Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Таким образом, полная рассеянная волна (!!.5.20) при Аа~ 1 определяется формулой Ч', = С)' (В) —, В , а [~, ама~!и — 1+сое 0 2е , (Аа Мп 0) ) Ва е1п 0 В соответствии с этим бательную скорость и е Мс р, = )сор) (В) выражением находим звуковое давление, коле- интенсивность полной рассеянной волны: е-мг <ор/, ! 1)с) (В) ~х (В) 1(В) с ' е 2 Г~ Наконец, заменяя сорй!2 на о , (интенсивность падающей волны), получим формулу коэффициента рассеяния сферы при высоких частотах: (т'.5.21) а ( Г 1+сап 0 2о (пае!и 0)Д Фее!и 0 Здесь первое слагаемое выражает часть коэффициента рассеяния для волны, отраженной от освещенной части сферы, а второе — часть, соответствующую тенеобразующей волне, Эффективное поперечное сечение жесткой сферы при высоких частотах (с = /' (4 —, + 4 —, с(к' 2 о 1 (яа 0(п В)).
(Ч.5.22) Первый член этой формулы соответствует отраженной волне, рас- пределенной по всем направлениям с равномерным амплитудным рас- 313 пределением, но с фазой, изменяющейся по закону 2йах(п(6(2); второй характеризует тенеобразуюшую волну. Он имеет ярко выраженную асимметрию; при угле 9 =- О величина второго члена соответствует 4з( По мере увеличения угла 6, т. е, по мере отклонения от направления падающей волны, интенсивность тенеобразующей волны быстро убывает и вскоре весь второй член становится меньше первого.
Как уже сказано, тенеобразующая волна имеет в каждой точке пространства амплитуду, одинаковую с амплитудой падающей волны, как бы проходяп(ей через отверстие в жестком экране, площадь которого равна площади поперечного сечения тела, причем фаза волны противоположна по отношению к фазе падающей. В результате интерференции этих волн за рассеивающим телом образуется тень с характерными особенностями на границе, связанными с дифракцией на краях колеблющегося диска.
5 т).6. РАССЕЯНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ПУЗЫРЬКАХ ГАЗА В ЖИДКОСТИ Постановка н классификация задач о рассеянии волн. Задача о дифрзкции нз многих телах относится ко многим физическим явлениям, связанным с рзссеянием волн нз неоднородностях. (В оптике в критическая опзлесценция смесей жидкостей, явление красной зари и голубого цвета неба, явление Тиндзля, когда ярко проявляется рассеяние полярнзавзнного света в определенных нзпрзвленнях, н -т. дл в ядерной физике в рассеяние нейтронов; в теории металлического состояния в рассеяние элентронных волн, Сюда же относят все случаи дифрзкции рентгеновских лучей.) Несмотря нз то что эти явления принадлежат к рззличным областям физики, методы изучения рассеяния нз совокупности неоднородностей сходны, поэтому повсюду применяют одинаковую терминологию. Рассмотрим основные понятия общей теории рассеяния волн нз совокупности рзссеивзтелей.
Зздзчз о рассеянии волн нв многих частицах сложна и поддается анализу в двух крайних случаях. Когда поперечник рассеяния меньше геометрического сечения частицы (нзпример, рассеяние длинных волн нз жестких частицах, взвешенных в воде), то следует говорить о слабом рассеянии. Если поперечник рассеяния знзчнтельно больше, челг геометрическое поперечное сечение отдельных неоднородностей, то следует говорить о сильном рассеянии (нзпрнмер, рассеяние звука нз газовых пузырьках в жидкости). При достаточном удалении друг от друга неоднородностей можно не принимать во внимание влияние нз процесс рассеяния соседних рзссеиввтелей и считать их действие независимым. Если же расстояние между центрами рзссеивзтелей небольшое, то зто требует другого подхода, тзк кзк волна, рассеянная одним рзссеивзтелем, будет повторно рассеиваться другими, что создает довольно запутанную кзртнну суммарного эффекта.
Рассмотрим случай рассеяния звука нз пузырьках газа в жидкости, счнтзя, что рассеяния нз отдельных пузырьквх независимы. Пусть на газовый пузырек, взвешенный в жидкости, падает волна, потенциал скорости которой Чг = ВЕ )цм сов ВЕ)кч (Ч.6.1) При этом частота звуковой волны удовлетворяет условию ша/ст ~1, т, е. длина волны в жидкости дт в2па. Под действием этой волны газовый пузырек будет испытывать периодические всесторонние сжа- 314 где бр — добавочное давление внутри пузырька; поели — радиальная скорость поверхности; у — отношение теплоемкостей при постоянном давлении н объеме; р — плотность газа внутри пузырька.
Поскольку речь идет о низких частотах, можно считать, что рас- сеянная волна представляет собой сферическую волну нулевого по- рядка, исходящую от пульсирующей сферы: ЧГ е! (эг-оы А (Ч.6. 4) На поверхности сферы должны выполняться условия непрерыв- ности давления и радиальной составляющей скорости. Обозначим плот- ность жидкости р,. Тогда давление на поверхности сферы за счет падающей волны р, — ' = р, )гоВе — !оа ооо !е, гап р )оаВегы = Р,е1~о, о д! ь~» ~ а давление, возникающее за счет отраженной волны, р, — = елие- " — — е!".
дЧ', А!оз,о, „! „А)мр, дг а о ! а Давление внутри воздушного пузырька определяется формулой (Чг.6.3), а на поверхности пузырька равно сумме внешних давлений . Зрс' . мр, !,„а "о=Ро +! „ (7.6.5) радиальная скорость равна дЧ', дЧ"; — + — ' = — и дг о — о дг о=о Для плоской волны дЧ'; — = — )й СОЗ ЗВŠ— Моооое — )й СОЗ б, дг поэтому уравнение для низких частот можно привести к виду А („—, + — ~+ В)й соз б 4 во (1 )Аг! (Ъ'.6.6) б!5 тия и разряжения, Внутри пузырька давление испытывает периодн ческие изменения относительно среднего давления Р,. Если допустить, что газ внутри пузырька подчиняется адиабатическому закону, то бР = — ТР бр!)!.
Заменяя ур=рс' и б)г =4па'ба, получаем: д . о 4аао д (ба) о Заооаоо — у ЬР = — )оо 6Р =Рс 4 — — — рс — '; (Чг.6.2) — пао 3 ' .зр о бР = ! —,„пое™. (7.6.3) Согласно (Ч.6.8), радиальная скорость при низких частотах не зависит от угла 6, поэтому для них Вя=-О. Следовательно, о,=А ( —, + —,). (У.6.7) Решая систему уравнений (Ч.6.5) и (Ч,6.7) относительно А, полу- чаем А Ро! (! Ро) = (мо(ю)2 — 1 — !О!ю (Ч.6.8) где 0 = Зрсо((ар,с,) — постоянная затухания пульсирующих колебаний пузырька за счет излучения; оао = Зос'7(а'р,) — резонансная частота колебаний пузырька.
Подставляя (Ч.6.8) в формулу потенциала рассеянной волны, получаем Ч'о= — р ! р', — Е!< с — !оа [(ооо)оо)о — 1) + (0)оо с (Ъ'.6.9) То, что са„входящее в (Ч.6.9), действительно является собственной частотой колебаний пузырька, следует из простых соображений. Сферический пульсирующий пузырек представим как колебательную систему с сосредоточенными массой т, и гибкостью с,.
В качестве эквивалентной массы здесь следует принять присоединенную массу пульсирующих колебаний сферы для низких частот. Присоединенная масса колебаний сферы равна утроенной массе жидкости, вытесненной сферой: т, = 864оэ = 4лаоо,. Эквивалентная гибкость с, есть отношение изменения радиуса сферы к общей сжимающей силе: с,= — ба7(бР). Для получения эквивалентной гибкости умножим (Ч.6.2) на 4ла'с(й 6Р = 4ла'бр = — Зрс'аба, откуда 1 4ла Зрсо' 316 Резонансная частота данной системы определяется формулой Производя простые преобразования, получаем 1 ч/ Зрсо 4аор (4лао ° Зрсо) о 'г' 4лаоро ' Таким образом, частота «о„входящая в (Ч.6.9), действительно имеет смысл резонансной частоты пульсирующих колебаний сферического объема газа, погруженного в жидкость. Удобно в формулу резонансной частоты вместо рс' ввести значения этой величины для идеального газа: Рс' = УР4„ где рш — общее давление в воздушном пузырьке, состоящее из атмосферного давления, давления столба жидкости, т.
е. гидростатииеского давления и давления Лапласа. В этом случае формула резонансной частоты для воздушного пузырька жидкости имеет вид, удобный для численных оценок резонансной частоты: ыо ! ° г зурог зп Рла 1' р (Ч.б.! 0) Если пренебречь гидростатическим давлением и давлением за счет искривления поверхностей пленки и подставить в эту формулу вместо общего давления атмосферное (дин!смз), отношение теплоемкости у = =-ср7с,= 1,4, плотность воды р„=[ г/смз, то получим [за=326 Гц см. (Ч.б. 11) Резонансный радиус пузырька всегда значительно меньше длины внуковой волны в воде. Например, длн частоты ! кГц длина волны в воде составляет Цб и, резонансный радиус пузырька 0,33 см. )[ля частоты 50 кГц длина волны в воде 3 см, а резонансный радиус воздушного пузырька составляет всего 0,000 см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
