Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 54
Текст из файла (страница 54)
т~ал (т!)' 2 ! аа сс В рез>льтате получаем ет з1п' ~йа — — (т+Д т=о т=о и! 11 Наконец, заменяя ивадраты синусов япа ~йа — — (т+ — !1 средними значе- 2(, 2) пнями по периоду, получим при йа -ь оп г, —.=- — (1 1ю-(-2 1'-1-2 !а-1- -!-2 1"л)= — (1+2йа) йа, 1 1 1 2 "'' 2 Отсюда эффективная ширина рассеяния плоской волны цилиндром при высоких частотах 4 чл Я=-,7, =4а. Таким образом, при высоких частотах эффективная ширина цилиндра равна удвоенной геометрической ширине.
Такой результат несколько неожидан. В самом деле, если имеются волны с очень малой длиной волны, то можно не учитывать дифракцию плоской волны на краях цилиндра. В геометрическом приближении естественно ожидать, что часть волны шириной, равной диаметру, будет задержана цилиндром. Однако в случае коротких волн цилиндр значительно искажает плоскую волну: часть плоской волны идет на формирование области тени. Другая часть рассеивается по всем направлениям. Физически образование тени можно объяснить тем, что часть рассеянной волны имеет резко выраженную направленность в область тени и там, интерферируя с падающей волной, 'образует тень.
Эти две рассеянные волны отбирают от плоской волны часть мощности, соответствующей удвоенной геометрической ширине цилиндра. Подтверждение справедливости указанных выше рассуждений показано в [6], где получена формула коэффициента рассеяния по интенсив- 296 ности для предельно высоких частот: о (сг) 2 а!п [ 2 ) + 2 Ь ~!я [ 2- з[п'(/га з[п ф). (Ч 3.! 3) Первый член формулы (Ч.З.!3) представляет собой относительную интенсивность волны, отраженной от той части полуцилиндра, на которую падает плоская волна. Второй член имеет резко выраженный максимум в направлении ж = 0 и малую величину в других направлениях.
Этот член выражает интенсивность тенеобразующей волны. Кривые углового распределения относительной интенсивности рассеянной волны от жесткого цилиндра представлены на рис. Ч.З.!. Для низких частот (Аач 1) вся рассеянная волна отражается навстречу падающей, рав- "а=' Ха42 номерно распределяясь по углам в пределах азимута: п)2(~р(Зп)2. Со стороны затененной части поверхности заметен небольшой максимум интенсивности, При увеличении частоты равномерное распределение интенсивности в сторону, противоположную направлению падающей волны, нарушается, а в направлении облучения выступает резко выраженный максимум интенсивности. По мере дальнейшего увеличения волнового фактора Рис.
ч.3. ! ла разделение рассеянной волны на отраженную и тенеобразующую выступает все резче и резче. В пределе, когда йа стремится к очень большому числу, тенеобразующая волна имеет небольшой угол раскрытия, стремящийся к нулю. Экспериментальная проверка теории возможна только для области пространства, лежащей вне геометрической тени. Для средних значений волнового фактора тенеобразующая часть рассеянной волны имеет достаточно широкую диаграмму направленности и еще можно произвести экстраполяцию результатов на области, где угол ф близок к нулю.
Наоборот, при больших частотах такая экстраполяция невозможна. Поэтому измереннь!е значения эффективной ширины рассеяния Д как функции Аа стремятся не к 4а, на что указывает теория, а к 2а, т. е. экспериментальное значение ширины рассеяния при предельно высоких частотах вдвое меньше, чем это следует из теории. Если рассеяние осуществляется от мягкого цилиндра (см. 9 Ч.2), то на поверхности цилиндра исчезает давление и в формулах, характеризующих рассеянную волну, вместо функции б' (йа) появятся функции б (йа). Это обстоятельство существенно изменит результат, особенно для низких частот.
В выражениях (Ч.3.7) и (Ч.3.12) при яа((1 можно ограничиться только первыми членами суммы и получить для акустически мягкого цилиндра: , 2лс !Пс [г[(Иа)! ' (Ч.3. 14) пФ Аа !пс [1/(Ьа)! ' (Ч.3. 15) 297 Рассеянная волна в этом случае равномерно распределена по всем направлениям, а эффективная ширина рассеяния значительно больше геометрической ширины. Это явление связано с тем, что, как бы ни был мал радиус цилиндра по сравнению с длиной волны, диаметр области, где возникает существенное искажение плоского поля, имеет порядок длины волны. 4 тГак РАССЕЯНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА СФЕРЕ Внесем в однородную среду, где имеется плоская волна Ч") = е) им — <""и, (Ч.4.
1) тело сферической формы и определим результирующее поле. Ясно, что при наличии сферы уравнение плоской волны не может удовлетворять граничным условиям на поверхности сферы, а поэтому надо допустить, что с внесением сферической неоднородности обязательно появится вторичная волна, удовлетворяющая волновому уравнению. Причем полное поле, образованное из плоской и дополнительной волн, должно полностью отвечать граничным условиям.
В результате возмущающего действия сферы в среде будет существовать волна, состоящая из плоской и сферической: т=))~ч',=~ [ — ~ "')- ~ Аю)) )Р„) ))).8)42) ))) = 8 Для того чтобы можно было при тех или иных граничных условиях найти коэффициенты А, необходимо разложить плоскую волну в ряд по полиномам Лежандра Р (соз9).
Будем отсчитывать полярный угол от положительного направления волнового вектора Обозначим г расстояние от центра шара до точки наблюдения. Тогда (кг) =йгсоз 6 и функция потенциала скорости плоской волны имеет вид )р Š— / жг) Š— Ыг сов 8 Š— Мсоь 8 (З ЬГ) Разложение плоской волны в ряд по функциям Р (соз)0 представляют формулой СО е — м' 8= ~ (2т+1) 1- 1„(г) Р (сох 9), (Ъ'.4.3) где 1 (г) — сферическая функция Бесселя т-го порядка. Таким образом, потенциал скорости поля Ч))=е) ' У', (2т+1)х т=О Х1."1 (г) Р (соз 8), искаженного плоской волной, представляется формулой Чг=еР" Ч', 1(2т+1)1 "'1 (йг)+А~))„"' (йг)]Р„(соза).
(Ъ'.4.4) т 8 298 Коэффициенты А в решении (Ч.4.4) определяют с помощью граничных условий. Допустим, что выполняется условие Дирихле, т. е. Ч'(г, 9)1,,=0. Тогда 1-" (2т+ 1) 1„(йа) = — А Ьа' ()за), (Ч.4.5) откуда А (2т+ 1) /-ос м со (Ч.4.6) В результате подстановки в (Ч.4.4) выражений (Ч.4.6) и (Ч.4.7) получим для мягкой и жесткой сфер: Ч'„= е~ы' ~~~~~ (2т+!) 1-"Р,„(9) ~/„(аг) — (— „" й,„(Ь.)1, (Ч.4.8) Ч" =ег ' ~Р (2т+1) 1'- Р (9)~1' (аг) — —,й (йг)1. (Ч.4.9) /' (аа) м= о Используя эти формулы, можно решить различные задачи, связанные с рассеянием звука на сфере. Полезно также использовать .и другую формулу потенциала полного поля, в которой падающая волна отделена от рассеянной: Чг = ег км — "" е~ 1 — тз (2т -1- 1) 1- ™ с""с й (йг) р (9) егог с е м /, (аа) м бз го = О (Ч.4.10) — ес'~мг — огсооез Х /' (аа) (Х вЂ” ~ (2 Е~)г" ".
С„(С)Р„(ОП""" 1. (ЧС.!1) сс = О Давление на поверхности жесткой сферы. Формулу для давления на поверхности жесткой сферы получим, если воспользуемся известным соотношением Р =!"зР"' = Ро'1 где р,= )езр — амплитуда давления плоской волны. Подставим в выражение (Ч,4.9) г= а: 1 Ра=Ро рм = Рое У (2га+()/ ~», (д Х с=о Ь' (оа) Х (! (аа) Ь' (да) — )' (ка) гс (оа))Р (Е) (Ч.4.!21 (Р с индексом а обозначает давление при г=а, т. е.
на поверхности сферы). Если выполняется условие Неймана (дЧг!дг ~„= О), то путем тех же рассуждений легко прийти к уравнениям, аналогичным (Ч.4.5), с тем лишь отличием, что вместо значений функции / (г) и лоо'(г) появятся значения их первых производных прн г = па. Соответственно изменятся и коэффициенты А . Обозначим их А' и определим формулой А' = — (2т+1) 1- /' (оа) (Ч.4.7) нлн 1 ро ( ~О (о,, Р (соз 8) 18' Ыо! Е го (Ва)о 0оо (йа) (Ч,4.15) где Г!оо и Воо — модуль и фаза первой производной сферической функции Ханкеля ш-го порядка.
Рис. Ч.4.1 Используя предельные значения ()~~ и Воо, получаем для низких частот г ( е)ао !оо> 1 3 соз В 18' <Оо! р =1ро(елзг~ —,+ —,, е ' +...1 ~(Ро(йа) 1 (),'(Ва) ! ро ; 'едл 11 — ) — йасозВ). оам!' ' 2 (НА.16) Формула (Ч.4.16) позволяет оценить разность давлений, оказываемых на уши со стороны низкочастотного звукового поля. В качестве примера определим отношение давлений звуковой волны на уши, если волна падает сбоку.
Радиус головы 8 слц частота 1000 Гц. Найдем разность фаз давлений в точках со стороны освещенной (В=п) и затененной (8=0) частей. Согласно (ЧА.16), р= ~ р,1едм(1 — 1' — Васоза) — ~ ро/ 1,' 1+ — соз'8(йа)осы"'-а' при со = — агс!3 (Зг2)(йа соз 8). Отсюда давление в точке А (рис. У.4.1) равно (и) ~ р !ет"! 1~ 1+ — йово' е)'" Кыго о1 4 а в точке В р (0) 1 р 1 ело! ~l 1 +. йово е — ! ого!и ! поо! 9 о, 4 300 Величины, заключенные в квадратные скобки, представляют собой определители Вронского, составленные из линейно независимых решений уравнений Бесселя порядка т+!!2, поэтому все они отличаются от нуля и выражаются формулой 1 )м (Ва) Лт (Ва) — !",о (йа) )гт (йа) = — „, Учитывая (Н,433), найдем формулу давления на поверхности жесткой сферы; ра=роеды ~ /-оо ~ = — 7 (2т+ 1) (-го м, (Н 4 14) 2т+ ! Рм (8) роелог кт Рм (соз 8) (йа)' Ь,'„(Ва) (Ва)о лщ (йа) т=о ог = О Отношение амплитуд р 1п),'р 10) = 1, а разность фаз составляет заметную величину й 3 ) 3 8 3,3 1О' сйд — ап — — 2агс18~ — йо1=2 ак18 — ', -3,6 рад.
На рис. Ч.4.2 представлены полярные диаграммы модуля отношения давления на поверхности сферы к амплитуде давления в свободном поле для различных значений на. 1(ак видно из графиков, в э, в Й О' Ы в и' й О' й М'9П м'м 90' 0' йгп о:г ~по' в А в О' йпо' О' Б па и' 90' о йг Рис. Нтп 2 Ма. ~вп по мере увеличения Йа максимум давления, расположенный в области освещенной части сферы 18 = и), увеличивается. Например, для )га = 10 давление в передней части сферы на б дБ выше уровня давления свобод- ного поля, а давление в затененной части на 8 дБ ниже. гг-и э Дифракционная поправка к сферическому микрофону.
Если размеры корпуса микрофона сравнимы или больше длины падающей волны, и, то возникает искажение свободного поля и давление, измеренное с помощью микрофона, может значительно отличаться от давления падающей волны. Микрофон регистрирует среднее давление на поверхности. Амплитуда сред- Рис. Н.4.3 него давления пропорциональна амплитуде свободного поля. Отношение амплитуды среднего давления на поверхности микрофона к амплитуде свободного поля называют дифракционнын коэффициен- том, Для его вычисления н сферическом микрофоне, имеющем диафрагму с угловым размером и — П прис. Н.4.3), найдем среднее давление полного поля на участке сферы, занимаемом входным отверстием микрофона. Как известно, площадь поверхности сферического сегмента 5 = 2па' 1! — соз Пе), 301 поэтому среднее давление по поверхности этого сегменга есть ) Ра'елы з Р~ з(п баб= 1 — соз Ое,) азат 1 — соз Ва и — О, )б,„(аа) )( У а...
1 (2т+1) Рт(созб) з)лба. лы )" 0 (йа) Согласно соотношению для полиномов Лежандра (2т+ 1) Рт (х) = — 1Рт, (х) — Рты (х)) (Н.4. 17) интеграл, входящий в (Н 4.17), равен Р, (сааба) — Р, (созб), если т) О, и !-сааба, если т=б. Поэтому среднее давление поля /Р Ыа) йзаз 1 — сааба~ 0„'(йа) ( ')+ )б (Фа) сз е У;-0. (Ва) (Н.4.!8) )б,'„(Еа) При низких часто~ах (йа а,'!) вместо е т можно ограничиться двумя слагаемыми разложения этой функции по степеням бт, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
