Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 42
Текст из файла (страница 42)
8 Л, Ф, Леиенаин 225 Сравнивая (11.1.18) и (11.1.19), приходим к заключению, что акустическая мощность цилиндрического источника при излучении им высоких частот не зависит от частоты и определяется волновым сопротивлением среды и амплитудой колебательной скорости. Если же пульсирующий цилиндр работает на низких частотах, то полная аку- стическая мощность, излучаемая им, пропорциональна не только волновому сопротивлению, но и произведению волнового числа на радиус цилиндра, т.
е. величине, значительно меньшей единицы. Рассмотрим импеданс пульсирующего цилиндра. Согласно опредеиоНо (аа) еьа лению, г=р!и,(р=2лар(йа)= — 2ла)рс ', - — — сила реакции 11„'(та), поля на единицу длины цилиндра). Следовательно, 2лапааН, (Аа) елкин . Но (аа) г=— иоН„'(lга) еа" ,— = — 2ларс/ н( (ьа) ° а~о руо = — 2ларс) ат, .Н, = рсз, (к+)у), где рск =рс,,+,, — активная часть импеданса, приведенного ~Ж ат(+Науа к единице поверхности цилиндра: рсу= — рс ' ' " — реактив(ат~)о — (М')о ная часть, Импеданс цилиндра конечной длины, заключенного между двумя бесконечно длинными насадками того же диаметра, вычисляется по более сложным формулам 1281, согласно которым импеданс цилиндра высотой Ь равен Функции й(0) и у(у) имеют вид: й (у) =-.
пу121(у)- х)(у)1 '-'г О (У) Ог г (У) + мл (У) ч~ (У) 0 (У') =- ,.71 (У) + Л -; (У) Функции й*(г) и дл (г) представлены в форме рядов: ( !)л г !гл 2 Хло (2п+ 1) (л+ 1) (л1)г ~, 2 / л =. О л г л гу (п) — 1л-- 2 /г'гл л ~,'~ У( ) !2п+1)(и-1- !)!л!1' 2 ~' л =- О 1 ! 1 4п-„'-3 где гу(л) = — 0,57723+1+- + — +— 2 л л+1 4п-1-2 ' функций: Предельные значения этих и (У)— У О 4 д(у) ж — у )пу, д)О 1 й(0) = --0, 2У а(г)=- — „ гл!пг г О дл (г) О.
й (У') О гл й* (г) г О 2' й* (г) 1, Нетрудно видеть, что формула импеданса ограниченного цилиндра при г — лсо переходит в формулу импеданса бесконечного цилиндра. й;0", кг/(мо о) 10 й, у, кг/(мг 07 10 ' 0! 02фт !)0 1 г 040 10 01 Ог 2 О40 10 0Х !)Х ф~ Рис. П.1.1 На рис.
П.1.1, а представлены кривые й (йа), д(йа), а на рис. П.1.1, б — йл(йй) и дл(йй), с помощью которых можно найти для известных 7«а и )гд активное и реактивное удельные сопротивления: х, = рс ()р (аа) Й" (Ы) — ц (аа) д* (7«д)], ух = рс )77 Яа) д* (И) + у Яа) й* (775)]. $ Н.2.
ОСЦИЛЛИРУЮЩИЙ ЦИЛИНДР Осциллирующий цилиндр представляет собой круглый стержень, колеблющийся в направлении, перпендикулярном оси, с некоторой частотой ). Радиальная составляющая скорости на поверхности цилиндРа о = ор соз РРеРаху«(РР— азимУт обРазУющей). Из условия непрерывности нормальной составляющей скорости звукового поля получаем следующие значения постоянных А' и В' решения (11.1.11): 1 Отсюда потенциал звукового поля осциллирующего цилиндра (! 1.2.1) Используя выражение для потенциала поля, находим радиальную и тангенциальную составляющие колебательной скорости: о,= — — = —,' соз«рер ', дч«урн( (ь ) д«Н; (lга) (11.2.2) дЧ" ари, (Ь ) о = — — = —, з|прре« .
«дР «р«Н; (Ла) Звуковое давление определяют по формуле р=р —, откуда (11.2.4) (11.2.3) Воспользуемся предельными значениями функции Ханкеля первого порядка: 2/ дн'," 2/ р ЛХ Р(Х р ПХР И'рр' (х) ф' — е ( ' ), « «(77 х (х) ! Г 2 — 7(х — — а) = — 1 ~,' — е р р(х ах (11.2,5) Х«ро 227 и найдем потенциал низкочастотного (аа ч, 1) осциллирующего цилиндра в областях ближнего (77 -~0) и дальнего (а«-+со) поля: Ч" о,а' ч е«"', (П.2.6) Ха ~Р Ха э Ч" — )лахор 1/ — соз Че 7 ~"' '+ ' ") ° (11 2 7) р1 Звуковое давление в ближнем и дальнем поле получаем при йа ~1: р — 2п1р ' ' фе2!"!"™, оа~ ! 41-аа ол « ! В! — 24+— Р„,=, лсоРоо "У вЂ” „соз!Ре 1 ос са (П.2.8) При этом радиальная и тангенциальная составляющие скорости имеют вид: дЧ' ос = —— дс и! ь оа дЧ о о дф аа.а ! ос оа о„а — е! с ос ф с2 о,а — е! 41П ф 1,1! 12 з /1 ! (а! — ы+ — л'! О, 2иоаопо1!1122 —, СОЗ !рЕ ' 4 ! Тангенциальная составляющая скорости на больших расстояниях «бывает как !,1(Г)/г), поэтому ею можно пренебречь.
Поток мощности, приходящийся на единицу площади фронта волны, равен произведению комплексно-сопряженных р и о„а интенсивность от периодической волны — среднему его значению за период. Для низкочастотного осциллирующего цилиндра интенсивность равна Г -О1 о =т ! Р оа'"т= '; соз ф. 2лаГЗра424 сас Мощность излучения, приходящаяся на единицу длины цилиндра, выражается формулой +л 2л 2л4)орааоа Г 2л414 а'о' 424 = ~ отгбф= соз !рйр= с' Р Сила реакции поля на единицу длины цилиндра в направлении движения равна 2л 2л Р1= ~ рсоа фс(ф=!2п)раоо ~ соз фсоз фас(ф= !и!раооо2п, о о Отсюда получаем импеданс единицы длины цилиндра при низких частотах: г„= — ' = Яра22и ао )ан (рпа'). (11.2.9) 2(Р! Поооораа Хааа — „ ао 224 (11.2,10) Импеданс имеет инерционный характер.
Активная часть импеданса мала и в формулу (!1.2.9) не входит, Однако если воспользоваться формулой д'с=хоо/2, то получим активное сопротивление при низких частотах: Таким образом, низкочастотный полный импеданс осциллирующего цилиндра кроме реактивной части (П.2.9) содержит еще активную часть (П.2.10): лвюарае г —, +1о2 (театр).
2с' $11.а. ОБщАя теОРия излучения ЗВУКА ЦИЛИНДРОМ ос (22) = — ль ~~'', Нт(ьла) (А ' сок т ср+Вт 5(от ср). (П.3,1) в1 = с Рассматривая (П,3.1) как тригонометрический ряд Фурье, получаем: а +2л 1 21лН (2~) а аи 2л 1 А„' = —, ~ еа (ср) соэ т2р с(ср, дпН~ (да) а(-2л 1 Вт = ° ~ оа (2р) 51п ф с(ср длНт (ла) а (пт = 1, 2, 3, ...). (П.3.2) Потенциал поля цилиндрического источника представляем как Ч" (г, ср, 1) =егл' А;Н' '(йг)+ -~ т.
~в„' в-~-в!, ~ в)вт~вл1, т=1 (П.З.З) где А;, А' и В' — коэффициенты, определяемые по формулам (П.3.2). Рассмотрим несколько частных случаев. Иалученне пульсирующей линии. Предположим, что радиальная скорость поверхности цилиндра равна ов при ю( < — <, "а= О при е> < -л-<. Если поверхность длинного цилиндра колеблется так, что амплитуда скорости его поверхности зависит от азимута <~ по закону о,=ос(~р), то имеем только те члены решения (П.1.11), которые удовлетворяют граничному условию Тогда легко вычисляют интегралы, входящие в (П.3.2): а+ 2л а+Ьа оо(т) от= ) о лгу=о«ба а а а-!-2л а+ Ьа/2 оо (гр) соз тгр г(ф оо ] сев ннр о(гр оо соз та Ьи, а а-Ьа/2 а+ 2п а+ Ьа/2 оо(гр) а!п тор «Гф=оо )г а!п тгр Иа оо э!п та Ьа.
а а-Ьа/2 Коэффициенты ряда, представляющего потенциал ско/ости Ч' в (!!.!.11), прн этом имеют вид: о«ба оо соэ /па Ьсо 2йлН« (йа) ' '" йлНт (йо) оо э!п та Ьсо «лНт (йо) Таким образом, потенциал, создаваемый узкой полосой, расположенной нэ жестком цилиндре, равен Ч'(г, Чь г)= — — о е/а'Ьск ч' т, соэ](гл(~р-а)], (!1.3.4) ~о Н (йо) )' 2 прн т=О, где ет ! ! при т~О.
Для дальнего поля /- — / 2т+ 1 -/ 2 7«г — — н! Нт (йг) 1/ — е « поэтому формула (11.3.4) при аг а т, йг~ ! упрощается; Ч'(г, ф, С) — "— о 1 —" еда' "" ф(гр — а) Ьа, йг' г .Гт+! оо 7 — н / 2 рте где ф (ф — а) = ~/ — у, соэ ]т (~р — а)]. пйо о~о е Нт (йо) к1 О (11 3 3) Для звукового давления н колебательной скорости найдем; о !! аг — «г-1- — ! р )рюЧ«(г, гр, Г) ~о,рс — е т т~ф(гр — а) Ьа, Г / а /(аг-«+ — ] о, = оо ~/ — е к 2 !ф (ф — а) Ьа. (П.з.б) — !т" (к! Но, (х) =е т (х)-7Ут (х) — /ст (х) е т ст (х) ]/(е т)з+(Ьгт)2, ст (х) йп ]ут (х)]= — е т (х), (1!.3.7) ст соэ ут (х) = Фт (х), 230 Для численных расчетов, где встречаются функции Ханкеля, удобно пользоваться ик представлением через амплитудное значение и фазу: Предельные значения амплитуд ст и фазовых углов ут задают следующими приближеииыл!и формулами; ьГ 2 1,' ! ст см р' „да 1 ут ьь йа 2 и Гп 2) ~ (11'3'3) аав т-~- !!2 азу т-1- !22 1) ум йа — (т+ 2 1, заь т+!Гз гп1 / 2 )м+ ! Пт /йа12т и [,га) Еа<т+ !Гз см = (т — !)! (2йа)туп, а м!Гзпйа а м!Гз Рт Используя соотношения (!1.3.7), получаем Х сь Г 2т+! 2 1 Ст соз [т (ф — а)) Г'[ум!аз!+ ~ п1 ф(ф — а)= — — ~~ е " ' -.
(!!.3.!0) паа и а~а см (аа) т о СО -, / 2 пйа 11 йт Гйа!т ! 1 ф(ф — а) ~/ — — — + 1, ~ — ! — сов [т(гр — а)] ~ пйа и ~4 а~а ~ 2) т! ) 4л т о Наибольший член в (Н.3.10) будет при т=0. В атом случае характеристика направленности не зависит от (ф — а). Следовательно, полоса на цилиндре дая низких частот создает ненаправленное излучение. При высоких частотах используем (11.3.3) и получаем потенциал скорости 1 ф(!р — а) мь — егаа ~ соз[т(ф-а)] т=о и звуковое давление о=рсоа 1 — — е Гм! !' а!1 ~) соз [т(!р — с!)]. у г и Интенсивность иалучения равна 1 ез = 2 ие[р "']' Используя (П.З.6) и (П.3.7), получаем для интенсивности излучателя 1, а еу — — о[рс — (Ьи)а Ке (зр'ф) = рсоа а(Г(а)з 'д соз [л (!р — а)] соз [т (ф — а)] Г Л] осе'[ум — уа(т+л) 2].
Полная мощность, излучаемая единицей длины цилиндра, 2п у'Г=) е !(з=~ еУгдф, (П.З, П) 231 Функция ф(ф-а) определяет характеристику направлеивости линейного источника, расположенного на поверхности цилиндра. Для малых Аа на основанин (11,3.9) находим После интегрирования получаем т=! (П ей 12) На рис. П.3.1, а представлены полярные диаграммы интенсивности акустического излучения линии на цилиндре, рассчитанные по формуле (П .3.!1) для различных Ла. Слева схематически изображен поперечный разрез цилиндра. Видны направления излучения от линии.
На рчс. П.3.1, б показано, что излуча. емая мощность в области низ- Л Юла я=руга иих частот возрастает пропорционально фактору да= 2па)Х. По мере увеличения отношения длины окружности поперечного сечения цилиндра к длине волны полная излучаемая мощность растет и излучение становится направленным, При низкой частоте (2ла (( Ц полная излучаемая мощность, приходящаяся на единицу длины цилиндра, очень мала и излучение происходит равномерно во все стороны. Это объясняют тем, что когда длина вол- Например, пульсирующий участок с угловой шириной 2и, амплитудной скорости оо образует звуковое поле в точке с координатами г, ф: ол +а, Ч'(г, ф, !) = — е)м, ~ сов [л (гр — и)[ би. (П,3.14) о .„, Н„(йг) ' епНп (йа) л=о — ао Вычислим интеграл: +а, л щ — а,) г(и = — ~ соз лг г(г = — з!п лио соз лф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
