Лепендин Л.Ф. - Акустика (1040529), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Это объясняют тем, что на низких частотах слой жидкости, расположенной у поверхности излучателя, где жидкость можно считать несжимаемой (см. (1.1.3)1, по своей массе может быть значительно болыпе массы жидкости, вытесненной излучателем, и, как это будет показано в 9 1.2, присоединенная масса аккумулирует в форме кинетической энергии движения значительную часть энергии колебаний излучателя, так что волновому полю передается только небольшая часть энергии колебаний.
9 Ез. ХАРАКТЕРИСТИКИ ИЗЛУЧАТЕЛЕЙ Сила реакции акустического поля. Для того чтобы определить эффективность излучения, найдем работу, которую совершает источник упругих волн против сил реакции внешней упругой среды. Пусть элемент поверхности г(г имеет нормальную составляющую колебательной скорости п„соя м! и испытывает давление со стороны акустического поля р=р„соз(м!+гр), направленное в сторону, противоположную нормали поверхности в точке г().
Работа, совершаемая при движении всей поверхностью излучателя против сил акустического поля за время г((, равна г(А = — Ж ~ и, р„сох о(сов(м(+ ~р) ф. (1.2.1) Выберем точку в пространстве, к которой приводится результирующая сил давления, — точку приведения этих сил. Обозначим скорость движения этой точки и,. Скорость движения в любой точке поверхности излучателя выразим с помощью отношения ч„/о,=0„, Если в качестве точки приведения окажется точка, имеющая максимальную амплитуду скорости, то безразмерный вектор О„по модулю равен или меньше единицы и имеет для каждого элемента поверхности направление, совпадающее с направлением нормали.
Используя вектор 0„, запишем выражение (!.2.1) в виде г(А= — п, соя м!Л$р„0„соя(мГ+~р)4. (1.2.2) / Проведя простые преобразования, получим: г(А = п„соз еЯ соз (ой+ а) Ж, (1.2.3) )1 = ~Г(Ц р 0„соз ~р ф)'+ (Я р 0 з!п ~рф)' а = агс!д Я р 0„з!и гр ф)1($ р„0 соз ~р ф), 196 где асов(ыт+а) имеет размерность силы и представляет собой интегральную силу реакции поля на поверхность излучателя. Частота реакции поля совпадает с частотой скорости колебаний точки приведения о„созе!, но отличается по фазе на угол сс.
Для облегчения дальнейших преобразований формул перейдем от тригонометрических функций к комплексным. Выразим силу реакции поля посредством комплексной функции (1.2.4) где Р = ге "= 3 гР', + Ке~" — комплексная амплитуда силы реакции поля; й,=ш р„О„соя грЩ; й,=игр Р„з)п рг(1; а=агс1я — '-, и запишем Р в виде комплексной функции: (1.2.5) = — ($ р О„соз р4+)~р Р„з(п~р4) = Х+1У, т. е. является комплексным числом.
Обозначая действительную и мнимую части механического импеданса излучателя соответственно Х= — ~у р О„соз р4, 1 Г ~о ~з ! г У= — (~ р,„О„з(п ч'г(г', "о Я (1.2.6) запишем импеданс в виде формулы г = Х+1У. (1.2.7) Используя выражения (!.2.6), получим выражения для космнусной и синусной частей силы реакции поля: И,=$ р О„соз~рф=о,Х, )1,=$ р„0, з(п ~рг((=па~', (!.2.8) 197 Таким образом, сила реакции поля содержит две составляющие: косннусную и синусную.
Первая образует действительную часть комплексного выражения силы реакции поля; вторая — мнимую часть. Дальнейший анализ свойств излучения проведем, используя понятие об импедансе излучателя. Механический импедаис есть отношение силы реакции поля излучения, действующей на поверхность излучателя, к амплитуде скорости о, точки приведения. В общем виде механический импеданс излучателя выражают фор- мулой и состоит из мощности, образованной за счет косинусной части реакции поля, или, что то же самое, за счет действительной части механического импеданса, и мощности, выделяемой в результате уч,' действия синусной части ре— гв г— в акции поля, или мнимой чаг сти механического импеданса. Как первая, так и вторая составляющие мгновенной мо-д — д г:-= уч г щности излучателя — квадратичные периодические функ(-у- †' адч, к ччч ции времени (рис.
!.2.1). На а~у!= г рисунке наглядно показано, ! что мощность, соответствующая косинусной составляюучч щей силы реакции (кривая га 1), не меняет своего знака за период и только проходит дважды через значение, равное нулю. Что касается мощности, соответствующей синусной составляющей мощности поля (кривая 2), то харак- тер ее изменения с течением времени иной. Мощность, выделяемая излучателем против синусной составляющей силы реакции поля (или в результате действия мнимой части импеданса), можетбыть как положительной, так и отрицательной. В первую 'у, периода (кри- вые д, 4) мощность положительна и идет на пополнение энергии ис- точника излучения. При (= Т)4 она изменяет знак.
Это соответствует тому, что излучатель сообщает жидкости некоторую энергию. Средняя мощность, затрачиваемая источником за период, равна интегралу от д(А (см. (1.2.9)1 в пределах от О до Т, деленному на период Т. Вычислим работу излучателя за один период колебаний, причем все время от О до Т разобьем на 4 части. При вычислении исполь- зуем табличные интегралы: соз хс(х= — з!и 2х+ 2 х, ! . ! соз х з (п х с(х = — з( и х, 2 3 Рис. !.2.! !99 Найдем выражение для работы дА по формуле (1,2.2) в следующем виде: ИА =- — ви сос а! ~$ р„, О„соз (а!+ ср) с(1) пг = = 1 — пи)с, сои' а!+ пи)чи з(п а( соя а(1 Й = (1.2.9) ( — Хаасс сохи а(+ 'гп„' соз а( з(п а!) й. Мощность, выделяемая преобразователем против сил реакции поля, равна с(А!с(г = — Хп,', сох' ад+ аписов а! з)п а! Производя интегрирование (1.2.9), найдем, что полная работа за период Т выражается формулои Х.;- У а! Г Х.1 У э-~ +, — — — Т+ — — '-) + ~' — — - Т вЂ” — -Ц, 8 и 2! ~ 8 ш 2)' а средняя мощность А(Т равна ( ург (1.2.
9') Этот результат показывает, что средняя мощность излучателя зависит только от действительной части комплексного импеданса г и определяется косинусцой составляющей силы реакции поля: ( рут 3ф где )т, $ р„,0,сов грф. Эта мощность непрерывно расходуется, образуя полный поток мощности акустических волн.
Иначе говоря, поток мощности волн равен (1.2.!0) и составляют кинетическую энергию присоединенной массы жидкости М = У)ы; 1' э- Мд' (1.2.12) Перемена знака в формуле (1,2.11) указывает на то, что через каждые четверть периода происходит попеременно накопление нинетической энергии присоединенной массы жидкости и возвращение этой энергии снова источнику движения поверхности излучателя. Присоединенная масса может быть представлена посредством синусной составляющей силы реакции поля: )~з ' ) 2 У ! 1 (!.2.!3) и ~'~о еа где й, = ф р„0„з!и гр ф — синусная составляющая силы реакции поля; Е,— амплитуда ускорения точки приведения.
Эта формула показывает, что под действием силы реакции )с, поля масса М в процессе колебаний получает ускорение, амплитуда которого э,=впэ=й,/М. Знакопеременные слагаемые в формуле (!.2.9') соответствуют работе излучателя против синусной составляющей силы реакции поля г,=$р.!)„! рА)=,У и выражаются формулами вида (1.2.1 1) Используя формулу (1.2.13), запишем механический импеданс излучателя в виде г = Х + 1ьзМ. (!.2.14) Сравнивая выражение для механического импеданса (1.2.14) с импедансом цепи переменного тока Л = )с+ )аЕ„ можно еще раз подтвердить прямую аналогию между электрическими и механическими (акустическими) процессами в цепях переменного тока. Следуя этой аналогии, излучение можно представить в виде электромеханической цепи акустического излучателя, состоящей из комплексной силы Р реакции поля, массы индуктивного сопротивления 1ьзМ, активного сопротивления излучения Х (и — амплитуда колебательной скорости на поверхности излучателя; рис.
1.2.2). Предельный коэффициент эффективности акустического излучения. В цепях переменного тока с последовательным соединением мощность, расходуемая источником э.д. с., идет на нагревауч~м ние активного сопротивления. Индуктивная нагрузка накапливает энергию в форме энергии магнитного поля и периодически обменивается ею с источником напряжения. Аналогичный процесс осуществляется и в поле при излучении акустических волн: мощность источника энергии излучателя поглощается в виде потока энергии акустических волн или поглощается активной частью механического импеданса. Кроме того, в процессе работы излучателя вблизи него возникает присоединенная масса жидкости М, которая накапливает кинетическую энергию, периодически обменивается ею с источником движения преобразователя и таким образом удерживается вблизи преобразователя, Согласно (1.2.10), полную мощность акустического поля выражают формулой и'и = Хоо!2.
(1.2.15) Работа преобразователя за время Т(4 есть Ю,Т(4 = (У!а) (о,'(2). Работа, производимая за это же время синусной составляющей реакции поля, равна (У1ьз)(о„"(2), а работа, производимая за это время косинусной составляющей, может быть представлена в виде Т яХч1 д5 О 4 4м Назовем предельным коэффициентом излучения отношение работы преобразователя за время ТЯ, возникающей за счет действия косинусной составляющей реакции поля, к полной работе преобразователя за то же время. Тогда выражение для предельного коэффициента излучения будет 1 ! +У/(ях) (1.2.16) С увеличением частоты отношение т'1Х стремится к нулю, а предельный коэффициент излучения — к единице.
Собственная частота нагруженного излучателя. Собственная частота преобразователя, рассчитанная без учета нагрузки, всегда понижается с увеличением реакции среды. Понижение частоты происходит за счет активного сопротивления и влияния присоединенной массы. Учет влияния нагрузки на собственную частоту преобразователя нетрудно произвести для низких частот, когда преобразователь можно представить как колебательную систему с сосредоточенными параметрами. Пусть т, и с,— эквивалентные масса и гибкость преобразователя, а М вЂ” его присоединенная масса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
