Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Ч1.1. б групповая скорость обозначена г' 327 Задачу о распространении упругих волн в трубах во многих случаях сводят к решени|о волнового уравнения при условии, что искомые функции должны удав. летворять граничным условиям и условию затухания при увеличении одной линейной координаты до беснояечности. Обычно решение удается провести полностью для случаев простейших граничных условий и когда контуры поперечного сече. ния труб могут быть совмещены с координатными линиями ортогональной системы. Остановимся на решении задач о распространении волн в трубах прямоугольного и круглого сечений. Подставляя решение в виде ф(х, у, г) =ге(х, у) е-эт', найдем, что амплитудная функция гэ (х, д) пропорциональна произведению гармонических функций: ф (х, у) соз (Кх их) соэ (Й~ц яэ)~ где волновые числа й„й„, у, ы/с удовлетворяют соотношению ы",с' = К + й'„-+ у'.
Для нахождения допустимых значений а„, а„, А,, Й, воспользуемся граничными условиями (Ч1.2.1) при х=О и у=О. Это дает значения фаз и, = а„ = и, Граничные условия при х = а и х= Ь образуют дисперсионные уравнения: з!шя,а=О, з!шА„Ь=О. Их решениями являются спектры допустимых значений волновых чисел: Таким образом, собственные функции, описывающие распространение гармонических волн в трубе прямоугольного сечения, имеют следующий вид: 4 соз х соз ре'"" (Ч1.2,3) а где т „=~! — ~ — ) — ( — ) ~ = ~! — ф — ф) ~ ~; гэ„=~— "э и ЛЛС ы„ = — — критические частоты. ь Эти формулы показывают, что в широких прямоугольных трубах может распространяться дискретный набор нормальных волн.
Для всех номеров нормальных волн, кроме гп=О и и=О, фазовая скорость с увеличением частоты уменьшается: с,„= с(! — ( — ) — ( — "Ц а групповая, наоборот, растет: и „=с~! — ( — "-) — ( — "~ ~ Если в волноводе возбуждается частота, совпадающая с одной из критических, например а=о, то фазовая скорость оказывается мнимой с „=+)со ага„; мнимым будет также и волновое число т„„= — /в„!с. В этом случае вместо бегущих волн будет наблюдаться колебательный процесс с амплитудой, убывающей с увеличением расстояния г по экспоненциальному закону. Если частота возбуждаемых колебаний меньше, чем наименьшая критическая частота, например ы<пс)Ь при а<Ь, то в волноводе будет распространяться плоская волна, амплитуда которой не зависит от координат точек' поперечного сечения трубы, а фазовая скорость не зависит от частоты, Условие распространения плоской волны 328 в трубе прямоугольного сечения сводится к неравенству Ь< — =2 — Л= 2, лс л Л (Ч!.2.4) где 5 — наибольшая ширина трубы.
Если частота возбуждения меньше критической, то в трубе установятся колебания с неоднородной амплитудой, уменьшающейся с увеличением г по экспоненциальному закону. Для частоты большей, чем критическая, наряду с неоднородными колебаниями могут наблюдаться нормальные волны низших порядков, вплоть до нулевого включительно. Труба с круглым сечением. Для изучения законов распространения упругих волн в круглых широких трубах целесообразно использовать цилиндрическую систему координат, где волновое уравнение имеет вид 1 д СдФ1 1дгФ д'Ф 1д'Ф вЂ” — (г — ~+ — — + — — — — = О. г дг ( дг) гс дфс да~ сс дп (И.2.5) Его решение должно представляться конечными и дифференцируемыми функциями координат для области 0==с(а; 0( ф~2п; — со(г(+ со.
Причем для жесткой трубы эти функции должны удовлетворять условию исчезновения радиальной составляющей скорости на поверхности трубы, т. е. (Лг1.2.6) Для установившихся гармонических колебаний представим потенциал скорости Ф(г, г, ф, 1) в виде Ф=ф(г, ф, г) е/о~ и после подстановки в волновое уравнение получим уравнение Гельмгольца относительно амплитудной части ф (г, ф, г) в цилиндрических' координатах: 1 д 1' дфоп 1 дсф дсф сУ вЂ” — г — )+ — - — + — + — ф=О.
г дг 1 дг г' гс дфс дгс сс (Ъ'1.2.7) Если искомую функцию представить в виде ф(г, ф, г) =)т'(г) Х(ф) 2(г), дсХ дф2 — + т'Х = 0 Рх „,+у2=0, спи 1 дк /, тс1 — + — — +(й) — — ~)1=0, А'+Т'= се'!с'1 гп= О, 1, 2, ..., со. (Лг!.2.8) (Лг!.2.9) (Н .2.10) ( (г1.2. 1 1) где 329 то уравнение Гельмгольца расщепляется на три обыкновенных диф- ференциальных уравнения второго порядка относительно функций Й, Х, Е: Используя (И.2.7), получим дисперсионное уравнение — =О. ( т'1.2.
13) l Его корни представлены в табл. Ч1.5.2. Заметим, что если бы потребовалось найти решение задачи о распространении нормальных волн в трубе с абсолютно податливыми стенками, то вместо (т'1.2.7) действовало бы условие, по которому на поверхности трубы давление равно нулю: Ф(г, ~р, г, 1)),=,=0. В этом случае дисперсионное уравнение имело бы вид а7„(х) ~, ь „=О, (Ч1.2.
14) Для справок в табл. П.5.1 приведены корни этого уравнения. Обозначая корни дисперсионного уравнения (Ч1.2.13) как пег „, находим дискретный спектр волновых чисел й,: л~т йо~и 5 з ° ( т'1,2. 15) Волновые числа распространения имеют дискретные значения и зависят от частоты: ~2 <~2 уйй= з ~й= ~ ~~й ( т'1.2. 16) где п<~ти ам ( т'1.2. 17) Нетрудно получить формулу фазовой скорости нормальных волн лгп-го порядков. Эта величина равна отношению частоты ы к волновому числу у„„.
Пользуясь (И.2.16), получаем с „=ы!у„,„=сух„„, ззо Первое из этих уравнений имеет решения в виде гармонических функций з!птгр и сох гпя~ при целочисленных значениях параметра т; второе ищем в виде Я =Ае-гт" +Веп'. Оно представляет собой сумму двух волновых функций, соответствующих волнам, распространяющимся по направлению оси х, трубы навстречу друг другу. Ради упрощения ограничимся только слагаемым Ае-~х', отвечающим распространению в сторону положительных значений Я.
Что касается уравнения (171.2.10), то его при целочисленных значениях параметра т можно привести к уравнению Бесселя т-го порядка относительно переменной к= — й,г. Частное решение этого уравнения, как известно, есть сумма, содержащая функции Бесселя и Неймана т-го порядка. Но поскольку функция Неймана при я=О равна — со, то второе слагаемое отбрасываем, как не отвечающее условию конечности функции Ф(г, гр, г, 1). В итоге приходим к выводу, что все возможные типы волн в трубах круглого сечения могут описываться следующими волновыми функциями: соз Ф,„(г, Ч>, г, 1)=А„,еУ,„(й,г) пире~~"' т !. (т'1.2.!2) з)п илн (П.2.18) где о) „=их„„с)а — критические частоты нормальной волны. Отсюда следует, что фазовая скорость зависит от частоты и определяется размерами трубы. Таким образом, возможные нормальные волны в круглых трубах выражаются следующими волновыми функциями: Каждой критической частоте с т= О соответствует своя волновая функция, описывающая нормальные волны с волновыми фронтами, модулированными по радиусу г: )тц — ~ ло) ) Фол=Аол Уо(паол — /е ос а) Для критических частот о) „1тэьО) волновые функции зависят не только от г, но и от угла <р.
При этом одному значению критической частоты отвечают две волновые функции. Одна из них пропорциональна соз |пср и описывает симметричные относительно диаметра колебания: !т)С-л лг)с) 1)тл)с) = Атсчс) соз ссс)!)Рт„(йятл — ) е тл а) а другая пропорциональна з)па)ч). Она описывает колебания антисим'метричные: )тц — л с)с) С )тл(л\ — ~то)л) з)п )ПЧ)о тл (Пихта а) В цилиндрической трубе определенного радиуса в зависимости от возбуждения могут существовать различные формы нормальных волн.
Если частота колебаний меньше паинизшей критической, то в трубе могут существовать бегущие плоские волны, которые распространяются с фазовой скоростью с, не зависящей от частоты. Труба по отношению к этим волнам считается узкой. На основании неравенства о)( ( о)„нетрудно получить критерий узкой трубы. Для этого достаточно записать выражение для критической частоты о)о) =ляо)с)а и решить неравенство относительно радиуса трубы а. В результате получаем критерий распространения в круглой трубе чистой плоской волны: а<схогХ!2. 11одставляя ом 1,21 (см. табл. И.5.2), находим а< < 0,6! )с. Если частота возбуждения удовлетворяет неравенству о)„( о)( о)ом то в трубе могут возбуждаться нормальные волны нулевого порядка (они распространяются без дисперсии) и нормальные волны 01-го порядка.
Фазовая скорость этих волн зависит от частоты: со,— с~! ( . с)1 — с~! ( )] зз) В общем случае, когда частота возбуждения больше, чем критическая аз „, в трубе могут возбудиться нормальные волны с критическими частотами порядка меньшего, чем тп. Из всех возможных нормальных волн в трубах возбуждаются не все.
Подобно тому, как способ возбуждения определяет реализацию тех или иных допустимых мод колебаний струны, реализация тех или нормальных волн в трубах определяется способом введения в упругую среду, заполняющую трубу, акустических колебаний. Ф хх.з. ВОЗБУЖДЕНИЕ ЗВУКА В ТРУБЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ удовлетворяющее граничным условиям — =О, а=а д,» 1п, (х, у) е~ч'"у~ дх ~а=о (Π— =О, да' ,'у=2 ~а=а при 0(х~а, 0(у(Ь, при а<х<со, Ь <у< со, (П.3.2) где и,(х, у) — колебательная скорость в сечении ХУ'О.
Кроме того, решение должно удовлетворять условию излучения в направлении оси 2. Применяя метод расщепления уравнения, полу- 332 В трубах прямоугольного сечения могут распространяться различные нормальные волны, разрешенные дисперсионными уравнениями труб. Покажем, что в зависимости от способа возбуждения реализуются только некоторые из возможных нормальных волн. Предположим, что на одном конце прямо- угольной трубы имеется излучатель (мембрана, 1~ пластина или слой воздуха), колеблющийся под действием внешней силы так, что нор! 1 мальная колебательная скорость его поверхности определяется некоторой комплексной функцией от координат х, у и времени 1. Допустим, а что режим колебаний установившийся: и„= и (Х, у) Е-АпхХ~Е~"", где в=2пг; 1 — частота вынуждающей силы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
