неограниченно возрастает. Такие частоты называют часпготами радиальньгх резонансоз трубы. Они могут быть вычислены по формуле («/1.4.б) Чтобы исключить разрывы функции «р (», з) при резонансных частотах, достаточно формально дополнить волновое число /га небольшой мнимой частью и вместо него подставить в формулу потенциала /г;га = й,т — /б,т, а вместо квадрата волнового числа /го — квадрат мод«/ля /гот, т. е.
//От = /гот+ бот где по прежнему /га~ определяется соотношением («/1.4.5). С учетом естественного затухания потенциал скорости «)г(», г) не имеет при резонансных частотах (/га =О) бесконечно больших значений и выражается формулой «а т«!а(п (/гат/г) св (ба,л) +сот (/гата) Мп (бат/г)! о а (паат»/а) ф( з) = —,» Х (/го ( бо ) с о (паст) Хе- а 'е-''"а *. («/1.4.7) При частоте / =ссгпо/(2а) члены суммы («/1.4.7) с номерами т( (р — 1 будут содержать действительные волновые числа й,, а сла- 339 гаемые, у которых и> р — 1 — мнимые (/сот = /ло ) Для удобства анализа запишем (Ч1.4.7) в виде '">р — ' р — ! аа ~о (Мп Раааа) сЬ (ботб)+сор (/оат/!) о" (бот/!)1 о а (лыотг/а) т т т т " т (/об +бо ) а о (ла, ) а, о!!(бо„а) а о(ла, г/а) и е ар* е ' ар' + -'- — ара + ббрс о (л"ор) Ра ~о а" Н/!от+ бот) Ч а о (лаотг/а) — (Йат+ о,т) о (о,/1 4 3) Рот + бот) р а ("'!аоот) т=р+ ! где р=2, 3, 4, ...; б,т — коэффициент естественного затухания среды о .а Ы °; ~„— «.а ° гр а;„! !=а; — ) = — 1/ 1 — ( — ); / — частота; /о — волновое 2 ! а ) с 1' (, 2а//' число; а — радиус цилиндрического канала; ло = — ~/(" ' ) — Йо, па~ р+1; ( — "'") — ло з О.
а Составляющие первой суммы описывают бегущие волны с фазой — ло г и амплитудой Мл (/гат/!) сь (бата) + соа (/гат/!) оЬ (бата) а , (ла,тг/а) /сот+ ббт с а (ааааа) Каждая из этих волн распространяется с фазовой скоростью с„„=с/)г 1 — (соа с/(2а/))' в положительном и отрицательном направлениях по оси 2. Амплитуды этих волн неодинаковы по фронту. Для волны, соответствующей индексу От, амплитуда потенциала скорости (а значит, и амплитуда давления) на различных расстояниях от оси цилиндра различна: она пропорциональна функции Бесселя нулевого порядка а о(лсоот«/а) и имеет нули для тех значений «/а, для которых а о(ля„«/а) =О. Пусть соа «ог/а=про! — корни этого уравнения (1=1, 2, 3, ...). Тогда формула радиусов нулевых амплитуд: ао «„/а= рог, откуда «о! = Фог/сор~ Вторая сумма состоит из членов, которые выражают собой коле- а)! 1/оат + бот) 61 а о 1 лагат ) г! бательный процесс с амплитудой,, „~ е-(' ~ о )', имеющей нулевые значения в тех местах, для которых отношение г/а определяется формулой «ог/а=()ог/сост (1=1, 2, 3, ...; - ло=р+1, р+2, ...).
Амплитуды колебаний убывают по экспоненциальиому закону: на расстоянии ~г(=1/(6, +/го ) она уменьшается в е раз. Кроме рассмотренных сумм в (Й.4.7) выделен член с заметно г о, 'р ра о о а" (ба а) а а (лао — ) большей амплитудой — ', „е ар, слабо уменьшающейся бара о (лиар) с увеличением (г~ и образующей узловые цилиндрические поверх- 340 ности, радиусы которых г„=про</<хор. Этот член дает явное выражение для колебаний при радиальном резонансе. При заданном отношении с/а имеется возможность получить чистые плоские волны с обычной скоростью с. Для этих волн частота 1 должна быть меньше; 1оо=саоо((2а). ПРи больших частотах наРЯдУ с плоской продольной волной появятся еще продольные волны, модулированные по фронту, скорость распространения которых больше скорости звука в свободном пространстве.
Таким образом, для плоских волн в трубе действует следующий критерий: ( «'1.4.9) 7(2 с<о<' сом=1,2197, о ЪЧ.Ь. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПОРШЕНЬ НА БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА Обобщением рассмотренной задачи является задача об излучении волн внутрь цилиндрического канала, создаваемых прямоугольным поршнем, расположенным на боковой поверхности цилиндра. Пусть <р,=О, г,=О и г,=а — цилиндрические координаты прямоугольного пор- <а шня; 26 и 2<( — его линейные размеры. Допустим, что поршень пульсирует со а скоРостью оое<о<.
ПРи УстановившемсЯ Режиме амплитуда потенциала в области— Р=Д вЂ” и -<р =и; — оо(г(+со должна удовлетворять уравнению Лф(г, <р, г)+арф(г, <р, г)=0, (<7!.5.1) граничному условию на внутренней поверхности цилиндра, условию конечности величины ф и условию излучения по оси Я. Граничное условие можно сформулировать так: <ту ~ ( о'1.5. 2) где 0 при, г ( ) 5, ! <р! ( и, о (<р, г) = о, при ( г ( ~ 5, ~ <р ~ ~ а, 0 при' ,г ( ( Ь, ( <р ! ) с<.
Здесь а=<(уа; а — внутренний радиус цилиндра (рис. Ч1.5.1). Представим функцию о(г, <р) в виде ряда Фурье по <р в промежутке — и ( <р( ен о('р г)= '2 + ~ В„(г) созт<р= ~ е В„(г) созт<р, р«= =о 1 112 при т=О; 1 +с" где е В„(г) = — ) о (<р, г) соз т<р <1<р. 1 при т~О; где Тогда граничное условие (Ч1.5.2) примет следующий вид: 2ч0 ъз др(»..~,,) — ~ Ь„е„сов т% при',г',=-lг, дг О прп ~г >)ц Ь =' прит=1,2,3,... Применив к выражению (Ч1.5.1) и граничному условию (Ч1.5.3) интегральное преобразование +'~ ф (г, ~р, а) его г!е = Р(г, ~р, т), получим уравнение 1 дГ для 1дня (Ч1.5.4) с граничным условием де — г?~е~ соз шр при, е, (Ь, 4ио з)п тд ~~ (Ъ'1.5.5) дг ~г-а О при г ~)11.
Как было показано выше, оно имеет решение в виде комбинации произведений цилиндрических и тригонометрических функций. Чтобы удовлетворить граничным условиям и условию ограничен- ности потенциала при а=О, в качестве цилиндрической функции следует взять функцию Бесселя и-го порядка. Общее решение будет иметь вид Р(», гр, т)= ~" А .7,„(»1 й' — т')созггпр.
(Ч1,5,6) т=О После подстановки (Ч1.5.6) в условие (Ъ'1.5.5) получим для произвольного значения угла ~р тождество 4о, Мп та 'Кз — — — г е Ь сов лир= и т = — У, 'А„ЗГЙ' — т' соз гпгр.у' (а Р Р те~). (Ъ'! 5 7) о Коэффициенты А должны удовлетворять равенству А 4~~ мп та теу~~ (а 1' гг — те) Проведем над функцией (Ъ'1.5.6) обратное Фурье-преобразование: +ОЭ 1 à — Ре-~" Йт, и получим искомую функцию СО +ю 2а0 Г Ма (тЛ) чу (г )Газ — т') ф(г, ~р, г) =--' 1 е 11„,созтсе ~..., е-мт.
(Ч!.5,8) п~= О З42 Каждый член этой суммы может быть преобразован: Мп (лт) а7 т (г ! ໠— т») т )/ л» вЂ” т» »7т (а ]' )П вЂ” т») л!и (»л»~ ) евт (патлг!а) л Мт„г =Х аут (пот») л=1 (Ч].5.9) Таким образом, потенциал скорости внутри канала, возбуждаемый прямоугольным поршневым излучателем, определяется двойным рядом: т пата СО О ф(г, г, ~г)= —" ~~ ~ и 5 созтгр „е ытл', (И.5.10) »7»~ (па л) л1=0»=! 1)2 при т=О, э / лла !Пата(~ где ат = 1 прит=1,2,3,...; " )~ ( а )' с' л!и !т (а/а)] а „вЂ” корни уравнения »7;л(яа) =0; 5 Точно так же, как это сделано для излучения кольца, введем в (И.5.10) вместо волновых чисел а „комплексные волновые числа Й„„— !б „, с помощью которых формально учитывают затухание. После соответствующих преобразований получим ( — ! р — 1 мп (атл») сй (атал) + сал (атал) 55 (атлл) та+ тл т=а л=~ Г »Ь(б,рь) ау~ аа~р— Х аут (пат»г)а) — (а +М )г а, а а — а~ » атт(аа л) л)л»7~ (па~а) 1~1 ль ((лтл+атл) Ь] »7т (аитлг/а) Š— (ат + а,„»)» (йтл+ атл)' а~и (патл) + ~' ~~ и Ь созлир „' — е (П.5.11) ( 1)2 при т=О, Гпатл~» л где е 1 прит=],2,3,...; 1р=О, 1, 2, ...; я, — корень уравнения аУ](псг) =0; б „вЂ” коэффициент естественного затухания в жидкости, относящийся к ти-й компоненте поля; 1, р — индексы компонент поля, соответствующие радиальным резонансам жидкости в трубе.
Потенциал поля (Ч!.5.11) для случая г()а = и легко преобразовать к (Ъ'1.4.6), если воспользоваться равенством юп тл ] и при пг ==- 0 'и ( 0 при пг=], 2, 3, ... Если угловой размер излучателя меньше, чем п)пг, например, 4а=п)2, и/3, я)4, ..., и)1, то сомножители, содержащие Ь, из 343 суммы по т выпадают, обращая в нули члены, кратные 1. Каждая бегущая волна, входящая в первую сумму (дг1.5.11), определяется по формуле 2о дрглл = — „Ет о!пой/асоогр о!и (Гг лдд) сп(о лл)+соо(й лл) оа (о„,лл) т дог+ Ьтл С а т(питлг)а) (Вт +Й )г о т(па л) (И.5. 12) В частности, для т=О г„= а — ".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
