Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Предположим, что труба прямоугольного Рис. Ч1.ЗЛ сечения имеет жесткие стенки и заполнена иде- альной жидкостью или воздухом. Расположим оси координат, как показано на рис. Ъ'1.3.1. Здесь а и Ь вЂ” размеры поперечного сечения трубы. Для определения движения газа в такой трубе необходимо найти решение амплитудного уравнения в прямоугольных координатах: (Ъ'1.3.1) чаем общее решение; Ч" (х, у, г)=~~А„„соз(й х) соз(«гюу)е ~'л*. (Ч1.33) м и Между числами «см, «т„и Йр существует связь: ьа ьэ ) ьэ 1 ьэ где и=в«с; «с пт«а; «т„=пп««г. Отсюда следует, что волновое число и не может быть произвольным, оно зависит от значений «т, п„и «т„согласно формуле й+й «ф 1 — ( Ьа В дальнейшем будем применять для волнового числа «ер обозначение й„„.
Подставляя в (Ч1.3.2) двойной ряд (Ч1.3.3) и положив после дифференцирования г = О, получим «пшх' ~э, А„„й „соз((~~)соз® п(х, у)е«е!' ь1, а ьч и или А~,й „соз("~ х«соз® п(х, у)е«(ь!" о! пгз). 7' У (Ч1.3.4) Формула (Ч1.3.4) представляет собой разложение функции о(х, у) е«(е'" а! пгз в двойной ряд Фурье, где А „鄄— коэффициенты разложения: а Ь пп ' (Ч1.3.5) 1 где е„и е„— числа, имеющие значения —, если т, и = О, н 1, если гп и п не равны нулю. Рассмотрим частные случаи. Основная волна.
Наиболее простой результат получается, когда у основания трубы возбуждаются колебания с одинаковой амплитудой и фазой во всем сечении а = О, т. е, о (х, и) еги!" "! = оо. В этом случае а Ь 4е еэоо Г г" «гппх) ~'ппц) юп яп з!и пп Ам~дав= аЬ 1,) '( а « '( Ь« ) ) соз~ — )соз~ — 1 )г«хИд 4еме„оо гпп пл о о -( Оп не,пчьо, ое при га О; п=о. Отсюда следует, что когда ш или и не равны нулю, то А „=О. Таким образом, поршень, полностью перекрывающий сечение трубы, создает в нем независимо от частоты колебаний одну плоскую волну.
В этом случае из всех членов двойной суммы (П.З.З) остается лишь А е ' ", причем Аае -4.= — Ь вЂ” 'Ь а о оос 00 й — оп«~ м— =- Ь=ю/с. Следовательно, для основной волны (л(=О, л=О) получены формулы поля: тои "ос ((е( — езм! ="твое = —.— е (ы (' (оя — ма,'с ! о= — — =оое д» р = /(оЧ" = рсо, е' (он (Ч!.3.6) Собственная частота мембраны определяется натяжением и поверхностной плотностью мембраны: где и — поверхностная плотность мембраны. В этом случае 3 о А „= ~ " ~ яп ( — ) соз ( — ) дх ~ яп ~ — ) соз — '- ду. о о /л! Пользуясь формулой соз(лх)= ( — 1)л( (о!пзлхсозо-злх и табличным интег(,2р) л ралом охсозаьзх Ь вЂ” 1 Г з!по !созе (Ж = а+Ь Ь+1д — дз а!пзхсозо-зхдх, можно определить все коэффициенты А 4 аЬ 4 Аоо = — — — — — —, Ао(= Аго= О, пб Ьоол~ 8 8 Азо 8лзй ' Аоз 16 Ам = —, А за = А за = Азз — — '4 аз = О, Олзд ' 10 8 8 Азо=, Аоз= — —, Аоо= 225лзйоо ' 15лзйоо 15лзйщ ' где 4лз Ьао=ы/с=5! «и= ~/ аз ' /' 4лз / 4лз Г 4лз / 16лз 1блз Ьз' во=У' аз Ьз 16лз / 1блз Возбуждение колебаний внутри трубы прямоугольной мембраной.
Если в осно- вании трубы натянуть мембрану и возбудить в ней колебанил основного тона, то функция, определяющая граничные условия, представллет распределение ампли- туды колебаний мембраны: /лх'( . /лу( г (х, у) = оо яп ( — ) яп ( - — ~, '(о)' '(Ь( В этом случае потенциал е — )а»М 4» ф=-, е 8аее — 11ьы» + Зпз) Ь» — 4пз)Ь» 8е е — !'ь»„» а 3.»РЬ* — 4. 1» !Ооэе Оп») 'Ь вЂ” 4п»1а +па)Ь» ю Г утэ и») Назовем слагаемое в потенциале скорости, содержащее индексы т и п, тп.
волной. Для некоторых значений т и п волновое число Ьтл=О. Эту моду называют критической. Для критической моды выполняется условие (тз пз) ю» !2п1х (!»1.3. 7) Если числа т и и таковы, что (Л.3.8) Волны, для которых выполняется условие лз(»»»ага»+п»(Ь»)) Ь», соответствуют мнимым значениям волвовых чисел 1/ Г т' пз) . / 1п»» и» Ь =! Ьз — и»( — + — „) = — 1 а/ пз~ .+.. Ь»~— ет ) ( а» Ь») а )~а» Ь» Фаэовые множители указанных волн имеют вид — )Ь» — »г — )З» — Ь» е т" =е ' т")=е где 6тп= ~»/ пз(. » + —,-~ — Ьз, (»г1.3.8') Это стоячие волны, амплитуда которых уменьшается по экспоненте с коэффициентом 6 „(Ч1.3.8').
Если мембрана занимает всю площадь сечения трубы и колеблется на сваей основной частоте, то в трубе может возбуждаться только основная волна. Это можно доказать следующими рассуждениями. Подставив в условие существования бегущей волны (тг1.3,8) вместо 7 собствен- ную частоту мембраны 7 = — ' ~7 — + — = — ~7 — (-.-+ — ~, получим нераэе»= 2»у» аз Ьа = 2»у» а (ау Ь»)' венство или (!11.3.9) Огношение скорости звука в газе или жидкости к скорости распространения изгибных колебаний в мембране значительно больше единицы; т и и могут принимать значения О, 1, 2, ...
Поэтому неравенство (!»1.3.9) может быть выполнено только для т=О и и О. Отсюда следует, что в данном случае в трубе могут 335 то Ьт„— действительное число. Волна, соответствующая этому действительному числу, имеет фазу, изменяющуюся пропорционально ы)с „, и представляет собой бегущую волну с фазовой скоростью с )/1 — (пс)ы)э (т»)а»+ п»)Ь») распространяться только плоские продольные волны типа Ч',и. Другие члены ряда имеют мнимые значения Ь п=!6 „; их амплитуды уменьшаются с возрастанием г по экспоненциальному закойу.
Коэффициент ослабления Г 1тг лг ') 4пт(рг Гт' пг 41рг 6 11 пг ~ — -(- — — — =и з1 ~ аг Ьг ) сг зт а' Ьз сг или бтп ~1 г (т г) г(п г) ° Например, при натяжении Т=10г дин)см, поверхностной плотности и = = 1 г(смг и скорости звука в воздухе 33000 см(с, можно считать, что отношение Т((осф «1. Поэтому коэффициенты ослабления определяют только параметрами Гтг пг трубы: 6 и 11 — + —. Все волны такого типа имеют структуру тл аг Ьг .
— а и гипх ппу Ч' =А )е тл соз — вез —. ти — тп а Ь вЂ” в Амплитуда этик волн убывает по закону е тп, т. е. уменьшается на расстоянии г=!16тп в е раз. Кроме того, по оси Х амплитуда обращается в нуль при значениях хр1а= (хр (а; Р=О, 1, 2, ...). Амплитуда по оси )г танже абра. р+ 112 щается в нуль при у,(Ь=(с+112)1т; у, (Ь! с=О, 1, 2, ...
Иначе говоря, вблизи мембраны существует система поперечных стоячих волн с узловыми плоскостями, параллельными стенкам канала. Число узловых плоскостей равно т, Общий случай. Поверхность мембраны имеет амплитудное распределение Р = = в(х, у). Для функции о(х, у), более сложной, чем для пульсирующих колебаний или колебаний мембраны на основной частоте, звуковое поле в трубе определяют следующими общими формулами: Ч'= 7,т " 1 псов — соз — ' е ии ъч 4втеп птх ппу — уг г'г аЬ!'Ь п тп а Ь т,п 'йт 4етеп пт, Ятх ппУ вЂ” )а пи =,7 — 1тп з(п — соз — е глл аЬ а тп а Ь т,л %1 4втеп пп лтх .
плУ вЂ” 1Е г в = т т "— '1 „соз — 'з!п — е аЬ аЬ т" а Ь т, и 'д юр4е еп птх ппу — т г Р= 7 ! исоа — соз — е аЬЬ п тл а Ь где 112 при т=О, ( 112 при п=О, 1 при тФО! " 1 1 при птьО; а-=( и Ь птх ппу 1 = о (х, у) соз — осе — г(х г(у! й — и ы — ютл. ап а Ь тл С о Допустим, что источник звука "создает внутри канала колебания, у которых частота ы=ыг=йп1 . Критическая частота, при которой возникают поперечные резовансы 1см. (71.3.7)), ~н! ' ° т =по 1уг — + —, а' Ьг' 336 Например, если ю ( ь!»л»1, то могут быть следующие моды бегущих волн: ОО, 01, 10.
Высшие моды колебаний образуются в поперечных сечениях волновода в виде столчих волн с змплнтудами колебаний, уменьшающимися с ростом каор. динаты г сечения по экспоненциальному закону. Для получения координат узловых плоскостей найдем корни уравнения лтх ллу соз — соз — =О, откуда Ь р+ 1)2 р» 1+! )2 а т ' Ь л где 1/2+р(т» 1/2+1(л; л, т=», 2, 3 ...; р=О, 1, 2, ... Число узловых плоскостей по ослм Х а»' равно (л и л соответственно. Например, длл моды 23 число узловых плоскостей по оси Х равно двум, а по оси»'— трем; для моды 10 число узловых плоскостей по оси Х равно единице, а по оси 'г' — нулю.
Иногда для описанил звукового полл используют понятие удельного акустического импеданса данной точки поля г„=пр/а„(п — единичный вектор к нормали, построенной к волновому фронту; р †давлен; о„ вЂ колебательна скорость по направлению волнового вектора пд). Очевидно, для каждой волны с модой тл можно составить формулу нмпеданса, Импеданс в направлении оси 2 для бегущей волны ртл ЮР г,лл (г) = = — = рата, "тл йтл (Н!.3.10) с Где стл г фазовая скорость бегущей волны, соответ- рГ! (перл)з (тэ(аэ+ лз)Ьэ ствующей индексам ~л и и. Для тех мод колебаний, которые ниже, чем мода, соответствующая критической частоте, скорость с „— действительное число и импеданс (Н1.3.10) содержит только действительную часть гтл=х „, причем х „= рс .
Для высших мод р 1 — (ы „/ю) !с ) 'псла!ю [(тЧа)'+ (лЧЬ)з) — 1 поэтому импеданс содержит только реактивную часть: гтл=!» л~л где» тл= рс юь — критическая частота для моды тл. тл Импеданс в случае стоячих волн имеет инерциальный характер; он аналоги. чен импедансу чистой индуктивности. Поэтому такой волне соответствует некоторая инерциальная нагрузка а форме присоединенной массы, приходлщейся на единицу площади поперечного сечения: утл Ра Мтл = Ы [Гл( »а>)а 337 Она ил~ест различные значения в зависимости от номера моды волны: ю!'1 = 0 для та=00, ы»»а»=пса для тл=»0, ы»»л»1=1тср'аЬ1(а+Ь) для !ил=11 и т. д.
Если частота возбуждаемых колебаний окажется меньше критической для т'л', то в канале будут лишь такие моды бегущих волн, дла которых Импедансы моды лгп для ггаправлений распространения волн вдоль осей Х и у выражаются формуламиг , рс а гппх а „глг=/ л Стй —; а усаЬ щпу ам~ лг =1 с1ь лп Ь Нетрудно видеть, что на узловых плоскостях (для ф, „,) импедаисы обращаются в нуль, й У1.4. ИЗЛУЧЕНИЕ ЗВУКА ПУЛЬСИРУЮЩИМ КОЛЬЦОМ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ КАНАЛ С ЖЕСТКИМИ СТЕНКАМИ уравнение (П.4.10) в виде — ',-'-( ",' ')+Р(, )=О (71.4.1) и граничное условие (П.4.11) в виде зп 1 — при ~н~ «й; Г 2с Мп (ть) 0 при /н!)й, где и=)/йз — т'; х=тгг; х =ага; й=ю/с — волновое число; а — радиус цилиндра; с в фазовая скорость в свободном пространстве, Решением (тг1.4.1) является линейная комбинация цилиндрических функций еУе(х) и ггГе(х), но поскольку Р(х, 1)~оо при х=О, то в решение не должны входить функции Неймана.
(ьг1.4.2) 338 Рассмотрим, какие виды волнового движения можно ожидать в цилиндрической трубе, если колебания возбуждаются с помсщью пульсирующего кольца, являющегося частью поверхности цилиндра. 2 Высота кольца 2й. Расположим систему цилиндрических координат так, чтобы плоскость н = 0 проходила посередине высоты пульсирующего кольца (рис. гГ!.4.1). Колебательная скорость пульсирующего кольца и„= п,ег '. Предположим, что другие точки поверхности цилиндра остаются неподвижными. Так как колебания симметричны относительно оси цилиндра, то волны внутри цилиндра не зависят от азимута гр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
