Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Чтобы провести вычисления по ним, необходимо воспользоваться таблицами и электронно-вычислительной техникой. При малых значениях Аа можно воспользоваться приближенными выражениями для функций 6„(йа) и 6'(йа) (Н.5.5) и преобразовать точные формулы (Н.5.!О), (Н.5.11), (Н.5.!3) к приближенным для низких частот (см. табл. Н.5.!).
равных условиях значительно больше, чем рассеяние на твердых частицах гндрозоля. При средних частотах вычисления коэффициента рассеяния и эффективно~о поперечника надо производить по точным формулам. Как показывают расчеты, коэффициенты рассеяния плоской волны на жесткой сфере имеют характерное угловое распределение; при низких частотах угловое распределение коэффициента рассеяния становится равномерным (рис. Ч.5.1; направление распространения плоской волны соответствует а = 180'). При йа=1 коэффициент отражения имеет большую величину в направлении, противоположном направлению распространения волны. При увеличении числа йа полярная диаграмма постепенно деформируется, превращаясь в фигуру, вытянутую в направлении распространения плоской волны.
Рассеяние коротких волн. Исследуем закономерности рассеяния сферической неоднородностью коротких волн. С этой целью найдем эффективный поперечник рассеяния !;!, и коэффициент Я рассеяния сферы для случая Аа ~« 1. Для вывода формулы Я, для мягкой сферы прилад 1 представим (Ч.5.13) в виде трех слагаемых: СО йа — л Я,= —,, ~ (2т+!) з(пй!б,„(йа))= — ", ~~ Г'„(яа)+ Ос=О Ос=О йа+ л СО + —, ~~~ );„(яа) + —, ~~й 1,„(яа), (Ч.5.14) Ос= йа — л+ ~ лс = йа+ л+! где Г (аа) =(2т+!) з!пй(б,„(яа)], йа~ а~ 1. В формуле для первого слагаемого числа т меньше аргумента Аа, поэтому функция б (Аа) может быть заменена ее приближенным выражением б„(йа) Йа — т —" йа.
*а» ~ 2 йа»сл Тогда йа — л йа — л — (йа) — ',, з(пйяа ~~ (2т+!)=4ла'з!пэйан,(йа), Ос=О Ос=а (Ч.5.15) где Е, (йа) 1!(Йа) + 1. Численное значение з!пааа при йа~«1 примем равным среднему за период: (з!пайа) = !С2 и, переходя к пределу при йа«со, получим йа — л — ~> ! (йа) 2па'. (Ч.5.16) лс =-0 йа+ л 4лай Составляющая эффективного сечения Я, = — т не больше, з,= (йар 7 йа — л+! чем ее значение, при условии, когда з!и'6 (йа) =1, т. е. га-г.п г1„( (, ~~~~~. (2т+ 1) гт, (йа), Аа — ю -ь! где гг, 1гйа.
Отсюда следует, что при неограниченном возрастании Йа функция г~,,(/га) стремится к нулю. Величина г,г„также стремится к нулю при Аа-~со, так как для каждого т)) йа гга'~ы 6~ (йа) 11пг (2т+!)и (за — !),~ = О. йа~ я Таким образом, при предельно высоких частотах эффективное поперечное сечение рассеяния мягкой сферы стремится к величине, равной удвоенной площади поперечного сечения шара: г~„, — 2 па'. кыэ. и Тот же результат можно получить, если исследовать предельное выражение поперечника рассеяния .жесткой сферы: — ~~ (2т+ 1) з!и' 16' (!га)]. (Ч.5.17) я=О При этом необходимо воспользоваться следующими приближенными выражениями производных фазовых функций Ханкеля: 6„' (йа) /га — (1г2) (т — 1) и; 6' (йа) — — — „6„(йа). ь1Р т ьа ггпу+ г га> ~ ааэ г Сравнивая эти результаты с выражением Я, для низких частот, заметим, что поперечник рассеяния для мягкой сферы при низких частотах вдвое больше поперечника рассеяния для частот высоких.
Это можно объяснить тем, что при низких частотах падающая звуковая волна возбуждает колебания, равномерно распределенные по поверхности сферы, так что на преобразование мощности плоской волны в рассеянную используется площадь, равная площади поверхности шара. Что касается рассеяния высоких частот, то рассеянная мощность возникает в результате неравномерного возбуждения сферической поверхности плоской волной.
Рассеянная волна в связи с этим разделена на две — отраженную и тенеобразующую. Для каждой из них эффективное поперечное рассеяние равно геометрическому поперечному сечению сферы. Для вывода формулы коэффициентов рассеяния г и 5 при высоких частотах воспользуемся дифракционным интегралом Кирхгофа— 3!О Гюйгенса (1Н.2.12): Ч~ (г) = 4 ~ 1 1Чю (ге) д ' о ' и д„Чк(го)1йА, (Н.5.18) где А — поверхность рассеивателя; и, — единичный вектор внешней нормали к поверхности рассеивателя. Для жесткой сферы нормальная составляющая производной потенциала скорости полного поля на поверхности сферы равна нулю: — — (Ч~,+Ч,) =б.
дЧ' д Следовательно (Н.5.19) Поэтому выражение (Н.5.18) можно записать так: Ч",= — —,' ~~Ч',(г*,) а' (-"Л+(е-» Л)(,' Ч',(г;)))~(А, А где Чг, =Се — г ~"о — плоская волна; С=С,е-~"'. Для коротких волн, падающих на выпуклую поверхность, часть поверхности затенена; для нее направления нормали и, и волнового вектора Е, составляют между собой острый угол. Для освещенной части поверхности угол между Ы, и и, тупой. При этом под затененной частью понимают область, в которой как потенциал поля падающей волны, так и его градиент почти полностью компенсируются полем волны рассеяния.
Под освещенной частью понимают ту часть поверхности, где имеется полное совпадение как по амплитуде, так и по фазе падающей и,рассеянной волн. В связи с этим рассеянная волна может быть представлена в виде суммы интегралов по обеим частям поверхности: для освещенной части поверхности подставим в (Н.5.19) Ч", = Ч'ь а для затененной Ч",= — Ч",: 1 гГ д ~е — ия) е мя д Аз Первый интеграл представляет собой отраженную волну, второй.— волну тенеобразующую. Для анализа второго интеграла к существенному упрощению приводит так называемое преобразование Маджи.
Суть этого преобразования состоит в следующем. Заметим, что под знаком интеграла стоит векторная функция В = бдгай Ч'~ — Ч"~дгад 6, 7'Ч", = — йэЧ'ь 7э6 = — й'6 (6= е- МЯЯ; Ч', — функция плоской волны.) Дивергенция вектора В для точек с координатами г, не лежащих иа поверхности А, равна нулю: б)7 В = 67'Ч', + 7 67 7(, — Ч",7'6 — 7'т' 7 6 = 67'Ч'; — Ч 7 г6 = О. 31! На основании известного тождества 6(ч го1 Р = 0 можно принять вектор В за ротор некоторого вектора Р: В=го(Р. Применив теорему Стокса, получим 4 ) го(РЙА= 4 Ч!В!Ь, 1 А $ где контурный интеграл берут по линии на поверхности, отделяющей теневую часть от освещенной (по теневой линии).
При этом векторная функция Р зависит от функции Грина б, интеграла тенеобразующей волны, формы падающей волны, но не зависит от геометрической формы отражающей поверхности. Отсюда следует интересный вывод: тенеобразующая волна одинакова для всех поверхностей, имеющих одинаковую теневую линию.
Она совершенно одинакова как для плоского, так и для выпуклого рассеивателя при условии, что теневые линии этих тел совпадают. Поэтому ниже приведены расчеты рассеяния для плоского диска. Результаты этих расчетов применимы для рассеяния на сфере того же диаметра. Тенеобразующая волна обратна по знаку волне, излучаемой круглой пластиной, колеблющейся с той же фазой и амплитудой, что и у падающей волны. Пластина имеет радиус шара (гг в), центр диска совпадает с центром шара, нормаль совпадает с направлением распространения падающей волны. Для того чтобы произвести интегрирование по поверхности пластины в асимптотическом приближении (йг- со), выберем полярные координаты г„!р„лежащие в плоскости пластины.
Плоскую волну определяют формулой е — м' "' о =- Ч";; е — мяя можно представить в виде е а' е !' — жг — /(ае — о г ) я" о г — Лг г где й,— вектор, характеризуемый волновым числом й, углами 0 и ~р и направленный к точке наблюдения. Тогда потенциал тенеобразующей волны может быть найден при преобразовании второго интеграла (Ч.5.20) в приближении Кирхгофа 1см. (111.2.14)1: — 4 — ~ ~ — д '(1+ соз 0) ~е(А.
Здесь гРадиент потенциала дЧг;!дпо взЯт по напРавлению ноРмали к поверхности диска и равен дч'! д дао дх х о — — = — е-г ),, = — )й. Следовательно, ! е Гае = — 4 — „( — )я)(1+соз0) ~ емеа!(А— Ар Ранее было показано, что а оа ! а (! ~ 1 е+Р*.,о!аоеа1егбр г г(г =2п !'ау (йг з1п 0) г й .
о о 1 о о о о' о о о 3!2 С учетом этого выражения получим Ч',!,= )„(! +созВ) 2п ~ е ,(йг,з(пВ)г,с(го. Ъ Наконец, пользуясь известным интегральным соотношением $ ге е (г) с(г = о , (г), найдем а а о (агоз(пВ) го с(го= ), о В результате получим формулу потенциала тенеобразующей волны: ае е ! (Ва 01п В) е Уы Ч'4 =/)с -- (1+соз В) М аае!пВ Г Что касается интеграла, соответствую1цего волне, отраженной от освещенной части сферы, то его преобразование здесь не приведено (см. [6]). Ограничимся лишь окончательным результатом: е! — ! (А~ — 2Ааоп — ) Ч'л = — — е 2с Отсюда видно, что амплитуда отраженной волны не зависит от угла В, а фаза отличается от фазы падающей волны на 2йаз(п(В)2) — и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
