Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Производную от бе представляют формулой дбе (М) 1 1 +!Ягм,м — М/м м дгм,м мам дп 4л( /ем м дп (П 1.4.7) Для точек поверхности эта производная должна обращаться в нуль. Учитывая, что дгм,р)дп = — дгм,руда (Р— точка поверхности), находим м'м Р— А 'Р /э'м ' — "Р =0 (П! 4 8) Уравнение (П!.4.8) может быть выполнено при дгм,р)дп ~ О, если А = 1. Таким образом, выражение (П1.4.2) при А =1* и есть вп1орая функция Грина для полупросгпранства, Для любой точки плоской поверхности эта функция имеет вид — м'м,/ бе (/мор) = й (П!.4.9) 250 Используя (1П.4.9), получаем решение второй краевой задачи для плоских источников: 1 дже — 1асм г 2~~ г дп г 3 1П.6.
ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ СФЕРЫ Согласно определению, функция Грина внешней краевой задачи представляет собой функцию потенциала скорости поля точечного источника М, и поля, отраженного от заданной поверхности: Ма(га,да 1ао) е б(™ м) 4 +ф(г д гр) (11!.5.1) Проведем расчет акустического поля в М (г, д, ср), создаваемого точечным источником, помещенным в точке М„(г„ д, сра) при наличии акустически жесткой сферы (рис. П1.5.1); д,у) г, 8 и ср — сферические координаты точки наблюдения, г„, д и <ра — координаты точки источника; й — расстояние между источником и точкой наблюдения я.
Функция, описывающая поле, должна удовлетворять уравнению 60+ й'б = 6 (МеМ), (1 П.5.2) Ряс. 111.5.1 условию затухания на бесконечности и ( — д'+)йб)=0 и для жесткой сферы краевому условию дО где й — волновое число; 6(М,М) — функция Дирака. Полагая решение в виде суперпозиции сферического и рассеянного поля (! П.5.1), получаем краевое условие для функции ф(г, д, ср): дг 1с=а дг ~ 4пй / )с=а дг и а (1 П.5.4) Формула (П1.4.!О) имеет простой физический смысл и выражает принцип Гюйгенса — Френеля для плоских источников с бесконечно протяженным плоским экраном.
Поле (П1.4.10) представляет собой суперпозицию полей точечных источников, расположенных на участке безграничной поверхности и излучгющих в область телесного угла 2п. В акустике выражение (111.4.10) называют интегралоя Рзлгя. откуда да д,е — ! дг г=а дг 4зд ! ,'г=а (П1.5.5) При этом функция ф должна удовлетворять уравнению Гельмгольца. Как известно, общее решение этого уравнения в сферических координатах представляет собой суперпозицию сферических волн всех порядков: ф(г, О, гг)= ~ А й,„(йг)Р~„",'(О, и), (П1,5.6) где й„, — вторая сферическая функция Ханкеля; Роо (О, ер) — присоединенный полином Лежандра. Для отыскания всех коэффициентов А воспользуемся разложением сферической волны: СС О$ = — (й ~~ (2т+1) ~~ е„, соз(п(~р — гГеД м т=е е=е Г!т (йге) й (йг) (г ) ге), ' ~/,„(йг)й,„(йг,) (г(г„), ~ 1 при п=О, где е„= 1 2 при аФО. Подставляя в (П!.5.5) вместо е млЯ ряд (П1.5.7), а вместо ф(г, О, ге) ряд (1П.5.6), получаем функцию Грина для сферической поверхности: бе= — )й ~, (2т+ !) ~ Е„( "„) СОЗ(П(гр — едеЯР" (СОЗО)Х т=е л=е ХР" (созде)й (йг)((т(йге)й„',(йп) — 1' (йа)й (йге)] — „,, (П!.5.8) функция (П!.5.8) позволяет записать интегральное решение задачи об излучении упругих волн жесткой сферической поверхностью, если задана нормальная составляющая скорости на поверхности сферьк +л е ф (г, О, ер) = $ $ а'ое (среде) О, (г, О, ср, г, = а) з(п О, дурее(Ое.
р.= — е.-о 252 В то же время (П1.5.8) является решением некоторых частных задач, Например, приняв г=а, из (П1.5.8) получим формулу потенциала поля точечного источника. Как показано в [241, с помощью функции Грина для сферы сравнительно просто рассчитывается поле, создаваемое кольцевым излучателем при наличии отражающей сферы, С этой целью достаточно функцию (П!,5.8) проинтегрировать по гр в пределах от О до 2п, В результате получим формулу потенциала поля колыгевого источника при наличии сферы: ф= — 2пй», ~ (2лг+1)з Р (созО,) Р (созО,)й (йг) х т=о [ (ь ) г'(уга) "тя о) ~ Х ~~ут (П 1.5.9) Для акустически мягкой сферы функция Грина имеет вид СО т 6,= — уй 1о (2га+1) ~~ о„, —,соз[п(гр — Ого)1Р,„',(соз0)х т=о .=о хрт(сох О,) „— [й (йа) у (Угг) — Уг„(Угг,) у (Уга)~.
(П!.5.10) Поле кольцевого источника в присутствии мягкой сферы имеет вид ф (г, О, Ог, Уу = егтв ~ 6, (г, гр, 8) го зуп Оо г(Ого (1 П .5. 11) получим формулу для звукового давления, создаваемого движением поверхности мягкой сферы: Р(г, О, р, У)=от'~Р(а, О, Ч,) —,' ~ 4. (П1,5.12) $ Ш.а. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРВОЙ ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА Использование метода функций Грина для решения краевых задач позволяет произвести расчет дальнего поля по измерениям звукового давления или колебательной скорости в ближнем поле.
Допустим, что функция, описывающая распределение давления вблизи излучателя, экспериментально найдена в виде у(М*). Кроме того, известна функция Грина для данной поверхности. В этом случае поле, создаваемое поверхностью о*, в точке М определяют формулой г)г(М) 1 [(М ) ~~(~~ ) г(о (П1 б !) о* В качестве излучателей часто применяют цилиндрические системы, поэтому построение функции Грина для цилиндра представляет собой важную задачу. 203 [г„О, и Ого — координаты точек кольцевого излучателя; г, 0 и гр— координаты точки наблюдения; 6,(г, О, гр) — функция, определяемая формулой (П1.5.10)]. Определив функцию давления на поверхности сферы р(а 0 гро)=уогргр(а, О, гро) В цилиндрической системе координат р, вр и г функция Грина должна удовлетворять уравненйю Лб+)ввО= — ~* б(вр — врв) б(г — г*) (111.6.2) 6 (р — р*) Р в областях аа-=',р<со, и<ср .и и — со<г<со, условию излу.
чения и краевому условию 61,=, = О. (111.6.3) Здесь р*, срв и г* — координаты источника; р, вр и г — координаты точки наблюдения. Выполнив интегральное преобразование Фурье над (1!1.6.2) и (111.6.3) по координате г: О = ~ бе-гм с(г, получим уравнение задачи: Л(в+о%= — -(о ~ ) б(ф — ср*)е-!""'*, Р б~ =,=О, (11!.6.4) где тв=/св — т'. Решение (111.6.4), имеющее разрывы при р =о* и вр=-ср*, может быть представлено в виде б=+-; 1 е-я"~о-очем*'~оу (тр)- " р1Х 4! в~в ~ 'в Н,„(та) ~л = — сю МН,.(ор*) (р<р*), [т-(ор*) — "Н (,,„, ' 1~1-( р) (р~р').
Выполняя обратное преобразование Фурье, получаем искомую функцию: б =,— 1 свели в(т. ая +со ав3 0= — У е — г" (о-оме' в е — !в""ворот (йр'сов в) 4пг от», (Аа сов 8) Н,а (ар" сов 8) ~ Н,„(/га сов 8) (1 11.6.5) Как и ранее, функцию (111.6.6) можно применять для ряда задач, например, вычислить потенциал поля системы точечных излучателей, образующих кольцо, соосное с цилиндром. Очевидно, дальнее поле Этот интеграл для дальнего поля преобразуется к виду, удобному для анализа: определится интегралом (!)= ') (бр((Ч) =( 2 — е м' паз~ау~(йр" созе)— 2г ау (эасаеэ) Н„(0( сае0) ~ Ое (/(а с~е 0) (111.6.6) где ! — линейная плотность излучателей на кольце. Наконец, дифференцируя (111.6.6) по р* и подставляя ре = а, получаем — ( (0 — -'-1 а1 сю !-Г , а~а е Га(т ч )' — Š— Ее* Наа ()Р* 'а'=е а'га .ьа Н~ (эа сае 0) ГЛАВА 1Ч ИЗЛУЧЕНИЕ ПЛОСКИМИ ИСГОЧНИКАМИ Ф П(.1.
ДАЛЬНЕЕ ПОЛЕ ПЛОСКОГО ПОРШНЕВОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ Допустим, что в плоский жесткий экран на одном уровне с ним вставлен плоский излучатель, все точки которого имеют нормальную составляющую скорости, соответствующую реальной части функции гас)". Требуется найти зву- ~,.гн ковое поле в полупространстве, ограниченном плоским экраном. Для решения задачи воспользуемся интегралом Рэлея (11!.4.10). Сначала найдем потенциал поля в точке Р, находящейся на большом расстоянии от источника. лг и Если точка наблюдения лежит от плоского источника на большом расстоянии, то направления нз этой точки на любой элемент поверхности излучателя составляют с нормалью одинаковый угол. На рис.
1Ъ'.1.1 показано общее для всех эле- Ряс. (У.(л ментов направление на точку наблюдения Ж. Обозначив расстояние от начала координат через г„расстояние от элемента Ао — через г=ге+Лг, получим интеграл в виде — Й(О ( ае) )1(= — ~, — — ((о. ае ( е 2а.) ге)аг (1Н.1. 1) Таким образом, если известно распределение звукового давления в непосредственной близости к поверхности цилиндра, то, применяя формулу поля первой краевой задачи (111.6.1), получаем формулы для пересчета функции ближнего поля в функции для областей, удаленных от поверхности излучателя. Поскольку Лг)го ~1, то величиной Лг)г„в знаменателе г,+Лг =- = го (1 — Лг)го) можно пренебречь, но в показателе степени такое пренебрежение недопустимо, так как небольшие значения Лг вызывают значительные изменения фазы. Исходя из этих соображений, (!Ч.1.1) можно представить в виде о о)(я( — ого) е Ч'(г, 1) = — — " ' ~ е — мю((о, 2л го где и — площадь источника.
Обозначая объемную скорость поверхности источника (,! =- п„п, получаем (') о! (~( — О~о) (г'(г, 1, 0) = — — ! е )оа" (Ь. (1Н.1.2) 2т го а,) а Если направления нормалей к плоскости и на источник совпадают, то Лг ==0 и потенциал в точках, лежащих в области дальнего поля на оси преобразователя, определяется формулой )р (г 1) — е)'( ( оо ) (1Ч.! .3) 2 (го Исходя из этого, легко определить общее выражение для функции направленности плоского поршневого излучателя в экране: Ф (О) = — = — ~ е-)'"а' йт. Ч' 1 Ч'о а (1Ч.1.4) (1Ч.1.6) (!Н.1.8) где о (), В, 1) — колебательная скорость среды; Л вЂ” со)у(2п) — длина волны; р(г, О, !) — звуковое давление; еу(г, О, !) — интенсивность; Ю вЂ” акустическая мощность поршневого излучателя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
