Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Поэтому расстояние й представим в виде степен- ! р'Л 2р ного ряда по возрастающим степеням малой величины — ) — — соз у: Мп но Область поля, для которой можно ограничиться в разложении ,'17.5.11) приближением второго порядка, называют областью френе- 273 левой дифракции. Для нее ряд (%.5.! 1) запишем в виде приближен- ной формулы рг й=йо+ Р- — (рсозу+ Р соРу). (1Л(.5.12) о 2Яо 2до Используя приближение второго порядка И о(, 1, представим интеграл Рэлея в виде )'рсуо Г е Рз(= — ' 1 й5= Р'Саит('! ((о (1Ч.5.
13) рсу е((Е(-Огг] ' -12'— и— (17.5.14) В прямоугольной декартовой системе координат (р' = х'+ уг) фор- мулу (1Ч.5.!4) можно преобразовать: гг у' ю, у -('о — (2 — (и— ))и — 1' ( о е((со( — ог,) ~ е 2г, йх ~ е 2го ((д Лго г, у', Произведем замену переменных: й — = --1, й — = --э, после 2 У г( .2 2го 2 ' 2го 2 чего получим выражение звукового давления через интегралы Френеля: 1' 2~'(1.7,) г. гг 1'2((хг,) у, б рм = !рсоа 2- ~ е ' ' ((( ~ е ' ((Я. (Ч1.5.15) У 2иаг ) го 1 2((хг ) у, Введем безразмерные расстояния х'=х(Л, у=у!Л и представим (!Л).5.15) в форме, удобной для практического использования: рм = (Р' ' ~ е ' ((1 ~ е ' ((з.
(17.5.15) 2 1 '2)г'г' 1~2 гну' Интегралы Френеля приведены в форме таблиц в !51. Кроме того, их можно с достаточной степенью точности находить графически, если имеется хорошо выполненная в крупном масштабе спираль Корню. 274 В знаменателе выражения (1Ч.5.13) квадратичные члены опущены, так как они слабо влияют на амплитуду давления. Однако эти члены сохранены в фазовом множителе, поскольку небольшое изменение фазы вызывает заметное изменение звукового давления. Для удобства вычисления интеграла по поверхности перейдем к цилиндрической системе и перенесем начало системы координат из центра излучателя в точку М', являющуюся проекцией точки М наблюдения на плоскость излучателя и экрана (см. рис, 1Л(.5.1, б). В новой системе координат угол у=-п)2, а (21= — уо.
Тогда (1Ч.5.13) запишем в форме, легко преобразуемой к интегралам Френеля и рядам Ломмеля 126): На рис. 1Ч.5.3 она изображена в масштабе, позволяющем с небольшой точностью находить амплитуду звукового давления плоского излучателя в области френелевой дифракции. Спираль Корню изображает модуль и фазу интеграла Френеля в зависимости от параметра 'р> 22!(Хг,) х,.' Используя этот график, можно проследить, как изменяется комплексная амплитуда давления поля прямоугольного излучателя в зависимости от расстояния г„координат х,, х, и у„у, краев прямоугольного излучателя.
Рнс. Пдб.з Рассмотрии частный случай. Пусть точка наблюдения лежат на оси прямоугольного излучателя. Стороны излучателя имеют размеры а и Ь. При злом комплексную амплитуду давленая определяют формулой ;1-,,1,,~ Проследим за модулем амплитуды давления с изменением расстояния г, для квадратного излучателя а =Ь. Модуль давления в этом случае определяюг квадратом отрезка линии на спирали Корню, проведенного между точками спирали: 2 У Хаа' - "2 Р> Дга Г 2 а Пусть з>,а=зг 1>' — — =->- 2,5 для некоторого значения.
Тогда модуль 1>аа 2 давления 1р 1 = Р'"" (А .~,1и 2 По мере увеличения расстояния г, точки концов отрезка А будуг скользить по спирали, пробегая значения параметров от ь2,5 до О. Модуль дзвления сначала будет то увеличиваться, то уменьшаться, достигнув минимального значения при з,, = гн1,9, затем увеличиваться. Когда г„ станет таням, что параметр з,, примет значение -+-1,4, модуль А достигнет снова максимального значения.
При дальнейшем увеличении расстояния модуль плавно уменьшается по мере того кан концы отрезка проходят точки с параметрами спирали от 1,4 до О. Изменение модуля давления на оси квадратного поршневого излучателя в экране в зависимости от расстояния г показано на рис. 1Н.5.4. Осевое распределение модуля звукового давления квадратного поршневого излучателя при изменении расстояния по оси 2, нан и для круглого излучателя, имеет хаРактеР- ные осцилляции.
Однако они менее ярхо выражены по сравнению с осцнлляциями давления на оси круглого излучателя. Расстояние до последнего максимума модуля давчення определяется формулой го — аз,'л (а в сторона квадрата излучателя). д~д ) 0 агдгЛ) а',/Л г Рис. !Н.5.4 Формула (!Н.5.16) удобна при нахождении давления в области френелевой дифракции, когда излучатель имеет форму прямоугольника. Однако для круглых преобразователей она не применяется.
В этом случае пользуются представлением интеграла Рэлея в виде степенных рядов. В частности, мегино вывести следую- шее выражение: )л (а'+ О'1 Рм = — Рспое)!ом —" > (е '" (У,+)Ут) — 1~, (1Ъ'.5.17) где ОбозначаЯ т = ш! — )гг„а = )г (да+ бз))(2го), полУчаем р,н = — рссое)о' (е-)о (Уо+ ) Ут) — 1) или, .имея в виду только действительную часть комплексной функции, р (г, 6, !) = рсзо (Х соя т+ У э)п т) = рсп, У Х'+ Уз соя (т — у), (1Ч.5.18) где Х = У, соя а+ У,з(па — 1, )( (1Ч.5.
19) У = Уоз(па — Ут соз а, у= агс1н —. Нетрудно показать, что формула (1У.5.!8) для оси излучателя 6=0 имеет вид лаз / лаз л1 р(го, 0 !)=2рсп„з(п — соз(ш! — )гго — — — — ~. (1Ъ'.5.20) 2а (, аг 276 Как и в случае точного решения, амплитуда давления на оси осциллирует при удалении от излучателя. Координату наиболее удаленного максимума определяют по формуле г = аа)Л. Доказательство этой формулы можно провести методом преобразований с учетом следующих выражений: , Лао 1 О-о ~ Лзо ! О-о и (ао.+ба) 1таэ Лго о о Лго Для описания характера изменения амплитуды и фазы давления в зависимости от г, достаточно найти экстремальные точки функции )г'Хе+ 1", входящей в (1Ч.5.!8).
Проведем исследование этой функ. ции. Поскольку выражения для Х и У в (1Ч.5.19) содержат осциллирующие ограниченные функции, то г=вг,5-1,ов )г'Ха+ У' также ограничена и осциллирует между максимальными и минимальными а г=гд5=1,г от расстояния 6 до оси излучателя частота осцилляций и их глубина изменянтгся. При некотором значении г, = = г„функция )г Х'+ У' имеет последний из возможных максимумов. Начиная с это~о значения с увеличением г, амплитуда )г Ха+-У' с рос- гг, 5-1 =гв 5=0 в=15,5=ого том г, уменьшается по закону 17го' З 15,5=15 Р"с 1Н 5 5 пРиведегви дв во фа авдо вовам ввво дг вгво двзяи графики зависимости амплитуды (слева) и фазы (справа) Рис. 1Н,5.5 давления от отношения 61а длЯ Различных безРазмеРных РасстоЯний в=го!(аагЛ), обозначенных цифрами от 0,74* до 1,58.
На графиках амплитуды отложены "р' Ха+ У' — безразмерные амплитуды звукового давления; а на графиках фазы — у7(2л) = (172п) агс!ц —, или Лг1Л (Лго — отклонение фазо- х вой поверхности от плоской). При з = 1 давление на оси максимально и уменьшается с увели- чением з. На расстоянии 6 =- 0,3а при з = 1 давление меньше, чем ' На рис эта цифра по ошибне заменена на а= !б. 277 при з = 0,78, т.
е, при з = 1 амплитуда давления имеет слабо выраженный минимум. При других значениях параметра б)а характерные максимумы и минимумы смещаются. Фаза волны на всем интервале изменений х и б)а изменяется незначительно. Наибольшее изменение фазы уу(2л)=0,2. Это значит, что волновая поверхность отличается от плоской в пределах от О до! на 0,2л. Радиус излучателя в ультразвуковых установках равен нескольким десяткам длин волн, поэтому вблизи оси волну можно считать приблизительно плоской.
Однако при точных исследованиях отклонение волновой поверхности от плоской необходимо учитывать. Переходная область. Область поля вблизи излучателя, где зависимость амплитуды квазиплоской волны от расс~ояния гл определяется монотонной функцией, отличной от закона сферической волны 1,'гл, условно можно назвать переходной обяаспгаю поля. Для ее определения проведем исследование модуля давления на максимум и минимум. Подставляя выражения Х и У, имеем У Х'+ У' = У' У'„'+ У1+ 1 — 2 (1', сов а+ У, з (п гх) = 7 (х).
Приравнивая к нулю производную по х от 1(х), получаем уравнение, корни которого являются точками максимума или минимума амплитуды давления. Лля проведения операции дифференцирования необходимо знать несколько свойств рядов 1', и 1',. 1. Ряды 1', и У, являются частными случаями общих рядов Ломмеля: л=О где т — число, которое может быть положительным или отрицательным.
Ряд У (х) сходится при любых х/у, поэтому его можно дифференцировать и интегрировать. 2, Производная по х от ряда Ломмеля равна дул х — =' — у 1(х). Дх у 3. Производная п-го порядка от У Длк л 1 Дл-л х дл' = — — У + —— дхл у дхл-л "~-х у Дхл-1 т.х 4. Производная от функции сс(х) да д Гхл 1 х — = — ~ — + 2у~ = —. Дх дх,2у х у ' 278 После этих замечаний легко произвести преобразование первой производной от )2 Х'+У', Ь Х'+1") =Ь Уов+ У(+! — 2(!',сози+ Ров(пи)) = 1'о)'о+ 1'21"1 — 1'' „сов и — 1'ои' Яп и — У, Яп и — Уви' сов и Р У'"+У!+ 1 2 (1 осовсв ) 1 во)пи) 12Уо+ УвУ( — (У,',+У~и) сова — (У,' — Уои ) яп и У;;+ У1+ 1 — 2 (Уо сов и+ У, яп и) Подставив в числитель первую производную ряда Уо'=-- У-в = — [! — ) ,(х) — ( — ) о , (х)+...1 = = — [ — Я в в (х) — 1', (х)1 — [о , (х) + — Ув (х)1 и первую производную ряда х 1 о (х) Д получим условие экстремума: lх' о в (х) сов' - -+ 2у) — 1',(х)" дх 1' У„''+У',+1 — 2 (Уо сов и+ Ув яп и) Таким образом, экстремальные точки модуля давления являются корнями уравнений о ,(х)=0, сов( — +2у) — 1',(х)=-0, 12у или (1Ч.5.
21) со [ ~ — Уо( — )=О, Начало переходной зоны определяется наименьшим из корней полученных уравнений, исключая нуль. В зависимости от соотношения между 6 и а можно отметить три случая. 1. Если поле рассматривать на оси излучателя (6 =-0), то первое из уравнений (Ю.5.2!) обращается в тождество, а второе дает ! вав соз — ~ =1, наименьший корень которого, отличный от нуля, и. 222 Таким образом, начало переходной зоны при 6=0 определяется координатой оси г.х=ав)в.. 2.
Если расстояние от оси равно радиусу излучателя (6=а), то 2)вав 1 первое уравнение (!Ч,5.21) имеет вид в( — )=О. Его первый корень го 2п а' йа')202=3,832, ОтКУДа гоп=- — ' —. ВТОРОЕ ИЗ УРаВНЕНИй (1Ч.5.21) при 6 =- а содержит фуни цпво Уо (ввав)го): СОВ = во )=о о' — ' с в'" -~+в в )вав, /)вав, ввав ' . 2)вав „)'хав 1 22 ~ 22 ) ~ 22 / 1 го / '~ вв 272 Первый корень этого уравнения меньше, чем 3,83, и начало переходной зоны определяется этим корнем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
